2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.2.3 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則學(xué)案（含解析）新人教B版選修1 -1.docx

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3.2.3　導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的證明過程.2.掌握函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則.3.能夠運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 知識點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算 (1)條件：f(x)，g(x)是可導(dǎo)的． (2)結(jié)論： ①[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)． ②[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． ③′＝(g(x)≠0)． 特別提醒：(1)兩個導(dǎo)數(shù)的和差運(yùn)算只可推廣到有限個函數(shù)的和差的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算． (2)兩個函數(shù)可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商(商的分母不為零)必可導(dǎo)． (3)若兩個函數(shù)不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo)． (4)對于較復(fù)雜的函數(shù)式，應(yīng)先進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕喿冃危癁檩^簡單的函數(shù)式后再求導(dǎo)，可簡化求導(dǎo)過程． 1．f′(x)＝2x，則f(x)＝x2.(　　) 2．f(x)＝，則f′(x)＝.(　　) 3．函數(shù)f(x)＝sin(－x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝cosx．(　　) 題型一　利用導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則求導(dǎo) 例1　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． (1)f(x)＝ax3＋bx2＋c； (2)f(x)＝xlnx＋2x； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝x2ex. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　(1)f′(x)＝′＝′＋(bx2)′＋c′＝ax2＋2bx. (2)f′(x)＝(xlnx＋2x)′＝(xlnx)′＋(2x)′＝x′lnx＋x(lnx)′＋2xln2＝lnx＋1＋2xln2. (3)方法一　f′(x)＝′ ＝ ＝＝. 方法二　∵f(x)＝＝＝1－， ∴f′(x)＝′＝′ ＝－＝. (4)f′(x)＝(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex＝ex(2x＋x2)． 反思感悟　(1)解答此類問題時常因?qū)?shù)的四則運(yùn)算法則不熟而失分． (2)對一個函數(shù)求導(dǎo)時，要緊扣導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，聯(lián)系基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，當(dāng)不易直接應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式時，應(yīng)先對函數(shù)進(jìn)行化簡(恒等變換)，然后求導(dǎo)．這樣可以減少運(yùn)算量，優(yōu)化解題過程． (3)利用導(dǎo)數(shù)法則求導(dǎo)的原則是盡可能化為和、差，利用和、差的求導(dǎo)法則求導(dǎo)，盡量少用積、商的求導(dǎo)法則求導(dǎo)． 跟蹤訓(xùn)練1　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． (1)y＝x2＋log3x；(2)y＝cosxlnx；(3)y＝. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)乘除法則的混合運(yùn)用 解　(1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋. (2)y′＝(cosxlnx)′＝(cosx)′lnx＋cosx(lnx)′ ＝－sinxlnx＋. (3)y′＝ ＝ ＝＝. 題型二　導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用 命題角度1　利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)解析式 例2　(1)已知函數(shù)f(x)＝＋2xf′(1)，試比較f(e)與f(1)的大小關(guān)系； (2)設(shè)f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，試確定常數(shù)a，b，c，d，使得f′(x)＝xcosx. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 解　(1)由題意得f′(x)＝＋2f′(1)， 令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)，即f′(1)＝－1. 所以f(x)＝－2x，得f(e)＝－2e＝－2e， f(1)＝－2， 由f(e)－f(1)＝－2e＋2<0，得f(e)0)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為0，那么x0等于(　　) A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．－aD．a(chǎn)2 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)除法法則及運(yùn)算 答案　B 解析　∵y′＝1－，＝1－＝0，∴x0＝a. 4．若曲線f(x)＝xsinx＋1在x＝處的切線與直線ax＋2y＋1＝0互相垂直，則實數(shù)a等于(　　) A．－2B．－1C．1D．2 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 答案　D 解析　∵f′(x)＝sinx＋xcosx， 由題意知f′＝－1， ∴a＝2. 5．若函數(shù)f(x)＝在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值互為相反數(shù)，則x0的值等于(　　) A．