《試題及答案》word版.doc

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1.已知點M（-2，0），N（2，0），動點P滿足條件：，記為點P的軌跡方程為W。 （Ⅰ）求W方程； （Ⅱ）若A，B是W上的不同兩點，O為坐標原點，求：的最小值。 2. 直線的右支交于不同的兩點A、B. （Ⅰ）求實數(shù)k的取值范圍； （Ⅱ）是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由. 3.設雙曲線C：相交于兩個不同的點A、B. （I）求雙曲線C的離心率e的取值范圍： 4.（II）已知為橢圓C的兩焦點，P為C上任意一點，且向量的夾角余弦的最小值為. (Ⅰ)求橢圓C的方程； (Ⅱ)過 的直線與橢圓C交于M、N兩點，求（O為原點）的面積的最大值及相應的直線的方程. 設直線l與y軸的交點為P，且求a的值. 5. 已知橢圓的左焦點為F，O為坐標原點. （I）求過點O、F，并且與橢圓的左準線相切的圓的方程； （II）設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍. 6為橢圓：的兩焦點為，橢圓上存在點使 （1）求橢圓離心率的取值范圍； （2）當離心率取最小值時，點到橢圓上的點的最遠距離 ①求此時橢圓的方程； ②設斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，為的中點，問兩點能否關于過、的直線對稱？若能，求出的取值范圍；若不能，請說明理由。 7、已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切，分別是橢圓的左右兩個頂點， 為橢圓上的動點. （Ⅰ）求橢圓的標準方程； （Ⅱ）若與均不重合，設直線與的斜率分別為，證明：為定值； （Ⅲ）為過且垂直于軸的直線上的點，若，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線． 8、（如圖）設橢圓中心在坐標原點，是它的兩個頂點，直線 與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點． D F B y x A O E （1）若，求的值； （2）求四邊形面積的最大值． 9、已知橢圓：的離心率為，過坐標原點且斜率為的直線與相交于、，． ⑴求、的值； ⑵若動圓與橢圓和直線都沒有公共點，試求的取值范圍． 10、已知橢圓：（）的上頂點為，過的焦點且垂直長軸的弦長為．若有一菱形的頂點、在橢圓上，該菱形對角線所在直線的斜率為． ⑴求橢圓的方程； ⑵當直線過點時，求直線的方程； ⑶（本問只作參考，不計入總分）當時，求菱形面積的最大值． 11.在直角坐標系中，點P到兩點，的距離之和等于4，設點P的軌跡為，直線與C交于A，B兩點． （Ⅰ）寫出C的方程； （Ⅱ）若，求k的值。（變式：若為銳角（鈍角），則k的取值范圍。） 12. 已知動圓過定點，且與定直線相切. （I）求動圓圓心的軌跡C的方程； （II）若是軌跡C的動弦，且過， 分別以、為切點作軌跡C的切線，設兩切線交點為Q，證明:. 13．已知橢圓的兩個焦點分別為、，點在橢圓E上． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）若點在橢圓上，且滿足，求實數(shù)的取值范圍． 20090423 14．（本題滿分15分）已知橢圓：的右頂點為，過的焦點且垂直長軸的弦長為． （I）求橢圓的方程； （II）設點在拋物線：上，在點處 的切線與交于點．當線段的中點與的中 點的橫坐標相等時，求的最小值． 20090423 15.在平面直角坐標系中，動點到定點的距離比點到軸的距離大，設動點的軌跡為曲線，直線交曲線于兩點，是線段的中點，過點作軸的垂線交曲線于點． （Ⅰ）求曲線的方程； （Ⅱ）證明：曲線在點處的切線與平行； （Ⅲ）若曲線上存在關于直線對稱的兩點，求的取值范圍． 16.（本小題滿分14分） 已知橢圓的離心率為，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設直線與橢圓交于兩點，且以為直徑的圓過橢圓的右頂點， 求面積的最大值． 17．(本小題共13分） 在平面直角坐標系中，設點，以線段為直徑的圓經(jīng)過原點. （Ⅰ）求動點的軌跡的方程； （Ⅱ）過點的直線與軌跡交于兩點，點關于軸的對稱點為，試判斷直線是否恒過一定點，并證明你的結(jié)論. 18. （本小題共13分） 已知橢圓的離心率為，且兩個焦點和短軸的一個端點是一個等腰三角形的頂點．斜率為的直線過橢圓的上焦點且與橢圓相交于，兩點，線段的垂直平分線與軸相交于點． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）求的取值范圍； （Ⅲ）試用表示△的面積，并求面積的最大值． 19． （本小題共14分） 已知橢圓 經(jīng)過點其離心率為. （Ⅰ）求橢圓的方程； (Ⅱ)設直線與橢圓相交于A、B兩點，以線段為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點P在橢圓上，為坐標原點.求的取值范 20.