4、)<0，因此函數f(x)在[0,2]上是減函數，②正確；當x∈[－1，t]時，若f(x)的最大值是2，則結合函數f(x)的可能圖象分析可知，此時t的最大值是5，因此③不正確；注意到f(2)的值不明確，結合函數f(x)的可能圖象分析可知，將函數f(x)的圖象向下平移a(10，則y＝f(x)在(a，b)上單調遞增；如果f′(x)<0，則y＝f(x)在這個區(qū)間上單調遞減；若恒有f′(x)＝0，則y＝f(x)是常數函數，不具有單調性
5、．
(2)函數圖象變化得越快，f′(x)的絕對值越大，不是f′(x)的值越大．
跟蹤訓練1 已知y＝xf′(x)的圖象如圖所示(其中f′(x)是函數f(x)的導函數)，則所給四個圖象中，y＝f(x)的圖象大致是( )
考點 函數的單調性與導數的關系
題點 根據導函數圖象確定原函數圖象
答案 C
解析 當01時，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，
故y＝f(x)在(1，＋∞)上為增函數．
故選C.
類型二 利用導數求函數的單調區(qū)間
例2 求下列函數的單調區(qū)間．
6、
(1)y＝x2－ln x；
(2)y＝x＋(b>0)．
考點 利用導數求函數的單調區(qū)間
題點 利用導數求不含參數函數的單調區(qū)間
解 (1)函數y＝x2－ln x的定義域為(0，＋∞)，
又y′＝.
若y′>0，即解得x>1；
若y′<0，即解得00，則(x＋)(x－)>0，
所以x>或x<－.
所以函數的單調遞增區(qū)間為(－∞，－)，(，＋∞)．
令f′(x)<0，則(x＋)(x
7、－)<0，
所以－0，函數在解集所表示的定義域內為增函數．
(4)解不等式f′(x)<0，函數在解集所表示的定義域內為減函數．
跟蹤訓練2 函數f(x)＝(x2＋2x)ex(x∈R)的單調遞減區(qū)間為____________．
考點 利用導數求函數的單調區(qū)間
題點 利用導數求不含參數函數的單調區(qū)間
答案 (－2－，－2＋)
解析 由f′(x)＝(x2＋4x＋2)ex
8、<0，
即x2＋4x＋2<0，
解得－2－0，得x>1，由f′(x)<0，得00時，f′(x)＝，
∵a>0，∴>0.
由f′(x)
9、>0，得x>1，由f′(x)<0，得00，
所以f(x)在(－∞，＋
10、∞)上單調遞增．
若a>0，則當x∈(－∞，ln a)時，f′(x)<0；
當x∈(ln a，＋∞)時，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，ln a)上單調遞減，在(ln a，＋∞)上單調遞增．
綜上所述，當a≤0時，函數f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增；
當a>0時，f(x)在(－∞，ln a)上單調遞減，在(ln a，＋∞)上單調遞增.
1．函數f(x)＝x＋ln x( )
A．在(0,6)上是增函數
B．在(0,6)上是減函數
C．在上是減函數，在上是增函數
D．在上是增函數，在上是減函數
考點 函數的單調性與導數的關系
題點 利用導數值的正負號判定函
11、數的單調性
答案 A
2．若函數f(x)的圖象如圖所示，則導函數f′(x)的圖象可能為( )
考點 函數的單調性與導數的關系
題點 根據原函數圖象確定導函數圖象
答案 C
解析 由f(x)的圖象可知，函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(1,4)，單調遞減區(qū)間為(－∞，1)和(4，＋∞)，因此，當x∈(1,4)時，f′(x)>0，當x∈(－∞，1)或x∈(4，＋∞)時，f′(x)<0，結合選項知選C.
3．函數f(x)＝3＋x·ln x的單調遞增區(qū)間是( )
A. B．(e，＋∞)
C. D.
考點 利用導數求函數的單調區(qū)間
題點 利用導數求不含參數函數的
12、單調區(qū)間
答案 C
解析 f′(x)＝ln x＋1，令f′(x)>0，
即ln x＋1>0，得x>.
故函數f(x)的單調遞增區(qū)間為.
4．若函數f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的單調遞減區(qū)間為[－1,2]，則b＝________，c＝________.
