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小題專練作業(yè)(十三) 橢圓、雙曲線、拋物線
1．方程＋＝1表示雙曲線的一個充分不必要條件是( )
A．－3
0，b>0)，直線l：y＝2x－2。若直線l平行于雙曲線C的一條漸近線且經(jīng)過C的一個頂點，則雙曲線C的焦點到漸近線的距離為( )
A．1 B．2
C． D．4
解析 由題意可知，雙曲線的一個頂點為(1,0)，所以a＝1，又＝2，所以b＝2，c＝，則焦點(，0)到漸近線y＝2x的距離d＝＝2。
答案 B
4．(2018全國卷Ⅰ)設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點(－2,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析 解法一：根據(jù)題意，過點(－2,0)且斜率為的直線方程為y＝(x＋2)，與拋物線方程聯(lián)立消元整理得：y2－6y＋8＝0，解得M(1,2)，N(4,4)，又F(1,0)，所以＝(0,2)，＝(3,4)，從而可以求得＝03＋24＝8。故選D。
解法二：過點(－2,0)且斜率為的直線的方程為y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1>0，y2>0，根據(jù)根與系數(shù)的關系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4。易知F(1,0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，所以＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝4－5＋1＋8＝8。故選D。
答案 D
5．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線右支上一點，∠F1PF2的平分線為l，點F1關于l的對稱點為Q，|F2Q|＝2，則雙曲線的方程為( )
A．－y2＝1 B．x2－＝1
C．x2－＝1 D．－y2＝1
解析
由∠F1PF2的平分線為l，點F1關于l的對稱點為Q，可得直線l為F1Q的垂直平分線，且Q在PF2的延長線上，可得|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|F2Q|，即|PF1|－|PF2|＝|F2Q|，由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝2a，由|F2Q|＝2，可得a＝1，由e＝＝，可得c＝，則b＝＝，則雙曲線的方程為x2－＝1。故選B。
答案 B
6．(2018全國卷Ⅲ)設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦點，O是坐標原點。過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P。若|PF1|＝|OP|，則C的離心率為( )
A． B．2
C． D．
解析 不妨設一條漸近線的方程為y＝x，則F2到y(tǒng)＝x的距離d＝＝b，在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO與Rt△F2PO中，根據(jù)余弦定理得cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝。故選C。
答案 C
7．(2018湖南湘東五校聯(lián)考)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左，右焦點分別為F1、F2，P是橢圓上一點，△PF1F2是以F2P為底邊的等腰三角形，且60<∠PF1F2<120，則該橢圓的離心率的取值范圍是( )
A． B．
C． D．
解析 由題意可得，|PF2|2＝|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2＝4c2＋4c2－22c2ccos∠PF1F2，即|PF2|＝2c，所以a＝＝c＋c，又60<∠PF1F2<120，所以－0，b>0)的右焦點F(c,0)到一條漸近線的距離為c，則其離心率的值是________。
解析 不妨設雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，所以＝b＝c，所以b2＝c2－a2＝c2，得c＝2a，所以雙曲線的離心率e＝＝2。
答案 2
10．(2018廣東五校聯(lián)考)已知橢圓C：＋y2＝1的兩焦點為F1，F(xiàn)2，點P(x0，y0)滿足0<＋y<1，則|PF1|＋|PF2|的取值范圍是________。
解析 由點P(x0，y0)滿足0<＋y<1，可知P(x0，y0)一定在橢圓內(nèi)(不包括原點)，因為a＝，b＝1，所以由橢圓的定義可知|PF1|＋|PF2|<2a＝2，又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2，故|PF1|＋|PF2|的取值范圍是[2,2)。
答案 [2,2)
11．(2018北京高考)已知橢圓M：＋＝1(a>b>0)，雙曲線N：－＝1。若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為________；雙曲線N的離心率為________。
解析 設橢圓的右焦點為F(c,0)，雙曲線N的漸近線與橢圓M在第一象限內(nèi)的交點為A，由題意可知A，由點A在橢圓M上得，＋＝1，所以b2c2＋3a2c2＝4a2b2，因為b2＝a2－c2，所以(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，所以4a4－8a2c2＋c4＝0，所以e－8e＋4＝0，所以e＝42，所以e橢＝＋1(舍去)或e橢＝－1，所以橢圓M的離心率為－1，因為雙曲線的漸近線過點A，所以漸近線方程為y＝x，所以＝，故雙曲線的離心率e雙＝ ＝2。
答案?。? 2
12．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線將平面劃分為“上、下、左、右”四個區(qū)域(不含邊界)，若點(2,1)在“右”區(qū)域內(nèi)，則雙曲線離心率e的取值范圍是( )
A． B．
C． D．
解析 依題意，雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝x，且“右”區(qū)域是由不等式組所確定的，又點(2,1)在“右”區(qū)域內(nèi)，于是有1<，即>，因此該雙曲線的離心率e＝∈。故選B。
答案 B
13．(2018福建六校聯(lián)考)已知拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點為F，過F且斜率為1的直線交E于A，B兩點，線段AB的中點為M，其垂直平分線交x軸于點C，MN⊥y軸于點N。若四邊形CMNF的面積等于7，則拋物線E的方程為( )
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析 由題意，得F，直線AB的方程為y＝x－，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，聯(lián)立y＝x－和y2＝2px得，y2－2py－p2＝0，則y1＋y2＝2p，所以y0＝＝p。故N(0，p)，又因為點M在直線AB上，所以x0＝，即M，因為MC⊥AB，所以kABkMC＝－1，故kMC＝－1，從而直線MC的方程為y＝－x＋p，令y＝0，得x＝p，故C，四邊形CMNF是梯形，則S四邊形CMNF＝(|MN|＋|CF|)|NO|＝p＝p2＝7，所以p2＝4，又p>0，所以p＝2，故拋物線E的方程為y2＝4x。故選C。
答案 C
14．已知橢圓＋＝1的右焦點為F，P是橢圓上一點，點A(0,2)，當△APF的周長最大時，△APF的面積等于________。
解析 由橢圓＋＝1知a＝3，b＝，c＝＝2，在Rt△AOF中，|OF|＝2，|OA|＝2，則|AF|＝4。設橢圓的左焦點為F1，則△APF的周長為|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a－|PF1|＝4＋6＋|PA|－|PF1|≤10＋|AF1|(當且僅當P在線段AF1的延長線上時取“＝”)。下面求當△APF周長最大時P的縱坐標：易知AF1的方程為＋＝1，與橢圓的方程5x2＋9y2－45＝0聯(lián)立并整理得32y2－20y－75＝0，解得yP＝－(正值舍去)。則△APF的周長最大時，S△APF＝|F1F||yA－yP|＝4＝。
答案
15．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1且與x軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，直線AF2與橢圓的另一個交點為點C，若S△ABC＝3S△BCF2，則橢圓的離心率為________。
解析
解法一：如圖所示，因為S△ABC＝3S△BCF2，所以|AF2|＝2|F2C|。A，直線AF2的方程為y－0＝(x－c)，化為y＝(x－c)，代入橢圓方程＋＝1(a>b>0)，可得(4c2＋b2)x2－2cb2x＋b2c2－4a2c2＝0，所以xC(－c)＝，解得xC＝。因為＝2，所以c－(－c)＝2?；癁閍2＝5c2，解得e＝。
解法二：依題意可得，＝2，所以F2為AC的三等分點。又A，所以C。將C代入橢圓方程得＋＝1，得＝，所以e＝。
答案
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