2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第3部分 考前增分策略 專題1 考前教材重溫 8 推理證明、復(fù)數(shù)、算法教學(xué)案 理
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1、 8.推理證明、復(fù)數(shù)、算法 ■要點(diǎn)重溫…………………………………………………………………………· 1.歸納推理和類比推理 共同點(diǎn):兩種推理的結(jié)論都有待于證明. 不同點(diǎn):歸納推理是由特殊到一般的推理,類比推理是由特殊到特殊的推理. [應(yīng)用1] (1)某校舉行了以“重溫時(shí)代經(jīng)典,唱響回聲嘹亮”為主題的“紅歌”歌詠比賽.該校高一年級有1,2,3,4四個(gè)班參加了比賽,其中有兩個(gè)班獲獎(jiǎng).比賽結(jié)果揭曉之前,甲同學(xué)說:“兩個(gè)獲獎(jiǎng)班級在2班、3班、4班中”,乙同學(xué)說:“2班沒有獲獎(jiǎng),3班獲獎(jiǎng)了”,丙同學(xué)說:“1班、4班中有且只有一個(gè)班獲獎(jiǎng)”,丁同學(xué)說:“乙說得對”.已知這四人中有且只有兩人的說法是
2、正確的,則這兩人是( ) A.乙,丁 B.甲,丙 C.甲,丁 D.乙,丙 (2)圖32(1)有面積關(guān)系:=,則圖32(2)有體積關(guān)系:________. 【導(dǎo)學(xué)號:07804197】 圖32(1) 圖32(2) [解析] (1)根據(jù)題意,由于甲乙丙丁四人中有且只有兩人的說法是正確的,假設(shè)乙的說法是正確的,則丁也是正確的,那么甲丙的說法都是錯(cuò)誤的,如果丙同學(xué)說:“1班、4班中有且只有一個(gè)班獲獎(jiǎng)”是錯(cuò)誤的,那么1班、4班都獲獎(jiǎng)或1班、4班都沒有獲獎(jiǎng),與乙的說法矛盾,故乙的說法是錯(cuò)誤,則丁同學(xué)說:“乙說得對”也是錯(cuò)誤的;故說法正確的是甲、丙,故選B. (2)∵在
3、由平面圖形到空間圖形的類比推理中,一般是由點(diǎn)的性質(zhì)類比推理到線的性質(zhì),由線的性質(zhì)類比推理到面的性質(zhì),由面積的性質(zhì)類比推理到體積性質(zhì).故由=(面積的性質(zhì)) 結(jié)合圖(2)可類比推理出: 體積關(guān)系:=. [答案] (1)B (2)= 2.證明方法:綜合法由因?qū)Ч?,分析法?zhí)果索因.反證法是常用的間接證明方法,利用反證法證明問題時(shí)一定要理解結(jié)論的含義,正確進(jìn)行反設(shè). [應(yīng)用2] 用反證法證明命題“三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60°”時(shí),應(yīng)假設(shè)________. [答案] 三角形三個(gè)內(nèi)角都大于60° 3.?dāng)?shù)學(xué)歸納法 一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行: (1)(歸
4、納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0 (n0∈N*)時(shí)命題成立;
(2)(歸納遞推)假設(shè)n=k (k≥n0,k∈N*)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.
只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.
[應(yīng)用3] 用數(shù)學(xué)歸納法證明1+++…+
5、,復(fù)數(shù)a+bi叫做虛數(shù);當(dāng)a=0且b≠0時(shí),復(fù)數(shù)a+bi叫做純虛數(shù). [應(yīng)用4] 當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí),z=+(m2+5m+6)i. (1)為實(shí)數(shù);(2)為虛數(shù);(3)為純虛數(shù);(4)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的第二象限? [答案] (1) m=-2;(2)m≠-2且m≠-3;(3)m=3;(4)m<-3或-2<m<3 5.復(fù)數(shù)的運(yùn)算 復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則與實(shí)數(shù)運(yùn)算法則相同,主要是除法法則的運(yùn)用,另外復(fù)數(shù)中的幾個(gè)常用結(jié)論應(yīng)記熟: (1)(1±i)2=±2i;(2)=i;=-i;(3)i4n=1;i4n+1=i;i4n+2=-1;i4n+3=-i;i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0.