（本小題共14分） 已知點，，動點P滿足，記動點P的軌跡為W． （Ⅰ）求W的方程； （Ⅱ）直線與曲線W交于不同的兩點C，D，若存在點，使得成立，求實數(shù)m的取值范圍． 21.（本小題滿分14分） 已知橢圓經(jīng)過點，離心率為．過點的直線與橢圓交于不同的兩點． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）求的取值范圍； （Ⅲ）設直線和直線的斜率分別為和，求證:為定值． 22. （本小題滿分14分） 已知橢圓C的左，右焦點坐標分別為,離心率是。橢圓C的左，右頂點分別記為A,B。點S是橢圓C上位于軸上方的動點，直線AS,BS與直線分別交于M,N兩點。 （1） 求橢圓C的方程； （2） 求線段MN長度的最小值； 23．（本小題滿分14分） 已知點是離心率為的橢圓：上的一點．斜率為的直線 交橢圓于、兩點，且、、三點不重合． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由？ （Ⅲ）求證：直線、的斜率之和為定值． 24. (本小題13分) o y F x N B M 已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，它的一個頂點與拋物線的焦點重合，離心率. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）是否存在直線與橢圓交于、兩點， 且橢圓的右焦點恰為的垂心（三條 高所在直線的交點），若存在，求出直線的方程， 若不存在，請說明理由. 25.（本小題滿分14分） 已知拋物線的焦點為，過的直線交軸正半軸于點，交拋物線于兩點，其中點在第一象限. （Ⅰ）求證：以線段為直徑的圓與軸相切； （Ⅱ）若,,，求的取值范圍. 1.解：（Ⅰ）由知動點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支 實半軸長 故W方程為： （Ⅱ）設A，B的坐標分別為 當ABx軸時，，從而 當AB和x軸不垂直時，設直線AB的方程為 與W的方程聯(lián)立，消去y，得 所以 綜上：當A，B是W上不同兩點時， 即的最小值為2. 2解：（Ⅰ）將直線 ……① 依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點，故 （Ⅱ）設A、B兩點的坐標分別為、，則由①式得 ……② 假設存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F（c,0）. 則由FA⊥FB得： 整理得 ……③ 把②式及代入③式化簡得 3.解：（I）由C與t相交于兩個不同的點，故知方程組 有兩個不同的實數(shù)解.消去y并整理得 （1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ① 雙曲線的離心率 （II）設 由于x1+x2都是方程①的根，且1－a2≠0， 4解：(Ⅰ)設橢圓的長軸為2a, ∴ = = 又 ∴ 即 ∴ ∴橢圓方程為 (Ⅱ) 由題意可知NM不可能過原點,則可設直線NM的方程為: 設 = 即 . 由韋達定理得: ∴ = = 令 , 則 ∴=. 又令, 易知在[1,+∞）上是增函數(shù), 所以當,即 時有最小值5. ∴有最大值 ∴ 的面積有最大值. 直線的方程為. 5.解：（I） 圓過點O、F， 圓心M在直線上。 設則圓半徑 由得 解得 所求圓的方程為 （II）設直線AB的方程為 代入整理得 直線AB過橢圓的左焦點F，方程有兩個不等實根。 記中點 則 的垂直平分線NG的方程為 令得 點G橫坐標的取值范圍為 6.解：（1）設……① 將代入①得 求得 …………4分 （2）①時，設橢圓方程為，是橢圓上任一點， 則 （?。┤?，則時， ∴，此時橢圓方程為 …………………7分 （ⅱ）若，則時， ∴，矛盾 綜合得橢圓方程為 …………………………………9分 ②由得 可求得，由求得， 代入解得 7、解：（Ⅰ）由題意可得圓的方程為， ∵直線與圓相切，∴，即， ---------------------------------------1分 又，即，，得，，所以橢圓方程為．-----------3分 （Ⅱ）設， ，，則，即， 則，， ---------------------------------------4分 即， ∴為定值． ---------------------------------------6分 （Ⅲ）設，其中． 由已知及點在橢圓上可得， 整理得，其中． -------------------------------------8分 ①當時，化簡得， 所以點的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段； --------------------9分 ②當時，方程變形為，其中，-------------------------------------11分 當時，點的軌跡為中心在原點、實軸在軸上的雙曲線滿足的部分； 當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓滿足的部分； 當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓． -------------- 8.（Ⅰ）解：依題設得橢圓的方程為， 直線的方程分別為，． 