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用配置空間的方法對(duì)注塑模冷卻系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)
c.g.李， c.l.李*
香港城市大學(xué)制造工程及工程管理部，香港
2007年5月3日收到; 2007年11月18日接納
摘要
注塑模的冷卻系統(tǒng)對(duì)注射模具的成型過(guò)程和塑料零件質(zhì)量影響是非常重要的。盡管已有各種針對(duì)冷卻系統(tǒng)的分析、優(yōu)化和制作的研究，但冷卻系統(tǒng)的布局設(shè)計(jì)方面并沒(méi)有得到很好的發(fā)展。在規(guī)劃設(shè)計(jì)階段，我們主要關(guān)注的是冷卻系統(tǒng)的可行性和其他模具組件插入是否發(fā)生干預(yù)。本文介紹了利用配置空間（C空間）的方法來(lái)解決這一重要問(wèn)題。然而高維配置空間方法一般需要處理一個(gè)如冷卻系統(tǒng)般復(fù)雜的系統(tǒng)，冷卻系統(tǒng)的特殊特點(diǎn)設(shè)計(jì)目前正在探索研究中，利用C空間在三維空間或更低維空間計(jì)算和存儲(chǔ)的特別技術(shù)也在發(fā)展中。這種新方法是由作者對(duì)以前啟發(fā)式方法的改善，因?yàn)镃空間的代表性能使自動(dòng)布局設(shè)計(jì)系統(tǒng)在所有可行的設(shè)計(jì)中進(jìn)行更系統(tǒng)的搜索。自動(dòng)生成候選布局設(shè)計(jì)的一個(gè)簡(jiǎn)單的遺傳算法是C空間代表性的實(shí)施和綜合。遺傳算法所產(chǎn)生的設(shè)計(jì)實(shí)例，給這
種方法提供了可行性證明。 c 2007 Elsevier公司有限公司，保留所有權(quán)利。
關(guān)鍵詞: 冷卻系統(tǒng)設(shè)計(jì)；注塑模具；配置空間的方法
1.導(dǎo)言
注塑模的冷卻系統(tǒng)對(duì)注射模具的成型過(guò)程和塑料零件質(zhì)量影響是非常重要的。大量涉及對(duì)冷卻系統(tǒng)分析[ 1,2 ] ，及商業(yè)CAE系統(tǒng)，如Moldflow [ 3 ]和moldex3d [ 4 ] 的研究被廣泛應(yīng)用于工業(yè)。以優(yōu)化某一特定的冷卻系統(tǒng)的研究技術(shù)亦已報(bào)道[ 5-8 ] 。最近，通過(guò)使用新形式的制造技術(shù)以建立更好的冷卻系統(tǒng)的研究已被報(bào)告。徐等人[ 9 ]報(bào)道了他們的模具意念：保持一定距離的冷卻水道的設(shè)計(jì)和制作。孫等人[ 10,11 ]用數(shù)控銑床銑削生產(chǎn)U形槽冷卻渠道和俞[ 12 ]提出了一個(gè)棚架形冷卻結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)。
盡管各種研究的重點(diǎn)主要集中在冷卻系統(tǒng)的初步設(shè)計(jì)過(guò)程中冷卻系統(tǒng)的功能實(shí)現(xiàn)問(wèn)題，布局設(shè)計(jì)階段過(guò)程中沒(méi)有得到很好發(fā)展的冷卻系統(tǒng)的可行性和可制造性設(shè)計(jì)問(wèn)題。關(guān)注的重點(diǎn)主要是：在初步設(shè)計(jì)階段冷卻系統(tǒng)的可行性且與其他的模具部件是否干預(yù)。如圖1所示 。從中可以看到注塑模的各子系統(tǒng)許多不同的組成部分，如噴射器的管腳，滑塊等等，都必須裝入模具中。為每個(gè)回路冷卻水道尋找最佳位置以優(yōu)化冷卻性能并避免與其他組件干擾不是一項(xiàng)簡(jiǎn)單的任務(wù)。另一個(gè)讓規(guī)劃布局設(shè)計(jì)更復(fù)雜的問(wèn)題是，單獨(dú)的冷卻水道需要和出水道和進(jìn)水道連接而形成一條環(huán)形水道。因此，改變一條水道的位置，其他水道可能也需要改變。 在圖 2所示 。優(yōu)化冷卻系統(tǒng)的每個(gè)水道的理想位置都如圖2（a）所示 。假設(shè)當(dāng)冷卻系統(tǒng)及其他模具組件都裝入模具內(nèi)部時(shí)，模具組件O1和水道C1是干擾的。因?yàn)镃1與其他組件可能的干擾而無(wú)法移到附近的一個(gè)位置，它必須被縮短長(zhǎng)度。因此， 通過(guò)移動(dòng)C2和延長(zhǎng)C3使他們保持連接，如圖2（b）所示?；谄湫碌拈L(zhǎng)度， C3又與其他模具組件O2發(fā)生干擾，進(jìn)一步修改是必要的，最后的設(shè)計(jì)結(jié)果如圖2（c）所示 。鑒于一個(gè)典型的注塑模具可能有10條以上的冷卻水道，每個(gè)水道與其他模具組件都可能存在著潛在的干擾，手工找出一個(gè)優(yōu)化布置設(shè)計(jì)是非常繁瑣的。 本文介紹了一種在設(shè)計(jì)過(guò)程中支持自動(dòng)布局的新技術(shù)。對(duì)于這種新技術(shù)，配置空間（C空間）的方法是用來(lái)在所有可行的設(shè)計(jì)中提供一個(gè)簡(jiǎn)潔的有代表性的布圖設(shè)計(jì)。C空間的代表性是通過(guò)利用解決布局設(shè)計(jì)問(wèn)題這個(gè)特殊特點(diǎn)的有效方法構(gòu)建的，而不是采用啟發(fā)式規(guī)則來(lái)生成的布局設(shè)計(jì)，這就就好比以前作者開(kāi)發(fā)的自動(dòng)布局設(shè)計(jì)系統(tǒng) [ 13,14 ] ，這個(gè)新的C空間方法能使自動(dòng)布局設(shè)計(jì)系統(tǒng)在所有可行的布圖設(shè)計(jì)中進(jìn)行更系統(tǒng)的搜索。