6、 [應(yīng)用5] 已知復(fù)數(shù)z=,是z的共軛復(fù)數(shù),則||=________. [答案] 1 6.(1)循環(huán)結(jié)構(gòu)中幾個(gè)常用變量: ①計(jì)數(shù)變量:用來記錄某個(gè)事件發(fā)生的次數(shù),如i=i+1. ②累加變量:用來計(jì)算數(shù)據(jù)之和,如s=s+i. ③累乘變量:用來計(jì)算數(shù)據(jù)之積,如p=p×i. (2)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的框圖問題,關(guān)鍵是理解認(rèn)清終止循環(huán)結(jié)構(gòu)的條件及循環(huán)次數(shù). [應(yīng)用6] 執(zhí)行如圖33的程序框圖,輸出S的值為________. 【導(dǎo)學(xué)號:07804198】 圖33 [解析] 由算法知,記第k次計(jì)算結(jié)果為Sk,則有S1==-1,S2==,S3==2,S4==-1=S1, 因此{(lán)Sk}
7、是周期數(shù)列,周期為3,輸出結(jié)果為S2 017=S1=-1. [答案]?。? ■查缺補(bǔ)漏…………………………………………………………………………· 1.如果復(fù)數(shù)z=,則( ) A.z的共軛復(fù)數(shù)為1+i B.z的實(shí)部為1 C.|z|=2 D.z的虛部為-1 D [z==-1-i,因此z的共軛復(fù)數(shù)為-1+i,實(shí)部為-1,虛部為-1,模為,選D.] 2.若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2+i,則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 A [z====-i,=+i,共軛復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)為,為第一象限點(diǎn),故選A.] 3.觀察下
8、列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…,可以得出的一般結(jié)論是( ) A.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n2 B.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n2 D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)2 B [1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…,由上述式子可以歸納:等式左邊為連續(xù)自然數(shù)的和,有2n-1項(xiàng),且第一項(xiàng)為n,則最后一項(xiàng)為3n-2,等式右邊均為2n-
9、1的平方.]
4.某同學(xué)為實(shí)現(xiàn)“給定正整數(shù)N,求最小的正整數(shù)i,使得7i>N”,設(shè)計(jì)程序框圖如圖34,則判斷框中可填入( )
圖34
A.x≤N? B.x
10、 B.5 C.6 D.7 D [模擬算法:開始:a=10,i=1,a=1不成立; a是奇數(shù),不成立,a=5,i=2,a=1不成立; a是奇數(shù),成立,a=16,i=3,a=1不成立; a是奇數(shù),不成立,a=8,i=4,a=1不成立; a是奇數(shù),不成立,a=4,i=5,a=1不成立; a是奇數(shù),不成立,a=2,i=6,a=1不成立; a是奇數(shù),不成立,a=1,i=7,a=1成立; 輸出i=7,結(jié)束算法.故選D.] 6. “歐幾里得算法”是有記載的最古老的算法,可追溯至公元前300年前,如圖36的程序框圖的算法思路就是來源于“歐幾里得算法”,執(zhí)行該程序框圖(圖中“aMODb”表示
11、a除以b的余數(shù)),若輸入的a,b分別為675,125,則輸出的a=( ) 【導(dǎo)學(xué)號:07804199】 圖36 A.0 B.25 C.50 D.75 C [輸入a=675,b=125,675=125×5+50,c=50; a=125,b=50,125=50×2+25,c=25; a=50,b=25,50=25×2,c=0; 輸出a=50.] 7.遠(yuǎn)古時(shí)期,人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量,即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”.下圖所示的是一位母親記錄的孩子自出生后的天數(shù),在從右向左依次排列的不同繩子上打結(jié),滿七進(jìn)一,根據(jù)圖37可知,孩子已經(jīng)出生的天數(shù)是( ) 圖37 A.336
