陜西省周至縣高中數(shù)學 第一章 統(tǒng)計 1.5 用樣本估計總體教案1 北師大版必修3.doc

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1.5《估計總體的數(shù)字特征》 【教材分析】 . 本節(jié)課是《數(shù)學》必修的第一章統(tǒng)計中5.2第二課時，教科書通過現(xiàn)實生活的例子，使學生認識到：只用樣本的分布估計總體的分布是不夠的，還需要用描述樣本數(shù)據(jù)離散程度的特征量作為必要的、有益的補充，也就是只有把二者結合起來，才能通過對樣本數(shù)據(jù)的研究來比較全面地認識和估計總體，進而使我們能從整體上更好地把握總體的規(guī)律、對總體作出合理的推斷與決策，初步體會、領悟“用數(shù)據(jù)說話”的統(tǒng)計思想方法，這種技能已經(jīng)成為一個未來公民的必備常識. . 根據(jù)新課標的理念，我們應該是“用教材，而不是“教”教材”，應該是創(chuàng)造性地開發(fā)教材，教材只是一個載體，需要我們教師去挖掘、去創(chuàng)造，教學過程是一個再創(chuàng)造的過程，是對課程的不斷發(fā)展、不斷豐富的過程，教師應當根據(jù)學情的需要對教材進行調適和重組. 鑒于此，我在處理這堂課時，沒有按照教材中的內容照本宣科，而是進行了整合與拓展，參考有關資料，補充了相關知識，使學生開闊了眼界，從課后學生的反應來看，效果較好. 【學情分析】 本節(jié)課是在學生學習了頻率分布分布表、頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、用樣本的分布估計總體分布的基礎上，來學習用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征；在已知樣本數(shù)據(jù)的情況下，會用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征；及在已知頻率分布直方圖的前提下，利用頻率分布直方圖估計總體的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，這是一種近似估計，它主要是由于在繪制好直方圖后就已經(jīng)不再顯示原始數(shù)據(jù)的緣故；同時學會將二者結合起來，通過對樣本頻率分布直方圖、樣本數(shù)據(jù)的研究來比較全面地認識和估計總體，進而使我們能從整體上更好地把握總體的規(guī)律、對總體作出合理的推斷與決策，進一步體會、領悟“用數(shù)據(jù)說話”的統(tǒng)計思想方法，讓學生經(jīng)歷探究過程，進一步提高科學探究的能力，促進科學素養(yǎng)的形成與發(fā)展. 本節(jié)課的樣本的數(shù)字特征學生在初中和第四節(jié)中就有所接觸，只是當時學的叫做數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，這時只要將這一組數(shù)據(jù)看成是從總體中隨機抽取的一個樣本就可以了，所以只是個別內容有所加深和拓展，學生較易接受，符合學生的認知水平. 【三維目標】 知識與技能 .會計算數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標準差，正確理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用；能利用頻率分布直方圖估計總體的數(shù)字特征； .能根據(jù)實際問題的需要合理地選擇樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標準差等），并作出合理的解釋； .會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，樹立對數(shù)據(jù)處理過程進行初步評價的意識. 過程與方法 .會用隨機抽樣的方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題，認識統(tǒng)計的作用； .在解決統(tǒng)計問題的過程中，進一步體會用樣本估計總體的思想，理解數(shù)形結合的數(shù)學思想和邏輯推理的數(shù)學方法. 情感、態(tài)度與價值觀 通過對數(shù)據(jù)的收集、整理、分析、判斷等操作過程的體驗，培養(yǎng)學生的數(shù)字處理能力、“實事求是”的科學態(tài)度和嚴謹?shù)闹螌W作風. 