2.配置空間的方法
一般來(lái)說(shuō)， 一個(gè)系統(tǒng)的C空間是當(dāng)該系統(tǒng)的每個(gè)自由度被視為一個(gè)層面的結(jié)果而導(dǎo)致的空間。配置空間中的區(qū)域被標(biāo)記為堵塞區(qū)域或自由區(qū)域。在自由地區(qū)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于組件間沒(méi)有相互干擾的系統(tǒng)的有效配置。在被堵塞區(qū)域的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于組件間相互干擾的系統(tǒng)的無(wú)效配置。 C空間最初被洛薩諾-佩雷斯定形 [ 15 ]以解決機(jī)器人路徑規(guī)劃的問(wèn)題和關(guān)于這方面的研究一項(xiàng)調(diào)查已被明智和鮑耶 [ 16 ] 報(bào)道 。C空間的方法也被用來(lái)解決定性推理方面的問(wèn)題（例如，[ 17,18 ] ）和運(yùn)動(dòng)裝置的自動(dòng)化分析與設(shè)計(jì)（例如， [ 19-21 ] ） 。作者在由多個(gè)國(guó)家組成的自動(dòng)設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)做研究時(shí)[ 22 ， 23日]研究了一種C空間的方法。
（a） 冷卻水道C1 和模具組件 （b）c1截短，c2移動(dòng)，c3延長(zhǎng)
O1干擾發(fā)生在理想的位置
（c）c3移動(dòng)，c2截短從而效果最佳
圖3冷卻系統(tǒng)的自由度
2.1一個(gè)冷卻系統(tǒng)的C空間
一個(gè)高維C空間可以用來(lái)表示給定的某一冷卻系統(tǒng)的初步設(shè)計(jì)中所有可行的布圖設(shè)計(jì)。圖3給出了一個(gè)例子。冷卻系統(tǒng)的初步設(shè)計(jì)由4冷卻水道組成。從初步設(shè)計(jì)中生成一個(gè)布局設(shè)計(jì)，渠道的中心和長(zhǎng)度需要被調(diào)整。正如圖3所示，該水道c 1的中心可沿著X1 和X 2方向移動(dòng)，其長(zhǎng)度可以沿X 3 方向調(diào)整。同樣地，C2長(zhǎng)度的可以沿X 4方向調(diào)整，而其中心可以按X1 和X 3所描述的調(diào)整 ，因此必須與調(diào)整C 1保持連接性的情況相同。通過(guò)運(yùn)用類似的觀點(diǎn)對(duì)其他水道，可以看出，冷卻系統(tǒng)有5個(gè)自由度，它們都是標(biāo)注為Xi，i= 1 ， 2 ，…… 5 。原則上， C空間是一個(gè)五維空間而這個(gè)空間的自由區(qū)域中的任何一點(diǎn)都給定了一個(gè)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值在X i軸上，可以用來(lái)界定渠道的幾何位置且沒(méi)有與其他模具組件造成干擾。在一個(gè)冷卻系統(tǒng)的高維C空間中確定一個(gè)自由區(qū)域，第一步是在獨(dú)立水道的C空間中構(gòu)建自由區(qū)域。
2.2 獨(dú)立水道的c空間構(gòu)造
當(dāng)一個(gè)獨(dú)立的水道c1被確定為單獨(dú)時(shí)，它有三個(gè)自由度，則X 1和X 2為其中心位置而X 3是它的長(zhǎng)度。因?yàn)槔硐氲闹行奈恢煤烷L(zhǎng)度已經(jīng)在初步設(shè)計(jì)中指明，因此假定一個(gè)固定的允許最大變化量δ C為X1 ，X2 ，X3是合理的。c1水道的C空間中最初確定的自由區(qū)域，是一個(gè)尺寸為δc×δc×δC的三維立方體。為避免與模具組件oi發(fā)生任何可能的干擾當(dāng)水道通過(guò)鉆孔插入模具內(nèi)部時(shí)，鉆頭直徑D和沿X3的鉆孔深度必須考慮。假設(shè)直徑D ，Oi開(kāi)始時(shí)用D/2 +M對(duì)于O "抵銷，其中M是水道內(nèi)壁和附近的一個(gè)組件間所允許的最短距離。Oi的增長(zhǎng)有效的減少了水道Ci的長(zhǎng)度對(duì)于直線Li來(lái)說(shuō) 。以圖4為例子 。圖4（a）表明了水道Ci和三模具組件O1、O2、O3可能會(huì)與Ci發(fā)生干擾。圖4（b）顯示了模具組件O' , O ', O '和O "的偏移及 Ci相對(duì)于線段Li的減少量與Ci的x值相符情況。如果Li和模具其他組成部分沒(méi)有交匯點(diǎn)，那么，原來(lái)的水道Ci將不會(huì)與模具組件相交。
