2019中考數(shù)學 第二部分 專題綜合強化 專題四 二次函數(shù)的綜合探究實用課件.ppt

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專題綜合強化 第二部分 專題四二次函數(shù)的綜合探究 ?？碱}型 精講 1 二次函數(shù)與等腰三角形存在性問題 1 數(shù)形結合 注意使用等腰三角形的性質與判定 2 函數(shù)問題離不開方程 注意方程與方程組的使用 3 找動點 使之與已知兩點構成等腰三角形 類型1二次函數(shù)與特殊三角形的存在性問題 2 二次函數(shù)與直角三角形存在性問題 1 直角三角形一般涉及勾股定理 注意勾股定理的正定理與逆定理 同時注意直角三角形的特殊角的三角函數(shù)的運用 2 直角三角形與二次函數(shù)屬于代數(shù)與幾何的結合 把幾何問題數(shù)字化 這類問題要注意平面直角坐標系的作用 3 綜合問題注意全等 相似 勾股定理 解直角三角形等知識的使用 4 找動點 使之與已知兩點構成直角三角形 例1如圖 拋物線y ax2 2ax 3a a 0 與x軸相交于A B兩點 A在B的左側 且MN x軸 垂足為N 1 若頂點M的縱坐標為4 求拋物線的解析式 根據(jù)頂點坐標公式用含a的代數(shù)式表示頂點坐標 當M的縱坐標為4時 求出a的值 思路點撥 2 求AB的長 令ax2 2ax 3a 0 解一元二次方程 求出x的值 利用x軸上兩點之間距離公式求出AB的值 解答 令ax2 2ax 3a 0 解得x1 1 x2 3 AB 4 思路點撥 思路點撥 4 若直線BM與y軸相交于C 當 COM為等腰三角形時 求M的坐標 根據(jù)M 1 4a B 3 0 兩點坐標確定含系數(shù)a的直線MB的解析式 分類討論 當MC OM時 當OC OM時 當OC MC時 求出系數(shù)a的值 即得到M的坐標 思路點撥 設P的縱坐標為m 分情況討論 當P在M的上方時 當P在M的下方時 分別求出點P的坐標 思路點撥 1 解決平行四邊形的存在性問題 具體方法如下 1 假設結論成立 2 探究平行四邊形通常有兩類 一類是已知兩定點去求未知點的坐標 一類是已知給定的三點去求未知點的坐標 第一類 以兩定點連線所成的線段作為要探究平行四邊形的邊或對角線畫出符合題意的平行四邊形 第二類 分別以已知三個定點中的任意兩個定點確定的線段為探究平行四邊形的邊或對角線畫出符合題意的平行四邊形 類型2二次函數(shù)與特殊四邊形的存在問題 3 建立關系式 并計算 根據(jù)以上分類方法畫出所有符合條件的圖形后 可以利用平行四邊形的性質進行計算 也可利用全等三角形 相似三角形或直角三角形的性質進行計算 要具體情況具體分析 有時也可以利用直線的解析式方程組 由方程組的解為交點坐標的性質求解 2 對于特殊四邊形的存在性問題 也常以探究菱形 矩形 正方形來設題 具體解決方法如下 若四邊形的四個頂點位置已確定 則直接利用四邊形邊的性質進行計算 若四邊形的四個頂點位置不確定 需分情況討論 1 探究菱形 已知三個定點去求未知點坐標 已知兩個定點去求未知點坐標 一般會用到菱形的對角線互相垂直平分 四邊相等等性質列關系式 2 探究正方形 利用正方形對角線互相平分且相等的性質進行計算 一般是分別計算出兩條對角線的長度 令其相等 得到方程再求解 3 探究矩形 利用矩形對邊相等 對角線相等列等量關系式求解 或根據(jù)鄰邊垂直 利用勾股定理列關系式求解 例2如圖 拋物線y x2 2x 3與x軸相交于A B兩點 A在B的左側 