高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用

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1、高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用                    一、選擇題 1.已知等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn,若a1+a2 012=1,a2 013=-1 006,則使Sn取最值時(shí)n的值為(  ) A.1 005 B.1 006 C.1 007 D.1 006或1 007 答案:D 2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=-11,a3+a7=-6,則當(dāng)Sn取最小值時(shí),n=(  ) A.9 B.8 C.7 D.6 答案:D 3.等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)的積為Tn,若a3a6a18是一個(gè)確定的常數(shù),那么數(shù)列T10

2、,T13,T17,T25中也是常數(shù)的項(xiàng)是(  ) A.T10 B.T13 C.T17 D.T25 解析:∵a3a6a18=a1q2·a1q5·a1q17=(a1q8)3=(a9)3為定值. ∴T17=a1a2…a17=(a1q8)17=(a9)17也是定值. 答案:C 4.已知等比數(shù)列{an}滿足an>0,n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3),則當(dāng)n≥1時(shí),log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=(  ) A.n(2n-1) B.(n+1)2 C.n2 D.(n-1)2 解析:由a5·a2n-5=22n(n≥3)得a=22n,a

3、n>0,則an=2n,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=1+3+…+(2n-1)=n2.故選C. 答案:C 5.公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a4是a3與a7的等比中項(xiàng), S8=32,則S10=(  ) A.18 B.24 C.60 D.90 解析:由a=a3a7,得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d),得2a1+3d=0,再由S8=8a1+d=32,得2a1+7d=8,則d=2,a1=-3,所以S10=10a1+d=60.故選C. 答案:C 6.已知函數(shù)f(x)=把函數(shù)g(x)=f(x)-x的零點(diǎn)按從小到大的順序排列

4、成一個(gè)數(shù)列,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為(  ) A.a(chǎn)n= B.a(chǎn)n=n-1 C.a(chǎn)n=n(n-1) D.a(chǎn)n=2n-2 解析:若0

5、的交點(diǎn). 很顯然,它們有兩個(gè)交點(diǎn)(0,1)和(1,2), 由于指數(shù)函數(shù)f(x)=2x為增函數(shù)且圖象下凸,故它們只有這兩個(gè)交點(diǎn). ①將函數(shù)f(x)=2x和y=x+1的圖象同時(shí)向下平移一個(gè)單位即得到函數(shù)f(x)=2x-1和y=x的圖象, 取x≤0的部分,可見它們有且僅有一個(gè)交點(diǎn)(0,0). 即當(dāng)x≤0時(shí),方程f(x)-x=0有且僅有一個(gè)根x=0. ②?、僦泻瘮?shù)f(x)=2x-1和y=x圖象-1

6、一個(gè)根x=1. ③?、谥泻瘮?shù)f(x)=2x-1和y=x在0

7、,…,n+1, 其通項(xiàng)公式為an=n-1.故選B. 答案:B 二、填空題 7.對(duì)正整數(shù)n,設(shè)曲線y=xn(1-x)在x=2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為an,則的前n項(xiàng)和是________. 解析:曲線y=xn(1-x)=xn-xn+1,曲線導(dǎo)數(shù)為y′=nxn-1-(n+1)xn,所以切線斜率為k=n2n-1-(n+1)2n=-(n+2)2n-1,切點(diǎn)為(2,-2n),所以切線方程為y+2n=-(n+2)2n-1(x-2),令x=0得,y+2n=(n+2)2n,即y=(n+1)2n,所以an=(n+1)2n,所以=2n,是以2為首項(xiàng),q=2為公比的等比數(shù)列,所以Sn==2n+1

8、-2. 答案:2n+1-2 8.等比數(shù)列{an}的公比q>0, 已知a2=1,an+2+an+1=6an,則{an}的前4項(xiàng)和S4=________. 解析:由an+2+an+1=6an得:qn+1+qn=6qn-1,即q2+q-6=0,q>0,解得q=2,又a2=1,所以a1=,S4==. 答案: 三、解答題 9.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a2an=S2+Sn對(duì)一切正整數(shù)n都成立. (1)求a1,a2的值. (2)設(shè)a1>0,數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,當(dāng)n為何值時(shí),Tn最大?并求出Tn的最大值. 解析:(1)取n=1,得a2a1=S2+S1=2a1

9、+a2,① 取n=2,得a=2a1+2a2,② 由②-①,得a2(a2-a1)=a2,③ 若a2=0, 由①知a1=0, 若a2≠0,易知a2-a1=1.④ 由①④得:a1=+1, a2=2+或a1=1-,a2=2-; 綜上所述,a1=0,a2=0或a1=1+,a2=2+或a1=1-,a2=2-. (2)當(dāng)a1>0時(shí),由(1)知, a1=+1,a2=2+; 當(dāng)n≥2時(shí),有(2+)an=S2+Sn, (2+)an-1=S2+Sn-1. 兩式相減得(1+)an=(2+)an-1. 所以an=an-1(n≥2). 所以an=a1()n-1=(+1)×()n-1.

10、令bn=lg,則bn=1-lg()n-1=lg. 又b1=1,bn-bn-1==-lg 2, 所以數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng),-lg 2為公差,且單調(diào)遞減的等差數(shù)列. 則b1>b2>…>b7=lg>lg 1=0. 當(dāng)n≥8時(shí),bn≤b8=lg <lg 1=0. 所以,n=7時(shí),Tn取得最大值,且Tn的最大值為 T7==7-lg 2. 10.已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,a2=,且[3+(-1)n]an+2-2an+2[(-1)n-1]=0,n∈N*. (1)求a3,a4,a5,a6的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=a2n-1·a2n,求數(shù)列{bn}

11、的前n項(xiàng)和Sn. 解析:(1)經(jīng)計(jì)算a3=3,a4=,a5=5,a6=. 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an+2=an+2,即數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列, ∴a2n-1=a1+(n-1)·2=2n-1. 當(dāng)n為偶數(shù),an+2=an,即數(shù)列{an}的偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列, ∴a2n=a2·=. 因此,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 an= (2)∵bn=(2n-1)×, ∴Sn=1×+3×+5×+…+(2n-3)×+(2n-1)×.① Sn=1×+3×+5×+…+(2n-3)×+(2n-1)×.② ①②兩式相減,得Sn=1×+2[()2+()3+…+()n]-(2n-1)× =+-(2n-1)×=-(2n+3)×. ∴Sn=3-(2n+3)×.

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