考點 利用導數求函數的單調區(qū)間
題點 已知單調區(qū)間求參數值
答案?。。?
解析 f′(x)＝3x2＋2bx＋c，
由題意知，f′(x)＝0即3x2＋2bx＋c＝0的兩根為－1和2.
由得
5．試求函數f(x)＝kx－ln x的單調區(qū)間．
考點 利用導數求函數的單調區(qū)間
題點 利用導數求含參數函數的單調區(qū)間
解
13、函數f(x)＝kx－ln x的定義域為(0，＋∞)，
f′(x)＝k－＝.
當k≤0時，kx－1<0，∴f′(x)<0，
則f(x)在(0，＋∞)上單調遞減．
當k>0時，由f′(x)<0，即<0，
解得00，即>0，解得x>.
∴當k>0時，f(x)的單調遞減區(qū)間為，
單調遞增區(qū)間為.
綜上所述，當k≤0時，f(x)的單調遞減區(qū)間為(0，＋∞)；
當k>0時，f(x)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.
1．導數的符號反映了函數在某個區(qū)間上的單調性，導數絕對值的大小反映了函數在某個區(qū)間或某點附近變化的快慢程度．
2．利用導數求函數f(x)的單
14、調區(qū)間的一般步驟：
(1)確定函數f(x)的定義域；
(2)求導數f′(x)；
(3)在函數f(x)的定義域內解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)根據(3)的結果確定函數f(x)的單調區(qū)間.
一、選擇題
1．如圖是函數y＝f(x)的導函數f′(x)的圖象，則下列判斷正確的是( )
A．在區(qū)間(－2,1)上，f(x)是增函數
B．在(1,3)上，f(x)是減函數
C．在(4,5)上，f(x)是增函數
D．在(－3，－2)上，f(x)是增函數
考點 函數的單調性與導數的關系
題點 利用導數值的正負號判定函數的單調性
答案 C
解析 由圖知當x∈(4
15、,5)時，f′(x)>0，所以在(4,5)上，f(x)是增函數．
2．函數y＝f(x)的圖象如圖所示，則導函數y＝f′(x)的圖象可能是( )
考點 函數的單調性與導數的關系
題點 根據原函數圖象確定導函數圖象
答案 D
解析 ∵函數f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是減函數，∴當x>0時，f′(x)<0，當x<0時，f′(x)<0，故選D.
3．已知函數f(x)的導函數f′(x)的圖象如圖所示，則函數f(x)的圖象只可能是所給選項中的( )
考點 函數的單調性與導數的關系
題點 根據導函數的圖象確定原函數的圖象
答案 C
解析 ∵導數的正
16、負確定了函數的單調性，
∴從函數f′(x)的圖象可知，令f′(x)＝0，
得x＝0或x＝a(a>0)，
∴函數在(－∞，0)上單調遞減，在(0，a)上單調遞增，在(a，＋∞)上單調遞減，故選C.
4．函數f(x)＝xe－x的一個單調遞增區(qū)間是( )
A．[－1,0] B．[2,8]
C．[1,2] D．[0,2]
考點 利用導數求函數的單調區(qū)間
題點 利用導數求不含參數的函數的單調區(qū)間
答案 A
解析 因為f′(x)＝＝(1－x)·e－x>0，
又因為e－x>0，所以x<1.