且與y軸交于點C 點D是拋物線的頂點 拋物線的對稱軸DE交x軸于點E 連接BD 1 求直線BD的解析式 點D是拋物線的頂點 利用二次函數(shù)的頂點坐標公式求出點D的坐標 令 x2 2x 3 0 求出x的值 即可得到A B兩點的坐標 再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式 思路點撥 2 若H K分別為拋物線 y軸負半軸上的點 且使四邊形BDHK為平行四邊形 求H的坐標 根據(jù)二次函數(shù)圖象得到K的橫坐標 BDHK為平行四邊形 由平行四邊形的性質 可求出H的橫坐標 將橫坐標代入y x2 2x 3 得到H的坐標 思路點撥 解答 如答圖1 可得K的橫坐標為0 四邊形BDHK為平行四邊形 H的橫坐標為 2 將x 2代入y x2 2x 3 得y 2 2 2 2 3 5 即H的坐標為 2 5 3 若H K分別為線段BD與x軸上的點 將 BHK沿HK翻折 點B剛好落在y軸的Q處 且四邊形BHQK恰好為平行四邊形 求H與B的水平距離 根據(jù)折疊的性質 可得BH HQ 四邊形BHQK恰好為平行四邊形 得出四邊形BHQK為菱形 根據(jù)BHQK為菱形的性質知QH x軸 設H的橫坐標為a 表示出H的縱坐標 過點H作x軸的垂線 垂足為R 用系數(shù)a可得HR BR的長度 由勾股定理可得BH2 BR2 HR2 3 a 2 2a 6 2 5a2 30a 45 由HQ2 BH2 求出a的值 從而求出H與B的水平距離 思路點撥 解答 如答圖2 由翻折可得BH HQ 又 四邊形BHQK恰好為平行四邊形 四邊形BHQK為菱形 QH x軸 設H的橫坐標為a 則H的縱坐標為 2a 6 過點H作x軸的垂線 垂足為R 可得HR 2a 6 BR 3 a 4 點P 2 m 是線段BD上一點 過點P作PF x軸于點F G為拋物線上一動點 M為x軸上一動點 N為直線PF上一動點 當以F M N G為頂點的四邊形是正方形時 請求出點M的坐標 將 2 m 代入 可得m的值 即可得到點P的坐標 設點M的坐標為 n 0 得到點G的坐標 以F M N G為頂點的四邊形是正方形 FM MG 解得n的值 即可求出點M的坐標 思路點撥 解答 將 2 m 代入y 2x 6 可得m y 2 2 6 2 點P的坐標為 2 2 設點M的坐標為 n 0 則點G的坐標為 n n2 2n 3 以F M N G為頂點的四邊形是正方形 FM MG 即 2 n n2 2n 3 當2 n n2 2n 3時 探究三角形相似的一般思路 解答三角形相似的存在性問題時 要運用分類討論的思想及數(shù)形結合的思想 具體方法步驟如下 1 假設結論成立 分情況討論 探究三角形相似時 往往沒有明確指出兩個三角形的對應角 尤其是以文字形式出現(xiàn)要證明兩個三角形相似的題目 或者涉及動點問題 因動點問題中點位置的不確定 此時應考慮不同的對應關系 分情況討論 類型3二次函數(shù)與相似三角形的存在性問題 2 確定分類標準 在分類時 先要找出分類的標準 看兩個相似三角形是否有對應相等的角 若有 找出對應相等的角后 再根據(jù)其他角進行分類討論來確定相似三角形成立的條件 若沒有 則分別按三對角對應來分類討論 3 建立關系式 并計算 由相似三角形列出相應的比例式 將比例式中的線段用所設點的坐標表示出來 其長度多借助勾股定理運算 整理可得一元一次方程或者一元二次方程 解方程可得字母的值 再通過計算得出相應的點的坐標 例3拋物線y x2 bx c與x軸交于A B 1 0 兩點 