【重點難點】 重點：.平均數(shù)的計算，標準差的意義與計算方法 .根據(jù)實際問題的需求，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征并作出合理解釋，以此來估計總體的數(shù)字特征；體會樣本數(shù)字特征具有隨機性； 難點：.用樣本平均數(shù)和標準差估計總體的平均數(shù)和標準差； .根據(jù)實際問題的需求，從樣本數(shù)據(jù)、頻率分布直方圖中提取基本的數(shù)字特征并作出合理解釋，并能運用相關知識解決簡單的實際問題. 【教學方法】探究發(fā)現(xiàn)法、讀書指導法、啟發(fā)式講練結合法 【課前準備】學生準備好計算器；完成《導學案》； 教師制作好課件，畫圖工具． 【教學過程】 一、自主復習有關內容 ⑴用樣本估計總體的兩種情況： ①用樣本 估計總體的分布； ②用樣本 估計總體的數(shù)字特征. ⑵復習4數(shù)據(jù)的數(shù)字特征有關概念 . 平均數(shù)：. 中位數(shù)：. 眾數(shù)：4. 極差：5. 方差： 6. 標準差： 二、預習檢測 課前檢查《導學案》完成情況.重點檢查：第，題. 幻燈片1 設計意圖 讓學生回憶并整理在初中和前幾節(jié)學習的樣本的數(shù)據(jù)特征及樣本的頻率分布直方圖中積累的相關學習經(jīng)驗，并特別時刻牢記：在樣本的頻率分布直方圖中，每個小矩形的面積與相應頻率的關系；全體小矩形的面積之和等于相應區(qū)間上的頻率之和，其值為，為新課中講解例 3做好準備. 在學生說出答案的同時，要求學生認真審題、闡明解題思路、規(guī)范答題，把規(guī)范修煉成習慣，把認真內化為性格. 幻燈片1 （學案上的第2題） 在樣本的頻率分布直方圖中，共 有個小長方形，若其中某一個 長方形的面積等于其余個小長 方形面積之和的，且樣本容量 為，則此長方形所在的這一 組的頻數(shù)為 . 學生活動1 出示各自的《導學案》，小組討論 并與同學們一起訂正《導學案》 上課前要求完成的題目，并將自 己作出的結果與同伴作比較、鑒 別正誤，發(fā)揮同學間的相互促進 作用，達到合作探究、共同提高 的目的. . 西安市積極開展校本研修，高一年級數(shù)學備課組在第一學期末利用專題講座的形式對高一年級全體同學進行了一次“小題小做”《數(shù)學選擇題的求解策略》專項培訓，此后為了檢查培訓效果，從全體學生中隨機抽取了名進行了檢測，試題由道選擇題組成，每題分，成績統(tǒng)計如下表： 分數(shù) 55 65 75 85 95 人數(shù) 5 40 30 20 5 試求其平均成績. 幻燈片2 設計意圖 在學生熟記樣本平均數(shù)計算公式的基礎上，會求該題中的平均成績即加權平均數(shù)： 在此基礎上通過式子的變形、引伸，得到： 其中：， 引導學生運用統(tǒng)計學語言表述式子 的統(tǒng)計學意義，啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)新知特點、歸納新知，展示知識自然產(chǎn)生的過程，增強學習的主動性，提高學習效率，為新課中求解“樣本的頻率分布直方圖與樣本的數(shù)字特征的綜合題”做好鋪墊；同時，這也為以后理科學生學習離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望與方差埋下伏筆，做好前期的知識儲備，學生到時候會感到相關的公式水到渠成、順理成章. 學生活動2 重點出示《導學案》上的第2,4 題，并讓兩位同學板演，以便教 師發(fā)現(xiàn)問題，及時予以修正；同 時做好第4題的拓展與延伸，為 新課中講解例3做好鋪墊. 三、導入新課 .復習回顧 對一個未知總體，我們 常用樣本的頻率分布估計總 體的分布，其中表示樣本數(shù) 據(jù)的頻率分布的基本方法有哪些？ 頻率分布表，頻率分布直方圖，頻率分布折線圖，莖葉圖 .問題引入 在日常生活中，我們往往并不需要了解總體的分布形態(tài)，而是更關心總體的某一數(shù)字特征，例如：買燈泡時，我們希望知道燈泡的平均使用壽命，我們怎樣了解燈泡的壽命呢？當然不能把所有燈泡一一測試，因為測試后燈泡也報廢了.于是，需要通過隨機抽樣，把這批燈泡的壽命看作總體，從中隨機抽取若干個個體作為樣本，算出樣本的數(shù)字特征，用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征---板書課題：估計總體的數(shù)字特征 四、新課講解 .