（a） 水道Ci和模具的 （b）模具組件和Ci相對(duì)Li的偏移
三個(gè)組件
（c） 模具組件和Ci相對(duì)Pi點(diǎn)的補(bǔ)償 （d）Ci的自由度
（e）Oi相對(duì)Pi的減少量 （f）Ci的自由點(diǎn)Fri
圖4在一個(gè)通道CI自由區(qū)FRi施工的主要步驟
水道是通過(guò)鉆孔從對(duì)模具的表面插入的，任何如Oi的障礙以及鉆孔深度將會(huì)影響水道的構(gòu)建。鉆孔深度及Oi的補(bǔ)償O"沿鉆孔的方向延伸，直到鉆到模具對(duì)應(yīng)的另一面生成水道為止。Oi相對(duì) Pi沿直線Li的減少至Li的終點(diǎn)。如圖4（c）所示，如果點(diǎn)Pi位于Oi"之外 ，沿Li鉆孔產(chǎn)生水道Ci是可行的。
水道Ci的自由區(qū)域Fri用如下方法取得。首先，初始自由地區(qū)Bi是用如圖4（d）所示的Pi點(diǎn)作為中心構(gòu)建的。然后插入與模具交叉取得B 0 。 B 0代表Ci所有可能的變化當(dāng)僅考慮插入的模具幾何形狀時(shí)。然后Fri是從所有障礙的Oi中減去Bi獲得。圖4（e）和（f）顯示了這種減法以及這種例子的結(jié)果FRi。
2.3 基本接近法構(gòu)建冷卻系統(tǒng)的C空間
在一個(gè)冷卻系統(tǒng)的C空間中確定自由區(qū)域FRF，每個(gè)冷卻水道的自由區(qū)域必須以一個(gè)適當(dāng)?shù)姆绞健敖徊妗?，以使障礙的效果能恰當(dāng)?shù)耐ㄟ^(guò)FRF描繪對(duì)于所有水道來(lái)說(shuō)。然而在兩個(gè)不同水道之間的自由區(qū)域的標(biāo)準(zhǔn)布爾交叉口無(wú)法執(zhí)行，因?yàn)樗麄兊腃空間在一般跨距于不同的軸線。以圖3為例子 ，C1和C2的C空間分別為（ X1 ， X2 ，X 3 ）和（X 1 ，X3 ，X4 ）。為了更方便在不同的C 空間中的自由區(qū)域之間確定交叉口，從一個(gè)渠道和另一個(gè)渠道的C空間中推算一個(gè)地區(qū)是必要的。以下批注首先介紹了并將用于隨后的討論和其余的文件。
標(biāo)記法用于描述高維空間
S n是指一個(gè)通過(guò)坐標(biāo)定義的n維空間
= {X 1, X 2, . . . , X n}.
Sn是指一個(gè)通過(guò)坐標(biāo)定義的m維空間
= {X , X , . . . , X }.
Pn 是指在Sn 的一個(gè)點(diǎn) p n = (x 1, x 2, . . . , x n)
Rn屬于區(qū)間S n(R n S n)
標(biāo)記法用于描述冷卻系統(tǒng)
n c指在冷卻系統(tǒng)中水道的數(shù)目。
n f指冷卻系統(tǒng)總的自由度。
ci指冷卻系統(tǒng)第i個(gè)水道。
s i指Ci的C空間。
FRi是指在Si中的自由地區(qū)。也就是說(shuō)，它是獨(dú)立水道Ci的自由區(qū)域。
SF指冷卻系統(tǒng)的C空間。
FRF是指SF中的自由區(qū)域。也就是說(shuō)，它是冷卻系統(tǒng)的自由區(qū)域。
假設(shè)Pn在Sn中，Pm在Sm中，圖5（a）用一唯和三唯的的空間點(diǎn)明了突出的例子
(i) (ii) ；而(iii) ， 且
對(duì)(i)Pn 和Pm的坐標(biāo)是一樣的如果Sn和Sm在同一區(qū)間時(shí)。對(duì)(ii)和(iii)Pn在區(qū)間Rm中。因?yàn)镻m在Rm中，當(dāng)點(diǎn)位于Sn和Sm中時(shí)Pn等于Pm。而對(duì)另一坐標(biāo)Pm其可以是任意值；特別對(duì)(ii)和(iii)，假設(shè)水道Cn和Cm，因?yàn)樗鼈兿嘟员仨氝B接。這樣它們的C空間Sn、Sm有相同的坐標(biāo)值。假設(shè)那是一個(gè)結(jié)論？對(duì)應(yīng)到在S n中一個(gè)點(diǎn)P n已選定為Cn。保持連通性，結(jié)論呢？ Cm必須被選擇在以使Sm中的相應(yīng)點(diǎn)Pm與P n共用相同坐標(biāo)在共同的軸線。這意味著Pm和PN可以是任何點(diǎn)在區(qū)間Sm中，該方法已經(jīng)在前面予以定義。在區(qū)域Sn和Sm中的一區(qū)域Rn是Rn和Sm中每一點(diǎn)的簡(jiǎn)化。圖5（ b ）說(shuō)明了相應(yīng)的區(qū)域。投影的正式定義如下面所示。
定義1 （投影）
1.1.如果Xˉ m? Xˉ n, PROJ Sm ( pn )是一個(gè)點(diǎn)=(x,x,……,x),因?yàn)閄 = Xj, x = xj
因?yàn)閕 [1,m]。為了在隨后的討論中簡(jiǎn)化符號(hào)，這一投影是被視為單獨(dú)點(diǎn)Pm的區(qū)間。也即是PROJ Sm ( pn )={Pm}。
. 1.2.如果Xˉ m? Xˉ n，PROJ Sm ( pn )是一個(gè)區(qū)間{ pm |PROJ Sn ( pm ) = { pn }}.