點A在點B的左側 與y軸交于點C 且OC 3 1 求拋物線的解析式 由OC 3 可得點C的坐標 將 1 0 0 3 代入y x2 bx c 即可得到拋物線的解析式 思路點撥 2 求直線AC的解析式 由拋物線的解析式得到對稱軸 又B 1 0 得到點A的坐標 設直線AC的解析式為y kx m 將A 3 0 C 0 3 代入y kx m 求出直線AC的解析式 思路點撥 3 若拋物線的頂點為M 試判斷AC與MC的位置關系 并說明理由 由二次函數(shù)解析式求出頂點坐標 從求出AC MC AM的值 判斷出AC MC AM三條線段存在的數(shù)量關系 即可確定AC與MC的位置關系 思路點撥 4 點P是線段AC上一個動點 連接OP 是否存在點P 使得以點O C P為頂點的三角形與 ABC相似 若存在 求出點P的坐標 若不存在 請說明理由 由 PCO BAC 45 分情況討論 當 PCO BAC時 當 PCO CAB時 分別求出PC的長 過點P作PH y軸于點H 則 PHC為等腰直角三角形 求出點P的坐標即可 思路點撥 1 三角形面積的最大值問題 1 拋物線上是否存在一點 使之和一條定線段構成的三角形面積最大 的問題 簡稱 一邊固定兩邊動的問題 方法1 首先利用兩點間的距離公式求出定線段的長度 然后利用上面的方法 求出拋物線上的動點到該定直線的最大距離 類型4二次函數(shù)與面積最值問題 2 三邊均動的動三角形面積最大 的問題 簡稱 三邊均動 的問題 先把動三角形分割成兩個基本模型的三角形 有一邊在x軸或y軸上的三角形 或者有一邊平行于x軸或y軸的三角形 稱為基本模型的三角形 面積之差 設出動點在x軸或y軸上的點的坐標 而此類題型 題中一定含有一組平行線 從而可以得出分割后的一個三角形與圖中另一個三角形相似 常為圖中最大的那一個三角形 利用相似三角形的性質 對應邊的比等于對應高的比 可表示出分割后的一個三角形的高 從而可以表示出動三角形的面積的一個開口向下的二次函數(shù)關系式 相應問題也就輕松解決了 2 四邊形面積的最大值問題 1 拋物線上是否存在一點 使之和另外三個定點構成的四邊形面積最大 的問題 由于該四邊形有三個定點 從而可把動四邊形分割成一個動三角形與一個定三角形 連接兩個定點 即可得到一個定三角形 的面積之和 所以只需動三角形的面積最大 就會使動四邊形的面積最大 而動三角形面積最大值的求法與1中 三角形面積的最大值問題 的求法類似 2 定四邊形面積的求解 問題 有兩種常見的解決方案 方案一 連接一條對角線 分成兩個三角形面積之和 方案二 過不在x軸或y軸上的四邊形的一個頂點 向x軸 或y軸 作垂線 或者把該點與原點連接起來 分割成一個梯形 常為直角梯形 和一些三角形的面積之和 或差 或幾個基本模型的三角形面積的和 差 思路點撥 2 求直線BC的解析式 當x 0時 代入解析式 求出點C的坐標 設直線BC的解析式為y kx b k 0 將B 8 0 C 0 4 代入y kx b 求出直線BC的解析式 思路點撥 3 若點M是拋物線上B C兩點之間的一個動點 不與點B 點C重合 過點M作y軸的平行線 交直線BC于點N 交x軸于點H 當點M與拋物線頂點重合時 求 BCM的面積 思路點撥 4 在第 3 問結論下 當MN將 BCM的面積分割為1 2時 求點N的坐標 當CN BN 1 2或CN BN 2 1時 MN將 BCM的面積分割為1 2 此時 可得OH BH 1 2或OH BH 2 1 分別計算出對應的x的值 即可得到點N的坐標 思路點撥 5 在第 3 問結論下 是否存在一點M 使 MBC的面積最大 