0 B．1 C. D．不存在 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 答案　C 解析　∵f′(x)＝， 由題意知f′(x0)＋f(x0)＝0， 即解得x0＝. 6．若函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且f(x)＝x2＋2f′(2)x＋m，則(　　) A．f(0)f(5) D．f(0)≥f(5) 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 答案　C 解析　∵f(x)＝x2＋2f′(2)x＋m， ∴f′(x)＝2x＋2f′(2)， ∴f′(2)＝22＋2f′(2)，∴f′(2)＝－4. ∴f(x)＝x2－8x＋m， ∴f(0)＝m，f(5)＝25－40＋m＝－15＋m. ∴f(0)>f(5)． 7．已知函數(shù)f(x)＝x2＋cosx，f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f′(x)的圖象大致是(　　) 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　A 解析　∵f(x)＝x2＋cosx，∴f′(x)＝x－sinx， ∴f′(－x)＝－f′(x)，故f′(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除B，D.又當(dāng)x＝時，f′＝－sin＝－1<0，排除C，只有A適合，故選A. 二、填空題 8．設(shè)f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，若h(x)＝，則h′(5)＝________. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)除法法則及運(yùn)算 答案　 解析　∵f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1， 又h′(x)＝， ∴h′(5)＝ ＝＝. 9．已知函數(shù)f(x)＝f′cosx＋sinx，則f的值為________． 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 答案　1 解析　∵f′(x)＝－f′sinx＋cosx， ∴f′＝－f′＋， 得f′＝－1. ∴f(x)＝(－1)cosx＋sinx， ∴f＝1. 10．曲線y＝xex＋2x＋1在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為________． 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 答案　3x－y＋1＝0 解析　y′＝ex＋xex＋2，k＝y(tǒng)′|x＝0＝e0＋0＋2＝3，所以切線方程為y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0. 11．已知函數(shù)f(x)＝ex－mx＋1的圖象為曲線C，若曲線C存在與直線y＝x垂直的切線，則實數(shù)m的取值范圍是________． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　(2，＋∞) 解析　∵f(x)＝ex－mx＋1， ∴f′(x)＝ex－m， ∵曲線C存在與直線y＝x垂直的切線， ∴f′(x)＝ex－m＝－2成立， ∴m＝2＋ex>2， 故實數(shù)m的取值范圍是(2，＋∞)． 三、解答題 12．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． (1)y＝－lnx； (2)y＝(x2＋1)(x－1)； (3)y＝； (4)y＝. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　(1)y′＝(－lnx)′＝()′－(lnx)′＝－. (2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′＝3x2－2x＋1. (3)y′＝＝. (4)y′＝＝. 13．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝2x－8. (1)求a，b的值； (2)設(shè)函數(shù)g(x)＝exsinx＋f(x)，求曲線g(x)在x＝0處的切線方程． 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 解　(1)因為f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)， 所以f′(x)＝2ax＋b， 又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8. (2)由(1)可知g(x)＝exsinx＋x2－8x＋3， 所以g′(x)＝exsinx＋excosx＋2x－8， 所以g′(0)＝e0sin0＋e0cos0＋20－8＝－7， 又g(0)＝3， 所以曲線g(x)在x＝0處的切線方程為y－3＝－7(x－0)， 即7x＋y－3＝0. 14．已知點(diǎn)P在曲線y＝上，α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是________． 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 答案　 解析　y′＝－＝－， 設(shè)t＝ex∈(0，＋∞)，則y′＝－＝－， ∵t＋≥2(當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時，等號成立)， ∴y′∈[－1,0)，α∈. 15．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)證明：曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值． 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 解　(1)由7x－4y－12＝0，得y＝x－3. 當(dāng)x＝2時，y＝，∴f(2)＝，① 又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，② 由①②得解得 故f(x)＝x－. (2)設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點(diǎn)，由y′＝1＋知，曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為 y－y0＝(x－x0)， 即y－＝(x－x0)． 令x＝0，得y＝－， 從而得切線與直線x＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為. 令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0)． 所以點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為|2x0|＝6. 故曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積為定值，此定值為6.