1.3.如果Xˉ m Xˉn , Xˉ n Xˉm ,并且 Xˉ n∩ Xˉ m , PROJ Sm( pn )是一個(gè)區(qū)間Rm = { pm|PROJ SI( pm ) = PROJ SI( pn )},其中Si位于區(qū)間Xˉ n∩ Xˉ m ，如果 n∩ Xˉ m =，PROJ Sm( pn )則定義為Sm。
1.4.ROJSm(Rn) 定義在區(qū)間Rm={Pm|PmPROJ(Pn),PnRn}.
正如在2.1節(jié)所討論的，在FR中的任意點(diǎn)P為冷卻系統(tǒng)的每個(gè)自由度給定了一個(gè)值，使水道與其他模具組件在幾何空間是不會(huì)發(fā)生任何干涉。另一方面， P相對(duì)每個(gè)點(diǎn)s i的投影是，在Ci的每個(gè)自由區(qū)域FR中。因此，F(xiàn)R定義如下。
定義2 （一個(gè)冷卻系統(tǒng)C空間的自由區(qū)域）
FRF = { pF | P R O JSi ( pF ) FRi , i ∈ [1, nC ]}
圖 5 點(diǎn)和區(qū)間在Sn至Sm區(qū)間中的投影。
根據(jù)定義1.1知道， 從到的區(qū)間投影始終只包含一個(gè)單一的點(diǎn)，因?yàn)榭缇鄐 i始終是s n一個(gè)子軸線. Ci的每一個(gè)自由區(qū)域FR的構(gòu)造，已經(jīng)在第2.2節(jié)中解釋。從FR中找出FRF，下面的定理是很有用的。
定理1 .
這定理很直觀表明為找出，所有的FR首先投影到冷卻系統(tǒng)的C空間. 可以從投影的布爾交叉口得到。定理1的證明和所用的引理，都已在附錄中標(biāo)出。
2.4.C -空間的表示和計(jì)算
為了表示自由區(qū)域和便于在一個(gè)高維空間的區(qū)域布爾交叉口之間的計(jì)算，我們可以利用類似 [ 21,24 ]中的一種細(xì)胞枚舉法?；舅悸肥怯靡桓呔S立方體在中逐漸靠近一高維區(qū)間。每個(gè)立方體是通過(guò)對(duì)每個(gè)軸指定間隔來(lái)確定的。兩個(gè)區(qū)間的交匯點(diǎn)是通過(guò)兩個(gè)立方塊交匯點(diǎn)所取得的。兩個(gè)高維立方體的交叉點(diǎn)只不過(guò)是在每個(gè)軸的立方體之間間隔的普通交叉點(diǎn)。
假設(shè)每個(gè)FR是近似由m個(gè)三維立方體組成，投影PROJ S（FR）便可近似由維立方體組成。使用定理1對(duì)的構(gòu)建，需要在n-三維立方體中交叉，是用一個(gè)n-三維立方體只中的最大值表示。雖然用來(lái)代表交叉點(diǎn)中間結(jié)果的立方體的數(shù)量和 可通過(guò)特殊技術(shù)減少，可以預(yù)料到記憶和計(jì)算的要求仍然是這種方法的主要問(wèn)題。在下一節(jié)中將介紹一種更先進(jìn)的方法。
（二）在配置空間Si中每個(gè)水道的自由區(qū)域。
（一）一個(gè)擁有四個(gè)水道和四個(gè)自由度的簡(jiǎn)單冷卻系統(tǒng)
3.C空間構(gòu)建的一種有效率技術(shù)
對(duì)的表示和構(gòu)建時(shí)為了避免高的內(nèi)存和計(jì)算的要求，我們選擇不表示和不計(jì)算。相反，我們專注于對(duì)每一獨(dú)立水道的C -空間計(jì)算過(guò)程是否有效的技術(shù)。首先，我們看顯示在圖6的簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)例子 。假設(shè)在這個(gè)例子中模具沿z方向插入時(shí)在FR中不存在變異，那么冷卻系統(tǒng)有四個(gè)如圖6（ a ）所示的自由度。每個(gè)水道的Si是兩維和假設(shè)的FR如圖6（ b ）所示。為水道考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的設(shè)計(jì)方法。首先，點(diǎn)可以從FR中選擇，以使不會(huì)和任何障礙發(fā)生干涉。然而，由X 1和X 2確定 ，而X2在S 2中 。因此那些在S 2中的障礙所施加的約束，還必須考慮。為了找出設(shè)計(jì)的所有可行點(diǎn)，是與 “交叉”。這個(gè)“交叉點(diǎn)”結(jié)果如圖6（ c ）所示，這是通過(guò)移動(dòng)區(qū)間x 2 < 6得到的 ，因?yàn)樵撟杂蓞^(qū)域，× 2[ 6 ， 10 ] ?，F(xiàn)在，如圖6（ c ）所以示給定一個(gè)與任何障礙不發(fā)生干涉的水道，并在其自由區(qū)間的任何一點(diǎn)的選定，始終為C 2存在著這樣一種設(shè)計(jì)：例如，它可以連接到（他們都有一個(gè)共同的× 2值）并和任何障礙不發(fā)生干涉。然而，這個(gè)簡(jiǎn)單方法的一個(gè)主要問(wèn)題是在為C 1和C 2進(jìn)行有效的設(shè)計(jì)時(shí)并不保證冷卻系統(tǒng)其他水道存在有效的設(shè)計(jì)。例如，如果一個(gè)點(diǎn)選定如圖6（d）所示，則× 2 ∈[ 8 ,10 ] ,那么由，× 3 ∈ [6 ，8 ] ，在并沒(méi)有有效點(diǎn)和在這個(gè)區(qū)間。