基本概念 前面我們已經(jīng)學習了如何用樣本的頻率分布估計總體的分布.同樣，假設通過隨機抽樣得到的樣本為，我們把 和 分別稱為樣本平均數(shù)和樣本標準差，用它們來分別估計總體的平均數(shù)和標準差. 例1有學生名，在一次數(shù)學測驗后，采用隨機抽樣的方法從學生中，抽取了名進行質量評估，其中：男同學名，女同學名，男、女同學成績（滿分分）統(tǒng)計如下表： 組別 平均分 中位數(shù) 男同學 82 75 女同學 80 80 ⑴求這次測驗中這位同學的平均分； ⑵估計全校成績不超過分的 同學至少有多少人？ ⑶分析男同學的平均數(shù)與中位數(shù) 相差較大的主要原因是什么？ 幻燈片3 設計意圖 通過把具體例子引入課堂，吸引學生的注意力，引起學生關注. 在學生熟記樣本平均數(shù)計算公式的基礎上，會求該題中的平均成績，并在此基礎上，會用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)，進一步體會用樣本的數(shù)字特征來估計總體的數(shù)字特征的過程與方法. 本題中的第二問，學生之前從未接觸過，對學生來說是一個全新的挑戰(zhàn)，從而引發(fā)學生的認知沖突，激發(fā)學生的學習興趣，增強學習的主動性，通過教師適時點撥，學生的獨立思考、合作探究等教學環(huán)節(jié)，最終達成問題解決. 針對第二問，啟發(fā)學生積極思考；教師適時點撥，發(fā)揮教師在學生學習過程中的主導作用. .合作探究，新知應用 【注】如果樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù)，說明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值；反之，說明數(shù)據(jù)中存在許多較小的極端值.在實際應用中，如果同時知道樣本平均數(shù)和樣本中位數(shù)，可以使我們了解樣本數(shù)據(jù)中極端數(shù)據(jù)的信息，幫助我們作出決策. 學生活動3 學生分小組探究、討論，并展示 各小組的討論結果，互評；教師 適當給予點評，使知識具有系統(tǒng) 性、完整性. 幻燈片4 設計意圖 統(tǒng)計學科，最大的特點就是與現(xiàn)實生活的密 切聯(lián)系，也是新教材的一大亮點.把發(fā)生在學生身邊的具體實例，引入課堂，使學生有一種親近感、親切感，易引起學生產(chǎn)生共鳴，引發(fā)學生探究的興趣，原來數(shù)學還可以這樣??！并在學生熟記樣本平均數(shù)計算公式及其變形形式的基礎上，既懂算理，又懂算法，以事實為依據(jù)，會根據(jù)列表中給出的數(shù)據(jù)求該題中的平均等待時間；在此基礎上，“用數(shù)據(jù)說話”，給有關單位提出合理化的意見或建議，為領導層做出決策提供理論支持；同時使學生體會到：數(shù)學來源于生產(chǎn)、生活實際，又反過來為生產(chǎn)、生活實際服務，數(shù)學就在我們身邊及學習數(shù)學知識的理論價值和應用價值. 本題的第三問實際上是運用了統(tǒng)計學中假設檢驗的，，原則，學生在后續(xù)課程的學習中將會慢慢體會到這種原則的應用價值，這里點到為止，當然不便提及更多. 例2 數(shù)學課題研究小組在年月份對西安市兒童醫(yī)院門診部掛號室關于病人等待掛號的時間進行了隨機抽樣調查，記錄如下： 等待時間 頻數(shù) ⑴試用上述分組資料來求病人平均等待時間的估計值及平均等待時間標準差的估計值； ⑵為了更好地服務于病人，提高效率，請你“用數(shù)據(jù)說話”，提出合理化的意見或建議，提示院方應怎樣規(guī)定病人掛號等待的時間范圍；如何采取措施，以縮短病人掛號的等候時間. 學生活動4 把發(fā)生在學生身邊的具體實例， 引入課堂，使學生有一種親近感， 親切感，引起學生思維上產(chǎn)生共 鳴，學生積極參與其中，自主學 習，獨立思考；合作探究、討論， 并展示討論結果；教師適當給予 鼓勵和點評，使知識更加系統(tǒng)、 完整. 幻燈片5 設計意圖 本題是一道“已知樣本頻率分布直方圖來求其數(shù)字特征”的綜合性題目. 從以往的教學經(jīng)驗來看，這部分內容既是教學的重點、也是難點，有個別學生看到題目后，發(fā)現(xiàn)沒有給出任何原始數(shù)據(jù)，往往感到無從下手，找不到切入點，不會識圖、不會用圖、不會從圖中篩選出有用的信息；因此，教師對題目的分析就顯得尤為重要，這里應該對照圖形、緊扣基本概念，通過對概念的剖析找到突破口，使學生在缺少原始數(shù)據(jù)的情況下，根據(jù)直方圖來求數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，提高學生的識圖能力. 