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1、高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用
一、選擇題
1.已知等差數(shù)列{an}前n項和為Sn,若a1+a2 012=1,a2 013=-1 006,則使Sn取最值時n的值為( )
A.1 005 B.1 006
C.1 007 D.1 006或1 007
答案:D
2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=-11,a3+a7=-6,則當Sn取最小值時,n=( )
A.9 B.8 C.7 D.6
答案:D
3.等比數(shù)列{an}前n項的積為Tn,若a3a6a18是一個確定的常數(shù),那么數(shù)列T10
2、,T13,T17,T25中也是常數(shù)的項是( )
A.T10 B.T13 C.T17 D.T25
解析:∵a3a6a18=a1q2·a1q5·a1q17=(a1q8)3=(a9)3為定值.
∴T17=a1a2…a17=(a1q8)17=(a9)17也是定值.
答案:C
4.已知等比數(shù)列{an}滿足an>0,n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3),則當n≥1時,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=( )
A.n(2n-1) B.(n+1)2
C.n2 D.(n-1)2
解析:由a5·a2n-5=22n(n≥3)得a=22n,a
3、n>0,則an=2n,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=1+3+…+(2n-1)=n2.故選C.
答案:C
5.公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a4是a3與a7的等比中項, S8=32,則S10=( )
A.18 B.24 C.60 D.90
解析:由a=a3a7,得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d),得2a1+3d=0,再由S8=8a1+d=32,得2a1+7d=8,則d=2,a1=-3,所以S10=10a1+d=60.故選C.
答案:C
6.已知函數(shù)f(x)=把函數(shù)g(x)=f(x)-x的零點按從小到大的順序排列
4、成一個數(shù)列,則該數(shù)列的通項公式為( )
A.a(chǎn)n= B.a(chǎn)n=n-1
C.a(chǎn)n=n(n-1) D.a(chǎn)n=2n-2
解析:若0
5、的交點.
很顯然,它們有兩個交點(0,1)和(1,2),
由于指數(shù)函數(shù)f(x)=2x為增函數(shù)且圖象下凸,故它們只有這兩個交點.
①將函數(shù)f(x)=2x和y=x+1的圖象同時向下平移一個單位即得到函數(shù)f(x)=2x-1和y=x的圖象,
取x≤0的部分,可見它們有且僅有一個交點(0,0).
即當x≤0時,方程f(x)-x=0有且僅有一個根x=0.
②?、僦泻瘮?shù)f(x)=2x-1和y=x圖象-1
6、一個根x=1.
③?、谥泻瘮?shù)f(x)=2x-1和y=x在0
7、,…,n+1,
其通項公式為an=n-1.故選B.
答案:B
二、填空題
7.對正整數(shù)n,設(shè)曲線y=xn(1-x)在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標為an,則的前n項和是________.
解析:曲線y=xn(1-x)=xn-xn+1,曲線導(dǎo)數(shù)為y′=nxn-1-(n+1)xn,所以切線斜率為k=n2n-1-(n+1)2n=-(n+2)2n-1,切點為(2,-2n),所以切線方程為y+2n=-(n+2)2n-1(x-2),令x=0得,y+2n=(n+2)2n,即y=(n+1)2n,所以an=(n+1)2n,所以=2n,是以2為首項,q=2為公比的等比數(shù)列,所以Sn==2n+1
8、-2.
答案:2n+1-2
8.等比數(shù)列{an}的公比q>0, 已知a2=1,an+2+an+1=6an,則{an}的前4項和S4=________.
解析:由an+2+an+1=6an得:qn+1+qn=6qn-1,即q2+q-6=0,q>0,解得q=2,又a2=1,所以a1=,S4==.
答案:
三、解答題
9.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a2an=S2+Sn對一切正整數(shù)n都成立.
(1)求a1,a2的值.
(2)設(shè)a1>0,數(shù)列的前n項和為Tn,當n為何值時,Tn最大?并求出Tn的最大值.
解析:(1)取n=1,得a2a1=S2+S1=2a1
9、+a2,①
取n=2,得a=2a1+2a2,②
由②-①,得a2(a2-a1)=a2,③
若a2=0, 由①知a1=0,
若a2≠0,易知a2-a1=1.④
由①④得:a1=+1,
a2=2+或a1=1-,a2=2-;
綜上所述,a1=0,a2=0或a1=1+,a2=2+或a1=1-,a2=2-.
(2)當a1>0時,由(1)知, a1=+1,a2=2+;
當n≥2時,有(2+)an=S2+Sn,
(2+)an-1=S2+Sn-1.
兩式相減得(1+)an=(2+)an-1.
所以an=an-1(n≥2).
所以an=a1()n-1=(+1)×()n-1.
10、令bn=lg,則bn=1-lg()n-1=lg.
又b1=1,bn-bn-1==-lg 2,
所以數(shù)列{bn}是以1為首項,-lg 2為公差,且單調(diào)遞減的等差數(shù)列.
則b1>b2>…>b7=lg>lg 1=0.
當n≥8時,bn≤b8=lg <lg 1=0.
所以,n=7時,Tn取得最大值,且Tn的最大值為
T7==7-lg 2.
10.已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,a2=,且[3+(-1)n]an+2-2an+2[(-1)n-1]=0,n∈N*.
(1)求a3,a4,a5,a6的值及數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=a2n-1·a2n,求數(shù)列{bn}
11、的前n項和Sn.
解析:(1)經(jīng)計算a3=3,a4=,a5=5,a6=.
當n為奇數(shù)時,an+2=an+2,即數(shù)列{an}的奇數(shù)項成等差數(shù)列,
∴a2n-1=a1+(n-1)·2=2n-1.
當n為偶數(shù),an+2=an,即數(shù)列{an}的偶數(shù)項成等比數(shù)列,
∴a2n=a2·=.
因此,數(shù)列{an}的通項公式為
an=
(2)∵bn=(2n-1)×,
∴Sn=1×+3×+5×+…+(2n-3)×+(2n-1)×.①
Sn=1×+3×+5×+…+(2n-3)×+(2n-1)×.②
①②兩式相減,得Sn=1×+2[()2+()3+…+()n]-(2n-1)×
=+-(2n-1)×=-(2n+3)×.
∴Sn=3-(2n+3)×.