上述例證表明，在為水道設(shè)計(jì)時(shí)，只考慮與相鄰并有一個(gè)共同軸的的自由區(qū)域和是不恰當(dāng)?shù)?。事?shí)上，其他所有的都必須加以考慮，盡管他們的C 空間并沒(méi)有共同軸和（且他們也不和C 1相鄰 ），因?yàn)榻M成冷卻系統(tǒng)的冷卻水道是相接的。一個(gè)自由度的選擇會(huì)影響冷卻系統(tǒng)另一自由度的選擇。
為每一個(gè)獨(dú)立水道的C空間發(fā)展一個(gè)設(shè)計(jì)的過(guò)程，主要關(guān)注的是：在一個(gè)水道C的空間選擇一個(gè)點(diǎn)后，必須始終存在和所有其他s i相應(yīng)的點(diǎn)，以使所有的水道可以連接到一起形成一個(gè)有效的冷卻系統(tǒng)。為解決這一問(wèn)題，到每個(gè)量s i的投影是必要的。
（c）在與相交以后的自由區(qū)間 （d）為C1和C2設(shè)計(jì)的一個(gè)有效點(diǎn)P1使C4成為無(wú)效的設(shè)計(jì)。
圖6
定義3 。定義為到投影
= PRO ()
顯然，對(duì)在選定的任何點(diǎn)，始終存在著相應(yīng)的點(diǎn)在中 ，因?yàn)楹投际屈c(diǎn)在的投影，在中選中的任何點(diǎn)，很明顯總是有一些相應(yīng)的設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)其他所有的渠道以使這些水道可以連接在一起形成一個(gè)有效的冷卻系統(tǒng)。因此，為了保證冷卻系統(tǒng)能有效的設(shè)計(jì)，的構(gòu)建是很重要的。根據(jù)定理3，為到投影。然而，如在第2.4節(jié)所討論的，我們并不想構(gòu)建基于大容量空間和繁瑣計(jì)算要求。另一種可供選擇的更有效的方法是直接構(gòu)建。而不是作用在高維空間，這個(gè)方法通過(guò)一個(gè)工作在空間三維或更少維數(shù)的序列運(yùn)行來(lái)建構(gòu)。
該方法正式介紹之前，在圖6所舉的例子再次被使用來(lái)說(shuō)明這種方法的基本概念。為了開(kāi)始一個(gè)設(shè)計(jì)過(guò)程，在的點(diǎn)P 1 =（× 1，× 2 ）首先被選擇如圖7所示 。因?yàn)?有一點(diǎn)在中 ，必須有一個(gè)值，以使我們可以找到=（× 2 ，× 3 ）在。又有一個(gè)坐標(biāo)在，坐標(biāo)必須有一個(gè)值，以使我們可以找到=（× 3 ，× 4 ）在 。此外，因?yàn)樵谟泻?，=（，）必須在。圖7顯示了為水道構(gòu)建一個(gè)有效設(shè)計(jì)的點(diǎn)、、和的順序。
上述例子顯示，為了在代表所有的有效設(shè)計(jì)的中確定有效的區(qū)間，自由區(qū)域應(yīng)首先考慮。的影響應(yīng)該可以 “促使”以確定有效的區(qū)間在中，然后是，最后是。在的有效區(qū)域產(chǎn)生的結(jié)果包括、、、的所有影響。為達(dá)到這一目的，組合的運(yùn)作正式被界定。
定義4 （組成）
對(duì)于在一個(gè)冷卻系統(tǒng)里的兩個(gè)相鄰水道和，他們從到的自由區(qū)域的組合，標(biāo)注為，而他們從到自由區(qū)域的組合，標(biāo)注為，定義如下：
(b)FRi每個(gè)通道的自由地區(qū)Si的配置空間
圖6冷卻系統(tǒng)設(shè)計(jì)的一個(gè)簡(jiǎn)化的例子
對(duì)于冷卻系統(tǒng)一個(gè)水道{Ci}序列的構(gòu)成， 從到自由區(qū)域的組成，標(biāo)注為，定義如下文。
如果
如果
如果
圖8顯示了促使 構(gòu)建的組合序列。第一步是要構(gòu)建，就像圖8（a）所示這已被給定在=PROJ(FR)FR， 。然后如在圖8（b）所示CR的構(gòu)建由公式CR=PROJ()FR得。最后，CR，由CR=PROJ( CR)FR。如圖8（c）所示。從圖8（c）很明顯的得出，CR對(duì)組成冷卻系統(tǒng)的所有水道的自由區(qū)域存在著影響。因此，對(duì)于CR中的任意一點(diǎn)，可以保證冷卻系統(tǒng)的一個(gè)有效設(shè)計(jì)可以被構(gòu)造。