這里平均數(shù)的求解也用到了“加權平均數(shù)”的變形形式，可見這種變形確實很有用. 幻燈片 5 例3 西安市中學從高三年級學生中抽取了名同學參加數(shù)學競賽，根據(jù)成績繪制得到了如圖所示的頻率分布直方圖. 由于一些數(shù)據(jù)丟失，試根據(jù)頻率分布直方圖求： ⑴名學生成績的眾數(shù)與中位數(shù)； ⑵這名學生的平均成績. 學生活動5 本題是通過樣本的頻率分布直方圖來 估計數(shù)字特征，學生先在教師的啟發(fā)引 導下，澄清有關概念，自主學習，獨立 思考；再以小組討論的形式進行交流、 合作探究、討論，達成共識；并以小組 為單位展示討論結果，進行組間互評； 教師適當給予點評和總結，使學生學到 的知識更加具有系統(tǒng)性和完整性. 求眾數(shù)時用示意圖 求中位數(shù)時用示意圖 【注】利用直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)均是近似值，這是因為直方圖只是直觀地表明分布特征，而從直方圖本身得不到原始數(shù)據(jù)的內容，所以由直方圖得到的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)往往與實際得出的不一致，但它能粗略估計去眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù). 幻燈片6 設計意圖 該題不僅運用了統(tǒng)計的有關基礎知識， 還考查應用數(shù)學的意識，結論具有開放 性，從眾數(shù)、方差、中位數(shù)、高分數(shù)段 以及滿分人數(shù)全方位進行綜合分析、比 較，作出判斷.從而以此例為載培養(yǎng)學 生的發(fā)散思維能力和優(yōu)良的思維品質. 幻燈片 6 例4 華樂學校舉行的一次科技知識競賽，兩組成績統(tǒng)計如下表： 分數(shù) 甲組人數(shù) 乙組人數(shù) 4 4 已經(jīng)算得兩組的平均分數(shù)都是分，請根據(jù)你 學過的統(tǒng)計知識，進一步判斷這兩個組本次競 賽中的成績哪組更好一些，并說明理由. 學生活動6 該題是一道開放性題目，答案不唯一，只要符 合實際數(shù)據(jù)就行.啟發(fā)引導學生在澄清有關概 念的基礎上，自主發(fā)揮，靈活運用所學的知識， 從眾數(shù)、方差、中位數(shù)、高分數(shù)段以及滿分人 數(shù)的不同角度、全方位進行綜合分析、比較， 作出判斷.先獨立思考；再以小組討論的形式 各抒己見、進行交流、合作探究；并以小組為 單位展示討論結果.期間，教師可適當給予點評 和總結， “以數(shù)據(jù)說話”使學生達成共識. 六、隨堂練習：見《導學案》 七、小結 用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征分兩類： 用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)，平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊”作用，代表一組數(shù)據(jù)的平均水平； 用樣本標準差估計總體標準差.樣本容量越大，估計就越精確，標準差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度. 第節(jié)小結 用樣本估計總體 用樣本估計總體 用樣本的頻率分布 估計總體的分布 用樣本的數(shù)字特征 估計總體的特征 頻率分布直方圖 頻率折線圖 平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù) 極差、方差、標準差 .知識結構梳理 .一點說明： 需要指出的是，現(xiàn)實中的總體所包含的個體往往是很多的，總體的平均數(shù)與標準差是不知道的.如何求得總體的平均數(shù)與標準差呢？通常的做法是：用樣本的平均數(shù)與標準差去估計總體的平均數(shù)與標準差.這與前面第一節(jié)中用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的.只要樣本的代表性好，這樣做就是合理的，也是可以接受的.