2分 D F B y x A O E 如圖，設，其中， 且滿足方程， 故．① 由知，得； 由在上知，得． 所以， 化簡得， 解得或． 6分 （Ⅱ）根據(jù)點到直線的距離公式和①式知，點到的距離分別為 ， ． 9分 又，所以四邊形的面積為 ， 當，即當時，上式取等號．所以的最大值為． 9、解：⑴依題意，：……1分，不妨設設、（）……2分， 由得，……3分，所以……5分， 解得，……6分． ⑵由消去得……7分，動圓與橢圓沒有公共點，當且僅當或……9分，解得或……10分。動圓與直線沒有公共點當且僅當，即……12分。解或……13分，得的取值范圍為……14分．………………14分 10、解：⑴依題意，……1分，解……2分，得……3分，所以，……4分，橢圓的方程為……5分。 ⑵直線：……7分，設：……8分，由方程組得……9分，當時……10分，、的中點坐標為，……12分，是菱形，所以的中點在上，所以……13分，解得，滿足，所以的方程為……14分。 ⑶（本小問不計入總分，僅供部分有余力的學生發(fā)揮和教學拓廣之用）因為四邊形為菱形，且，所以，所以菱形的面積，由⑵可得 ，因為，所以當且僅當時，菱形的面積取得最大值，最大值為。 11解：（Ⅰ）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以為焦點，長半軸為2的橢圓．它的短半軸， 故曲線C的方程為． （Ⅱ）設，其坐標滿足 消去y并整理得， 故． 若，即． 而， 于是， 化簡得，所以． 12.解：（I）依題意，圓心的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線上……2分 因為拋物線焦點到準線距離等于4, 所以圓心的軌跡是………………….5分 （II） …………….6分 ， ， ………8分 拋物線方程為 所以過拋物線上A、B兩點的切線斜率分別是 ， ， 所以， 13.（Ⅰ）解法一：依題意，設橢圓的方程為（）， 由已知半焦距，∴． ① ……2分 ∵點在橢圓上，則． ② ……4分 由①、②解得，，． ∴橢圓的方程為． ……6分 解法二：依題意，設橢圓的方程為（）， ∵點在橢圓上，∴，即． ……3分 由已知半焦距，∴． ……5分 ∴橢圓的方程為． ……6分 （Ⅱ）設，由，得 ， 即． ③ ……8分 ∵點在曲線上， ∴． ④ 由③得，代入④，并整理得 ． ⑤ ……10分 由④知，， ⑥ ……12分 結(jié)合⑤、⑥，解得：． ∴實數(shù)的取值范圍為． ……14分 14.解析：（I）由題意得所求的橢圓方程為，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II）不妨設則 拋物線在點P處的切線斜率為， 直線MN：，代入橢圓得： ， 即， ， 因線段MN的中點與線段PA的中點的橫坐標相等則： 或 或； 當時，不成立； 因此，當時，得，代入成立， 因此的最小值為1． 15．（共13分） （Ⅰ）解：由已知，動點到定點的距離與動點到直線的距離相等． 由拋物線定義可知，動點的軌跡為以為焦點，直線為準線的拋物線． 所以曲線的方程為． ………………3分 （Ⅱ）證明：設，． 由得． 所以，． 設，則． 因為軸， 所以點的橫坐標為． 由，可得 所以當時，． 所以曲線在點處的切線斜率為，與直線平行．………………8分 （Ⅲ）解：由已知，． 設直線的垂線為：． 代入，可得 （*） 若存在兩點關于直線對稱， 則， 又在上， 所以， ． 由方程（*）有兩個不等實根 所以，即 所以，解得或． ………………13分 16.（本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）因為橢圓上一點和它的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為， 所以， ……………1分 又橢圓的離心率為，即，所以， ………………2分 所以，. ………………4分 所以，橢圓的方程為. ………………5分 （Ⅱ）方法一：不妨設的方程，則的方程為. 由得， ………………6分 設，， 因為，所以， ………………7分 同理可得， ………………8分 所以，， ………………10分 ， ………………12分 設， 則， ………………13分 當且僅當時取等號， 所以面積的最大值為. ………………14分 方法二：不妨設直線的方程. 由 消去得， ………………6分 設，， 則有，. ① ………………7分 因為以為直徑的圓過點，所以 . 由 ， 得 . ………………8分 將代入上式， 得 . 將 ① 代入上式，解得 或（舍）. ………………10分 所以（此時直線經(jīng)過定點，與橢圓有兩個交點）， 所以 . ……………12分 設， 則. 所以當時，取得最大值. ……………14分 17．(共13分） 解：（I）由題意可得， ……………………………2分 所以，即 ………………………………4分 即，即動點的軌跡的方程為 ……………5分 （II）設直線的方程為,，則. 由消整理得， ………………………………6分 則，即. ………………………………7分 . …………………………………9分 直線 ……………………………………12分 即 所以，直線恒過定點. ……………………………………13分 18.（共13分） 解：（Ⅰ）依題意可得，，， 又， 可得． 所以橢圓方程為． （Ⅱ）設直線的方程為， 由可得． 