通過(guò)組合序列的運(yùn)用，一個(gè)有效的設(shè)計(jì)可以通過(guò)在每個(gè)中選擇點(diǎn)獲得。在其他所有水道的自由區(qū)域已經(jīng)組合到中時(shí)。不過(guò)，我們也想確保沒(méi)有將有效的設(shè)計(jì)從自由區(qū)域中排除，當(dāng)組合序列被應(yīng)用以后。否則，有些可能提供更佳的冷卻性能的有效設(shè)計(jì)將不能用這個(gè)方法得到。以C的設(shè)計(jì)為例，圖8（c）的CR不僅僅代表著C一部份有效設(shè)計(jì)，而且代表著C所有的有效設(shè)計(jì)，這對(duì)C來(lái)說(shuō)尤為重要。為了解決這一問(wèn)題，我們提出以下定理：應(yīng)用水道{C}的一個(gè)序列{C},i[1,]到冷卻系統(tǒng)。
定理2
定理2說(shuō)明代表水道C所有有效的設(shè)計(jì)PR，可以通過(guò)和之間的一個(gè)布爾交點(diǎn)得到。這定理的一個(gè)重要特點(diǎn)是PR可以在三維立體空間中計(jì)算得到，因和都在S中，所以交點(diǎn)在S中。此外和也可以通過(guò)在中的區(qū)間相交得到。這樣，PR可以通過(guò)在三維立體空間的序列得到。如果在第2.4節(jié)中的假設(shè)說(shuō)明再次被使用，即是說(shuō)如果每個(gè)通過(guò)M個(gè)三維立方體近似得到，那么和PR也可以用M個(gè)三維立方體表示。所以，nm所有的三維立方體需要代表所有的PR。因此可以證明三維立方體之間的交點(diǎn)O需要產(chǎn)生所有的PR。因此，使用定理2可以防止在高維空間存儲(chǔ)區(qū)域的需要，并可以避免高容量和繁瑣計(jì)算的要求如在定理1所證明的。
圖8 CR構(gòu)建所用的序列
以下給出了定理2的證明 。它由兩部分組成：
該引理中所使用的證明如附錄所示。
3.1定理2證明
（1） 為了證明：
（i） 由p
因?yàn)閜
和 有相同的坐標(biāo)在和
用同樣的方法，我們可以確定一點(diǎn)以使和具有相同的坐標(biāo)在和。 使用這種方法，我們也可以確定一系列點(diǎn)，k[1,i -1],以使，那么和
具有相同的坐標(biāo)在軸線和。
（ii）
（b）由PROJ()構(gòu)建
用類似的方法，我們可以確定另一系列點(diǎn)，k[i+1,],以使，那么和
具有相同的坐標(biāo)在軸線和。
由（i）及（ii）知，我們確定了一系列的點(diǎn)，k[1,],以使，在連續(xù)的任何兩個(gè)相鄰的點(diǎn)具有相同的坐標(biāo)在他們的共同軸線。
對(duì)于由一系列冷卻水道{}構(gòu)成的冷卻系統(tǒng)，在兩相鄰水道和的C空間和總是存在著一些共同的軸線由于它們之間的空間聯(lián)系。此外，如果在和的C空間有一個(gè)公共軸，也必須存在于和間所有水道的C 空間。所以，由上述方法構(gòu)建的一系列點(diǎn)，k[1,]將為的每個(gè)軸提供唯一的坐標(biāo)。令為由坐標(biāo)構(gòu)建的點(diǎn)。很明顯：
（c）由PROJ()構(gòu)建
用類似的方法，可以得到：
初始設(shè)計(jì)
給定一個(gè)為冷卻系統(tǒng)指定一系列水道和他們理想幾何尺寸的初步設(shè)計(jì)，第一步是為每個(gè)水道建構(gòu)一個(gè)。然后，每個(gè)水道的可以通過(guò)應(yīng)用定理2的組合操作得到。為冷卻系統(tǒng)產(chǎn)生初始設(shè)計(jì)的一個(gè)方法是，是要從中選出一套坐標(biāo)。為了簡(jiǎn)化解釋，假設(shè)每個(gè)水道詞擁有自由度和，而和相鄰的水道有著相同的坐標(biāo)。為了生成一個(gè)設(shè)計(jì)，在的點(diǎn)（，）必須被選擇。然后，點(diǎn)被選擇為了讓（，）在中。此選擇
4．候選設(shè)計(jì)產(chǎn)生
由于冷卻系統(tǒng)初始設(shè)計(jì)對(duì)水道系列和它們的理想幾何結(jié)構(gòu)進(jìn)行了具體化，第一步要做的是為每個(gè)水道建立FRi，然后通過(guò)將復(fù)合應(yīng)用應(yīng)用到定理2中得到每個(gè)水道的PRi。一個(gè)產(chǎn)生冷卻系統(tǒng)候選設(shè)計(jì)的方法是從如后PRi系列中選出坐標(biāo)系。為簡(jiǎn)化闡述，假設(shè)每個(gè)水道C的自由度為和，被鄰近水道共用。為得到一個(gè)設(shè)計(jì)，選擇了PR1中的一個(gè)點(diǎn)（X1，X2），然后，選擇一個(gè)X3使（X3，X2）在PR2內(nèi)。這個(gè)選擇過(guò)程在下一個(gè)水道PR坐標(biāo)中重復(fù)，直到確定所有的自由度時(shí)停止。此方法的一個(gè)重要的特點(diǎn)是在一個(gè)步進(jìn)中無(wú)論坐標(biāo)值如何選取，后續(xù)步驟中總存在一個(gè)下一坐標(biāo)可選有效值。