12、B.510 C.1 326 D.3 603 B [由題意滿七進(jìn)一,可得該圖示為七進(jìn)制數(shù), 化為十進(jìn)制數(shù)為1×73+3×72+2×7+6=510,故選B.] 8.在一次國際學(xué)術(shù)會議上,來自四個(gè)國家的五位代表被安排坐在一張圓桌,為了使他們能夠自由交談,事先了解到的情況如下: 甲是中國人,還會說英語. 乙是法國人,還會說日語. 丙是英國人,還會說法語. 丁是日本人,還會說漢語. 戊是法國人,還會說德語. 則這五位代表的座位順序應(yīng)為( ) A.甲丙丁戊乙 B.甲丁丙乙戊 C.甲乙丙丁戊 D.甲丙戊乙丁 D [這道題實(shí)際上是一個(gè)邏輯游戲,首先要明確解題要點(diǎn):
13、甲乙丙丁戊5個(gè)人首尾相接,而且每一個(gè)人和相鄰的兩個(gè)人都能通過語言交流,而且4個(gè)備選答案都是從甲開始的,因此,我們從甲開始推理.思路一:正常的思路,根據(jù)題干來作答.甲會說中文和英語,那么甲的下一鄰居一定是會說英語或者中文的,以此類推,得出答案.思路二:根據(jù)題干和答案綜合考慮,運(yùn)用排除法來解決,首先,觀察每個(gè)答案中最后一個(gè)人和甲是否能夠交流,戊不能和甲交流,因此,B,C不成立,乙不能和甲交流,A錯(cuò)誤,因此,D正確.] 9.用數(shù)學(xué)歸納法證明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*)時(shí),從“n=k到n=k+1”時(shí),左邊應(yīng)增添的代數(shù)式為________. 2(2
14、k+1) [假設(shè)n=k時(shí),(k+1)(k+2)…(k+k)=2k×1×3…×(2k-1)成立; 那么n=k+1時(shí)左邊應(yīng)為[(k+1)+1][(k+1)+2]…[(k+1)+k-1][(k+1)+k][(k+1)+(k+1)]=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2), 即從“n=k到n=k+1”時(shí),左邊應(yīng)添乘的式子是==2(2k+1).] 10.所有真約數(shù)(除本身之外的正約數(shù))的和等于它本身的正整數(shù)叫做完全數(shù)(也稱為完備數(shù)、完美數(shù)).如:6=1+2+3;28=1+2+4+7+14;496=1+2+4+8+16+31+62+124+248.此外,它們都可以表示為2的一些連續(xù)
15、正整數(shù)次冪之和.如6=21+22,28=22+23+24,…,按此規(guī)律,8 128可表示為________. 26+27+…+212 [因?yàn)? 128=26×127, 又由=127, 解得n=7. 所以8 128=26×(1+2+…+26)=26+27+…+212.] 11.如圖38是網(wǎng)絡(luò)工作者經(jīng)常用來解釋網(wǎng)絡(luò)運(yùn)作的蛇形模型:數(shù)字1出現(xiàn)在第1行;數(shù)字2,3出現(xiàn)在第2行;數(shù)字6,5,4(從左至右)出現(xiàn)在第3行;數(shù)字7,8,9,10出現(xiàn)在第4行,依此類推,則第20行從左至右的第4個(gè)數(shù)字應(yīng)是________. 【導(dǎo)學(xué)號:07804200】 圖38 194 [由題意可知,前19行共有×19=190,所以第20行從左到右的數(shù)字依次為191,192,193,194,…,所以第4個(gè)數(shù)為194.] 12.在復(fù)平面上,已知直線l上的點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足|z+i|=|z-3-i|,則直線l的斜率為________. - [設(shè)z=x+yi(x,y∈R), ∵|z+i|=|z-3-i|, ∴|x+(y+1)i|=|(x-3)+(y-1)i|, ∴x2+(y+1)2=(x-3)2+(y-1)2, ∴6x+4y-9=0, 則直線l的斜率為-.] 8
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