若存在 請求出 MBC的最大面積 若不存在 試說明理由 思路點撥 類型5二次函數(shù)與動點問題 例5如圖 拋物線y ax2 bx 4與x軸交于A 3 0 B 4 0 兩點 與y軸交于點C 連接AC BC 點P是第四象限內拋物線上的一個動點 點P的橫坐標為m 過點P作PM x軸 垂足為點M PM交BC于點Q 1 求拋物線的解析式 將A 3 0 B 4 0 代入y ax2 bx 4 求出拋物線的解析式 思路點撥 2 當 BOP 45 時 求點M的坐標 根據(jù)題意 可得點P的坐標 當 BOP 45 時 OM PM 求出m的值 從而求出點M的坐標 思路點撥 3 試探究在點P運動的過程中 是否存在這樣的點Q 使得以A C Q為頂點的三角形是等腰三角形 若存在 請求出此時點Q的坐標 若不存在 請說明理由 根據(jù)已知求出AC的值 得到直線BC的解析式 設Q m m 4 0 m 4 分別表示出AQ2 CQ2 分CQ CA AQ AC QA QC三種情況 分別求得m的值 從而得到Q點坐標 思路點撥 4 在 3 的條件下 求 ACQ面積的最大值 易得到AB OC的長度 即可得到 ABC的面積 從而求得 ACQ面積的最大值 思路點撥 5 過點P作PE AC交x軸于點E 交BC于點F 請用含m的代數(shù)式表示線段QF的長 并求出m為何值時QF有最大值 思路點撥 6 當點P運動到拋物線的頂點時 拋物線與x軸上是否分別存在G H兩點 使以M Q G H為頂點的四邊形為平行四邊形 若存在 求出點H的坐標 若不存在 請說明理由 思路點撥 理解并記住常見的 將軍飲馬 模型輔助線添加方法 對常見的軸對稱圖形 如等腰三角形 正方形 圓 的對稱軸要靈活運用 常見考法有 1 將軍飲馬 與坐標系結合 2 利用菱形的對角線 3 利用圓的直徑 類型6二次函數(shù)與線段最值問題 下表給出幾何最值問題的幾種中考題型及解題作圖方法 例6如圖 直線y x 3分別與x軸 y軸相交于A B兩點 經過A B兩點的拋物線y x2 bx c與x軸的另一交點為C 1 求拋物線的解析式 根據(jù)題意可得B 0 3 A 3 0 將A 3 0 B 0 3 代入y x2 bx c 即可得到拋物線的解析式 思路點撥 2 點D為線段AO上的一動點 過點D作x軸的垂線PD PD分別與拋物線y x2 bx c 直線y x 3相交于P E兩點 設D的橫坐標為m 在點D的運動過程中 求線段PE的最大值 由點D的橫坐標為m 用系數(shù)m表示出點P E的縱坐標 從而用系數(shù)m表示PE的長度 利用配方法求出PE的最大值 思路點撥 3 在 2 的條件下 當PE AE時 求點P的坐標 易得OA OB的值 從而tan OAB 1 即 BAO 45 得到PE AE 3 m 求出m的值 即可得點P的坐標 思路點撥 4 在 2 的條件下 當線段PE最長時 Q為PD上一點 是否存在BQ CQ的值最小的情況 若存在 請求出點Q的坐標 若不存在 請說明理由 思路點撥 5 若M為拋物線對稱軸上一動點 求 BCM周長的最小值及此時點M的坐標 思路點撥 可得拋物線的對稱軸為直線x 1 由拋物線的軸對稱可知 A C兩點關于直線x 1對稱 連接AB 則直線AB與直線x 1的交點為M 此時 BCM周長最小 由 2 3 可得OC OB OA的值 由勾股定理可得BC AB的值 得到 BCM周長的最小值 將x 1代入y x 3 即可得到點M的坐標 6 若M N為拋物線對稱軸上的兩點 點M在點N的上方 且MN 1 當四邊形BCNM的周長最小值時 求點M N的坐標 思路點撥