5．應(yīng)用源運(yùn)算法則的自動(dòng)化設(shè)計(jì)過(guò)程
為測(cè)試C-空間方法在支持自動(dòng)化布局設(shè)計(jì)過(guò)程時(shí)的可行性，在C-空間建立項(xiàng)目中插入與應(yīng)用了一個(gè)簡(jiǎn)單源運(yùn)算法則（GA）[25]。在實(shí)施GA時(shí)候用到了一個(gè)簡(jiǎn)單的染色體結(jié)構(gòu)，它由一系列nF真值[g1g2…gnF]組成，其中g(shù)i的真值在0～1之間，nF冷卻系統(tǒng)的自由度。為得帶一個(gè)形狀設(shè)計(jì)，用到了前面部分提到的方法和應(yīng)用g作為一個(gè)百分比值來(lái)選擇坐標(biāo)。例如，中坐標(biāo)的有效值的在區(qū)間和，其中，就得的選取值為，（也就是在第一區(qū)間）否則就設(shè)置為（也就是在第二區(qū)間內(nèi)）一個(gè)單點(diǎn)交叉操作，一個(gè)轉(zhuǎn)化操作和轉(zhuǎn)跡線輪選擇方法[26]被用于GA過(guò)程中。之前研究中提到的模糊記值方法[13,14]對(duì)相對(duì)于機(jī)構(gòu)的候選設(shè)計(jì)的適合性進(jìn)行快速評(píng)定。必須注意的是在在GA過(guò)程開(kāi)始之前，建立起每個(gè)水道的，經(jīng)過(guò)一次建立得到，因此不會(huì)影響GA演變過(guò)程的計(jì)算時(shí)間。下一部分給出了一些由GA過(guò)程得到的布局設(shè)計(jì)實(shí)例。
6.實(shí)例研究
圖9（a）顯示出了實(shí)例部分的2個(gè)觀察結(jié)果。圖9（b）顯示了當(dāng)只考慮系統(tǒng)冷卻效果時(shí)，具體給出每個(gè)冷卻水道的理想位置的冷卻系統(tǒng)的初始設(shè)計(jì)。（為了便于表征，只給出了行腔部分冷卻系統(tǒng)的圖示）。在理想位置上，水稻C5和模具組成發(fā)生干涉現(xiàn)象。用提出的方法進(jìn)行布局設(shè)計(jì)，自動(dòng)化，就建立起了每個(gè)水道的。例如，圖9（g）和（h）顯示了水道的和。值得注意的是是通過(guò)將和其他復(fù)合得到，因此是亞設(shè)置，如數(shù)據(jù)明顯指出。在所有的計(jì)算完成之后，GA過(guò)程開(kāi)始調(diào)用，圖9（j）顯示了演變過(guò)程中得到的初始設(shè)計(jì)最大適合值。最大適合值在產(chǎn)生值接近600時(shí)開(kāi)始收斂。如圖9（c）所示，冷卻系統(tǒng)由15個(gè)自由度組成，他們的值在表1中列出。叫“初始設(shè)計(jì)”的行顯示初始設(shè)計(jì)的值。下一行顯示設(shè)計(jì)1的值，它是GA過(guò)程在1000生產(chǎn)后得到最好的設(shè)計(jì)。如表中明顯之處，涉及1通過(guò)減小1.21mm得到。圖9（d）顯示設(shè)計(jì)1，這個(gè)調(diào)整對(duì)應(yīng)于沿著Z方向減小以消除和之間的干涉。這個(gè)調(diào)整對(duì)水道和到也適用。表1也顯示設(shè)計(jì)1中所有其它的值都保持在規(guī)定初始至0.2mm誤差以內(nèi)。
為更好的表征C-空間方法，模成分沿著Y方向移動(dòng)同相截，如圖9（e）所示。這個(gè)新障礙增加了自由區(qū)域的約束以至于方向體移動(dòng)性受到很大限制。這個(gè)效應(yīng)在更新中顯示出來(lái)，如圖9（i）所示，其中只有的上部分在圖9（h）中顯示出來(lái)。以所有水道新的再次調(diào)用GA過(guò)程以獲得設(shè)計(jì)2。適合值在圖9（k）中顯示。值得注意的是最佳適合值比設(shè)計(jì)1中獲得的要小。這很合理，因?yàn)榧s束的增加，偏移量與真實(shí)值的差距很大。又GA過(guò)程獲得的值在表1的最后一行中顯示出來(lái)。如表中所示，調(diào)整5mm以清除同的干涉。這同沿Z方向移動(dòng)水道到相對(duì)應(yīng)?，F(xiàn)在和截面不能通過(guò)調(diào)整使其光亮。而調(diào)整和，相應(yīng)地將沿-Y方向移動(dòng)2.94mm，沿-X方向移動(dòng)6.22mm如圖9（e）所示。為保持連結(jié)性，和也作相應(yīng)的調(diào)整。設(shè)計(jì)2顯示，當(dāng)一個(gè)水道的約束數(shù)（如）變化時(shí)，提出C-空間方法很好的將這個(gè)效應(yīng)傳播到其它水道（如和）中去，以至于所有這些水道的可行設(shè)計(jì)組得到相應(yīng)的調(diào)整。
