2019年高考數(shù)學 專題03 利用導數(shù)研究函數(shù)的性質（第四季）壓軸題必刷題 理.doc

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專題03利用導數(shù)研究函數(shù)的性質第四季 1．函數(shù)存在唯一的零點，且 ，則實數(shù)的取值范圍是______． 【答案】 【解析】 ∴故x=是函數(shù)f（x）的極大值點，0是函數(shù)f（x）的極小值點．∵函數(shù)f（x）=ax3+3x2-1存在唯一的零點x0，且x0＜0，則 即a2＞4得a＞2（舍）或a＜-2． ②當a＞0時＜0，當x＜或x＞0時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調遞增； 當＜x＜0時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調遞減． ∴x=是函數(shù)f（x）的極大值點，0是函數(shù)f（x）的極小值點． ∵f（0）=-1＜0， ∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上存在一個零點，此時不滿足條件． 綜上可得：實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2）． 故答案為：（-∞，-2）． 2．函數(shù)，若與有相同值域，則實數(shù)的取值范圍是________。 【答案】 【解析】 由題知，，()，令，()， 則，()， 當時，，而，即， 當時，，而，即， 當時，， 故在上單調遞增，即在上單調遞增。 因為0， 當時，；當時，. 所以在上單調遞減，在上單調遞增， 所以在時取得最小值為，故的值域為。 因為與有相同值域，則要求的范圍包含，且為正， 所以，即. 故答案為. 3．已知函數(shù)f1（x）=﹣ax2，f2（x）=x3+x2，f（x）=f1（x）+f2（x），設f（x）的導函數(shù)為f′（x），若不等式f1（x）＜f′（x）＜f2（x）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，則a的取值范圍為_____． 【答案】 【解析】 f（x）=﹣ax2+x3+x2=x3+（1﹣a）x2，f′（x）=3x2+2（1﹣a）x， f1（x）＜f′（x）＜f2（x）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立， 即﹣ax2＜3x2+2（1﹣a）x＜x3+x2恒成立， ﹣ax2＜3x2+2（1﹣a）x，可化為（a+3）x+2（1﹣a）＞0， ，解得﹣3≤a≤5①； 3x2+2（1﹣a）x＜x3+x2可化為2a＞﹣x2+2x+2， 而﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3＜3， ∴2a≥3，即②， 由①②可得， ∴實數(shù)a的取值范圍是，故答案為． 4．若，不等式恒成立，則正實數(shù)的取值范圍是_____. 【答案】 【解析】 實數(shù)λ＞0，若對任意的x∈（0，+∞），不等式eλx0恒成立， 即為（eλx ）min≥0， 設f（x）＝eλx，x＞0，f′（x）＝λeλx， 令f′（x）＝0，可得eλx， 由指數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)在第一象限的圖象， 可得y＝eλx和y有且只有一個交點， 設為（m，n），當x＞m時，f′（x）＞0，f（x）遞增； 當0＜x＜m時，f′（x）＜0，f（x）遞減． 即有f（x）在x＝m處取得極小值，且為最小值． 即有eλm，令eλm0， 可得m＝e，λ． 則當λ時，不等式eλx0恒成立． 故答案為. 5．已知函數(shù)的定義域為，，對，，則的解集為___________． 【答案】 【解析】 設， 則， 則等價于， 又對任意， 即在上單調遞增， 則的解集為， 即的解集為，故答案為. 6．已知函數(shù)關于的不等式只有一個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是_____ 【答案】 【解析】 由， 令，解得， 令，解得， 的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為， 故的最大值是， 時，時，且， 故在時，，在時，， 函數(shù)的圖象如圖， ①時，由不等式得或， 而時無整數(shù)解，的解集為， 整數(shù)解有無數(shù)多個，不合題意； ②時，由不等式得解集為， 整數(shù)解有無數(shù)多個，不合題意； ③時，由不等式，得或， 的解集為無整數(shù)解， 只需的解集整數(shù)解只有一個， 且在上遞增，在遞減， 而，這一正整數(shù)只能為3， ， ， 綜上所述，的取值范圍是，故答案為. 7．在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線﹣t2y2＝1（t∈[2，3]）的右焦點為F，過F作雙曲線的漸近線的垂線，垂足為H，則△OFH面積的取值范圍為_____． 【答案】 【解析】 在雙曲線中， ， 右焦點為，漸近線方程為， ，， 面積， ， 令，解得 當時，，函數(shù)單調遞增， 當時，，函數(shù)單調遞減， ， ， ， ， 故面積的取值范圍為，故答案為. 8．已知函數(shù)f（x）＝k（x﹣lnx）+（k∈R），如果函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)只有一個極值點，則實數(shù)k的取值范圍是_____． 【答案】 【解析】 函數(shù)， ， 令，解得或， 令，可得， 可得時，函數(shù)取得極小值，， 可得時，令， 沒有根，此時函數(shù)只有一個極值點1； 時, 有根，但不是極值點， 此時函數(shù)也只有一個極值點1 ,滿足題意； 時，有解，函數(shù)有兩個或三個極值點，不滿足條件，舍去， 綜上所述，實數(shù)的取值范圍是，故答案為. 9．是定義在上的函數(shù),其導函數(shù)為．