5．下列函數中，在(0，＋∞)內為增函數的是( )
A．y＝sin x B．
17、y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
考點 函數的單調性與導數的關系
題點 利用導數值的正負號判定函數的單調性
答案 B
解析 B項中，y＝xex，y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，
當x∈(0，＋∞)時，y′>0，
∴y＝xex在(0，＋∞)內為增函數．
6.函數f(x)的導函數f′(x)的圖象如圖所示，若△ABC為銳角三角形，則下列不等式一定成立的是( )
A．f(cos A)f(sin B)
D．f(sin A)>f(cos B)
考點 利用導數研究函數的
18、單調性
題點 比較函數值的大小
答案 D
解析 根據圖象知，當00，
∴f(x)在區(qū)間(0,1)上是增函數．
∵△ABC為銳角三角形，∴A，B都是銳角且A＋B>，
則0<－Bf(cos B)．
7．定義在R上的函數f(x)，若(x－1)·f′(x)<0，則下列各項正確的是( )
A．f(0)＋f(2)>2f(1)
B．f(0)＋f(2)＝2f(1)
C．f(0)＋f(2)<2f(1)
D．f(0)＋f(2)與2f(1)大小不定
考點 利用導數研究函數的單
19、調性
題點 比較函數值的大小
答案 C
解析 ∵(x－1)f′(x)<0，
∴當x>1時，f′(x)<0，x<1時，f′(x)>0，
則f(x)在(1，＋∞)上單調遞減，在(－∞，1)上單調遞增，
∴f(0)
20、＋3＝x2－2x，
令f′(x＋1)<0，解得01時，f′(x)>0，
則或
解得0
21、(k為常數)，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線與x軸平行，則f(x)的單調遞增區(qū)間為____________．
考點 利用導數求函數的單調區(qū)間
題點 利用導數求含參數的函數的單調區(qū)間
答案 (0，＋∞)
解析 f′(x)＝kex－1－1＋x，
∵曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線與x軸平行，
∴f′(0)＝k·e－1－1＝0，解得k＝e，
故f′(x)＝ex＋x－1.
令f′(x)>0，解得x>0，
故f(x)的單調遞增區(qū)間為(0，＋∞)．
11．已知函數f(x)＝2x3＋ax2＋1(a為常數)在區(qū)間(－∞，0)，(2，＋∞)上單調遞增，且在區(qū)間(0,
22、2)上單調遞減，則a的值為________．
考點 利用導數求函數的單調區(qū)間
題點 已知單調區(qū)間求參數值
答案 －6
解析 由題意得f′(x)＝6x2＋2ax＝0的兩根為0和2，可得a＝－6.
12．定義在R上的函數f(x)滿足f(1)＝1，f′(x)<2，則滿足f(x)>2x－1的x的取值范圍是________．
考點 利用導數研究函數的單調性
題點 構造法的應用
答案 (－∞，1)
解析 令g(x)＝f(x)－2x＋1，
則g′(x)＝f′(x)－2<0，
又g(1)＝f(1)－2×1＋1＝0，
當g(x)>g(1)＝0時，x<1，∴f(x)－2x＋1>0，
即f
23、(x)>2x－1的解集為(－∞，1)．
三、解答題
13．已知函數f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的圖象經過點P(0,2)，且在點M(－1，f(－1))處的切線方程為6x－y＋7＝0.
(1)求函數y＝f(x)的解析式；
(2)求函數y＝f(x)的單調區(qū)間．
考點 利用導數求函數的單調區(qū)間
題點 利用導數求不含參數的函數的單調區(qū)間
解 (1)由y＝f(x)的圖象經過點P(0,2)，知d＝2，
∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由在點M(－1，f(－1))處的切線方程為6x－y＋7＝0，
知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1.
又
24、f′(－1)＝6，∴即
解得b＝c＝－3，
故所求函數解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.
(2)f′(x)＝3x2－6x－3.
令f′(x)>0，得x<1－或x>1＋；
令f′(x)<0，得1－
25、in x，
則g′(x)＝2－2cos x≥0，
所以函數g(x)＝f′(x)在R上單調遞增，故選A.
15．已知函數f(x)＝x－＋a(2－ln x)，a>0，試討論f(x)的單調性．
考點 利用導函數求函數的單調區(qū)間
題點 利用導數求含參數的函數的單調區(qū)間
解 f(x)的定義域為(0，＋∞)，
f′(x)＝1＋－＝.
令g(x)＝x2－ax＋2，其判別式Δ＝a2－8.
(1)當Δ<0，即00，都有f′(x)>0，此時f(x)是(0，＋∞)上的單調遞增函數；
(2)當Δ＝0，即a＝2時，當且僅當x＝時，有f′(x)＝0，對定義域內其余的x都有f′(x)>0，此時f(x)也是(0，＋∞)上的單調遞增函數；
(3)當Δ>0，即a>2時，方程g(x)＝0有兩個不同的實根：x1＝，x2＝，0
（全國通用版）2018-2019版高中數學 第一章 導數及其應用 1.3 導數在研究函數中的應用 1.3.1 函數的單調性與導數（一）學案 新人教A版選修2-2