C-模型冷卻分析用于分析設(shè)計(jì)得到的布局圖。從圖10（a）到（d）可見(jiàn)，兩個(gè)設(shè)計(jì)中，冷卻時(shí)間為20s時(shí)，最高模-壁溫度在以上。它們的最大溫度偏差小于，這表明兩種情形下，提出的方法能夠得到滿意的設(shè)計(jì)布局。從圖10（c）和（d）觀察得到，同設(shè)計(jì)2比較，涉及1中工件大部分沒(méi)有產(chǎn)生變色。這表明在設(shè)計(jì)1中很多工件的溫度偏差在以內(nèi)。這是因?yàn)樵谠O(shè)計(jì)2中，隨著空腔中的水道向模壓移動(dòng)了5mm，冷卻效果變得不均勻，這表示當(dāng)施加很多約束時(shí)，保持初始理想冷卻效果很困難。它也解釋了為什么設(shè)計(jì)2的最大適切性稍微小于設(shè)計(jì)1的最大適切性。
（a）示例零件
（b）冷卻系統(tǒng)的初始設(shè)計(jì)
（a）冷卻系統(tǒng)的15個(gè)自由度
（b）設(shè)計(jì)1
（b）移動(dòng)和相交
（b） 設(shè)計(jì)2
圖9 分層設(shè)計(jì)
表1.冷卻系統(tǒng)的自由度
7．討論與結(jié)論
在執(zhí)行C-空間方法中，一個(gè)單元列舉方案被用于簡(jiǎn)化這個(gè)方法的執(zhí)行，在目前的執(zhí)行中，C-空間一維分辨率為0.15mm。對(duì)冷卻系統(tǒng)設(shè)這個(gè)分辨率是足夠的，因?yàn)閷?duì)一個(gè)好的調(diào)整，如0.01mm，冷卻系統(tǒng)的功能變化是很難發(fā)現(xiàn)的，然而，該研究中所發(fā)展的理論與方法并不局限于相應(yīng)的表現(xiàn)項(xiàng)目。實(shí)際上，基于理論2的方法，所有C-空間計(jì)算和存儲(chǔ)都在3維空間內(nèi)完成，因此標(biāo)準(zhǔn)校核模型技巧可以應(yīng)用。
該研究的一個(gè)主要貢獻(xiàn)是發(fā)展了一個(gè)特別的支持布局設(shè)計(jì)的C-空間方法。應(yīng)用這個(gè)C-空間方法，所有的可行布局設(shè)計(jì)很好的被顯示出來(lái)。同時(shí)我們得出了該方法不僅可以用于冷卻系統(tǒng)設(shè)計(jì)的優(yōu)化設(shè)計(jì)支持，還可以用于生產(chǎn)制造。該方法克服特殊啟發(fā)產(chǎn)生布局設(shè)計(jì)的局限，如前面的方法[13，14]。這個(gè)C-空間方法能夠獨(dú)立作為一個(gè)系統(tǒng)去支持互動(dòng)布局設(shè)計(jì)。它使設(shè)計(jì)者在不用檢查冷卻系統(tǒng)截面和其它模型插件能夠開(kāi)發(fā)出設(shè)計(jì)方法。
該研究主要目的集中在冷卻系統(tǒng)設(shè)計(jì)的幾何形狀構(gòu)成方面。在設(shè)計(jì)冷卻系統(tǒng)時(shí)，其它參數(shù)如冷流率，冷卻時(shí)間，包裝時(shí)間，擠出時(shí)間都需要被考慮進(jìn)來(lái)。一個(gè)可行的方法就是將這些所有參數(shù)進(jìn)行考慮插入配備更復(fù)雜的GA的C-空間方法，如[8]報(bào)道所示。需要對(duì)該方法進(jìn)一步研究，其他研究方向包括C-空間方法處理冷卻系統(tǒng)拓?fù)渥兓途唧w設(shè)計(jì)約束，如初始設(shè)計(jì)選擇水道之間的變化幾何形狀和拓?fù)浼s束扽。
鳴謝
該文章中所完成的工作得到香港城市大學(xué)戰(zhàn)略研究部（項(xiàng)目No.7001775）的大力支持。
（a）設(shè)計(jì)1的模具溫度 （b）設(shè)計(jì)2的模具溫度
（c）設(shè)計(jì)1零件的不同溫度 （d）設(shè)計(jì)2零件的不同溫度
圖10。用CAE模具冷卻分析系統(tǒng)比較這兩個(gè)布圖設(shè)計(jì)
引理2
在中給定兩個(gè)區(qū)間和。如果，那么
引理3
在中給定，那么
引理4
在中給定任意兩個(gè)和。如果，則它們對(duì)的投影滿足：
引理5
給定兩個(gè)區(qū)間和滿足。則在中的區(qū)間滿足：
引理6
給定三個(gè)區(qū)間、和滿足和。則在中的區(qū)間滿足：
引理7
引理8
給定兩個(gè)區(qū)間和滿足，其中點(diǎn)在中，點(diǎn)在中，如果
那么：
定理1
參考文獻(xiàn)：