若，則不等式 (其中為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為_________． 【答案】 不等式的解集為， 故答案為. 10．設函數(shù),若函數(shù)有6個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍是_________________. 【答案】 【解析】 已知函數(shù)對其求導得 ,令求得 當時,,即函數(shù)在上單調遞增,且恒成立 當時,函數(shù)在上單調遞減 當時,函數(shù)在上單調遞增,故 ,又因為在上,存在x使得，所以當直線與有三個交點時， 由題意知，有6個不等的實數(shù)根，設 則關于t的方程有兩個不等的實數(shù)根，且 即在內(nèi)有2個不等的實數(shù)根 由于當時，等式成立 當時，，故a的范圍為 11．函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】 ，則， 因為函數(shù)在上單調增，可得在上恒成立， 即，令，則，， 所以，因為在上是增函數(shù)， 所以其最大值為， 所以實數(shù)的取值范圍是. 12．對于三次函數(shù)，有如下定義：設是函數(shù)的導函數(shù)，是函數(shù)的導函數(shù)，若方程=0有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”。若點是函數(shù)的“拐點”也是函數(shù)圖像上的點，則當時，函數(shù)的函數(shù)值為_____． 【答案】2 【解析】 函數(shù) ， 因為是函數(shù)的“拐點” ，且是函數(shù)圖象上的點， 所以， 即 解得，， 所以， 當時，函數(shù)的函數(shù)值為 ，故答案為2. 13．已知偶函數(shù)滿足：當時，，若恰有三個零點，則的取值范圍是_____ 【答案】 【解析】 因為當時，，所以，又因為為偶函數(shù)， 所以恰有三個零點等價于在恰有一個零點， 令，得，所以與函數(shù)的圖象恰有一個交點，因為函數(shù)與函數(shù)的圖象關于對稱， 解法二：如圖， 由于，函數(shù)的圖象與直線有一個公共點為， 當函數(shù)的圖象與直線切于原點時，，，由圖可知，的取值范圍為. 14．設實數(shù)x，y滿足，則z=的取值范圍是______． 【答案】[-1，1] 【解析】 ∵0， ∴由， 得， 由y，得y′0在（﹣∞，+∞）上恒成立， 可得y在（﹣∞，+∞）上為增函數(shù)，則x≥﹣y． ∴?． 而z． 由約束條件畫出可行域如圖： 的幾何意義為可行域內(nèi)的動點與定點P（2，0）連線的斜率， 聯(lián)立，解得，則B（﹣1，1）． ∵，． ∴z的取值范圍為[﹣1，1]， 故答案為：[﹣1，1]． 15．函數(shù)，對于，都有，則實數(shù)的取值范圍是___． 【答案】 【解析】 由題意，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，在為單調遞增， 且，，即，即 ①作出與的圖象，直線作為曲線切線可求得， 當時，； ②作出與的圖象，時，， 故， 綜上可得. 16．函數(shù)f（x），g（x）的定義域都是D，直線x=x0（x0∈D），與y=f（x），y=g（x）的圖象分別交于A，B兩點，若|AB|的值是不等于0的常數(shù)，則稱曲線y=f（x），y=g（x）為“平行曲線”，設f（x）=ex-alnx+c（a>0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）為區(qū)間（0，+）的“平行曲線”，g（1）=e，g（x）在區(qū)間（2，3）上的零點唯一，則a的取值范圍是_________. 【答案】（，）． 【解析】 因為 與 是在（0，+）上的平行曲線，且|AB|≠0，所以可將的圖像上下平移得到的圖像。 因為，設，因為 ，代入可得 所以 令，分離參數(shù) ，得。令 因為在（2,3）上存在唯一零點，即 與在（2,3）有且僅有一個交點。 因為在 時， 所以在上單調遞增。 若滿足即 與在（2,3）有且僅有一個交點 所以，代入 即 的取值范圍為 17．函數(shù)在上的零點有__________個. 【答案】5 【解析】 由得，. 令則. 在 上單減， 在 上單增. 令，其中 , 則， 在 上單減，且，所以存在唯一的，使得 ,因此函數(shù)在 上單增，在上單減,又因為,所以在上有兩個零點,而在 上的圖象與函數(shù) 的圖象有3個交點. 函數(shù)在上的零點有5個，故正確答案是5 18．已知函數(shù), 若函數(shù)有唯一零點,則以下四個命題中正確的是______（填寫正確序號） ①. ②.函數(shù)在處的切線與直線平行 ③.函數(shù)在上的最大值為 ④.函數(shù)在 上單調遞減 【答案】①②④ 【解析】 令，化簡得，化為兩個函數(shù)，，，由于兩個函數(shù)只有一個交點，故在交點處有相同的交點坐標以及相同的斜率.即，（1）式兩邊乘以，然后減去（2）式，得，注意到當時，等式成立，故，代入（1）求得.所以①正確.由，，當時，，而直線斜率為，故②正確.對于③，，其導數(shù)，函數(shù)單調遞增，故當時有最大值為，故③錯誤.對于④，，其導數(shù)，故函數(shù)在上遞減，所以也在上遞減，故④正確.綜上所述，正確的有①②④. 19．已知，為曲線：上在軸兩側的點，過，分別作曲線的切線，則兩條切線與軸圍成的三角形面積的最小值為_______． 【答案】 【解析】 因為P，Q為曲線：上在軸兩側的點，設，，且，又因為曲線：在點的切線斜率為，所以曲線在P，Q兩點處的切線分別為和，與x軸交點分別為，，直線和的交點為，所求圖形面積，即，令，假設時，才能取最小值，令，則，當，即時，，同理，當時，，所以當且時，最小，解得，， 20．已知實數(shù)，，滿足，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，那么的最小值為________ 【答案】 因為，求曲線上與直線平行的切線 即，解得 ，所以切點為， 該切點到直線的距離 ，就是所求兩曲線間的最小距離， 所以的最小值為 。