設， 則，． 可得． 設線段中點為，則點的坐標為， 由題意有， 可得． 可得， 又， 所以． （Ⅲ）設橢圓上焦點為， 則. ， 由，可得． 所以． 又， 所以. 所以△的面積為（）． 設， 則． 可知在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減． 所以，當時，有最大值． 所以，當時，△的面積有最大值． 19.解：（Ⅰ）由已知可得，所以 ① ……………1分 又點在橢圓上，所以 ② ……………2分 由①②解之，得. 故橢圓的方程為. ……………5分 (Ⅱ) 由 消化簡整理得：， ③ ……………8分 設點的坐標分別為，則 . ……………9分 由于點在橢圓上，所以 . ……………10分 從而，化簡得，經(jīng)檢驗滿足③式. ………11分 又 ………………………12分 因為，得，有， 故. 即所求的取值范圍是. ………………………14分 (Ⅱ)另解：設點的坐標分別為， 由在橢圓上，可得 ………………………6分 ①—②整理得 ………………………7分 由已知可得，所以 ……………………8分 由已知當 ,即 ⑥ ………………………9分 把④⑤⑥代入③整理得 ………………………10分 與聯(lián)立消整理得 ……………………11分 由得， 所以 ……………………12分 因為，得，有， 故. ………………………13分 所求的取值范圍是. ………………………14分 20.（本小題共14分） 。解：（Ⅰ）由橢圓的定義可知，動點P的軌跡是以A，B為焦點，長軸長為的橢圓． ∴，，． ∴W的方程是． ……………………4分 （Ⅱ）設C，D兩點坐標分別為、，C，D中點為． 當時，顯然； 當時， 由 得 ． 所以， ∴， 從而． ∴斜率． 又∵， ∴， ∴ 即 ． 故所求的取范圍是． ……………………14分 21.（本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）由題意得 解得，． 故橢圓的方程為． ……………………………………4分 （Ⅱ）由題意顯然直線的斜率存在，設直線方程為， 由得. …………………5分 因為直線與橢圓交于不同的兩點，， 所以，解得. ……6分 設，的坐標分別為，， 則，，，．… 7分 所以 ……………………………………8分 ． ……………………………………9分 因為，所以． 故的取值范圍為． ……………………………………10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得 ……………………………………11分 ． 所以為定值． ……………………………………14分 22. 順義2 解（1）因為，且，所以 所以橢圓C的方程為 …………………………………………….3分 (2 ) 易知橢圓C的左，右頂點坐標為,直線AS的斜率顯然存在，且 故可設直線AS的方程為，從而 由得 設，則，得 從而，即 又,故直線BS的方程為 由得，所以 故 又，所以 當且僅當時，即時等號成立 所以時，線段MN的長度取最小值 ………………………………..9分 23.解：（Ⅰ）， ， ，， X Y O D B A --------------------------------------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）設直線BD的方程為 ----① -----② ， 設為點到直線BD：的距離， ，當且僅當時取等號. 因為，所以當時，的面積最大，最大值為--------10分 （Ⅲ）設，，直線、的斜率分別為： 、，則 = ------* 將（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得 =0， 即0----------------------------------------------------------------------------------------------14分 24．（Ⅰ）設橢圓方程為 ， …………… 1分 ∵ 拋物線的焦點坐標為 ∴ ……………… 2分 由已知得， ∴ ，………………………… 3分 解得 …………………………………… 4分 ∴ 橢圓方程為 …………………………………… 5分 （Ⅱ）設，∴ ∵是垂心，∴ ∴ 設的方程為， ……………………………… 7分 代入橢圓方程后整理得： ……………………8分 ∴ ……………………………… 9分 將代入橢圓方程后整理得： ∴ …………………………………… 10分 ∵ 是垂心，∴ ， ∴ ， ………………………………… 11分 整理得： ∴ ∴ ………… 12分 ∴ 或（舍） ∴存在直線 ，其方程為使題設成立。 ………………… 13分 25. （本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）由已知,設，則， 圓心坐標為，圓心到軸的距離為， …………………2分 圓的半徑為， …………………4分 所以，以線段為直徑的圓與軸相切. …………………5分 （Ⅱ）解法一：設，由,,得 ，， …………………6分 所以， ， …………………8分 由，得. 又，， 所以 . …………………10分 代入，得，， 整理得， …………………12分 代入，得， 所以， …………………13分 因為，所以的取值范圍是.