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1、2022年人教版A版高中數(shù)學(xué)選修2-2第一章 1-7《定積分的簡單應(yīng)用》《教案》
教學(xué)目標(biāo):
1、知識與技能:進(jìn)一步讓學(xué)生深刻體會“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲邊梯形的思想方法;讓學(xué)生深刻理解定積分的幾何意義以及微積分的基本定理;初步掌握利用定積分求曲邊梯形的幾種常見題型及方法;體會定積分在物理中應(yīng)用(變速直線運(yùn)動的路程、變力沿直線做功)。
2、過程與方法: 借助于幾何直觀定積分的基本思想,了解定積分在實際中的應(yīng)用
3、情感、態(tài)度與價值觀: 通過定積分在幾何和物理中的應(yīng)用,進(jìn)一步感受極限的思想
教學(xué)重點:定積分在幾何和物理中的應(yīng)用
教學(xué)難點:定積分在幾何和物理中的應(yīng)用
教學(xué)過
2、程:
定積分的應(yīng)用
(一)利用定積分求平面圖形的面積
例1.計算由兩條拋物線和所圍成的圖形的面積.
解:,所以兩曲線的交點為(0,0)、(1,1),面積S=,所以=
A
B
C
D
O
例2.計算由直線,曲線以及x軸所圍圖形的面積S.
解:作出直線,曲線的草圖,所求面積為圖陰影部分的面積.
解方程組
得直線與曲線的交點的坐標(biāo)為(8,4) .
直線與x軸的交點為(4,0).
因此,所求圖形的面積為S=S1+S2
.
例3.求曲線與直線軸所圍成的圖形面積。
3、
答案:
(二)定積分在物理中應(yīng)用
(1)求變速直線運(yùn)動的路程
我們知道,作變速直線運(yùn)動的物體所經(jīng)過的路程s,等于其速度函數(shù)v=v (t) ( v(t) ≥0) 在時間區(qū)間[a,b]上的定積分,即
例 4。一輛汽車的速度一時間曲線如圖1.7 一3 所示.求汽車在這1 min 行駛的路程.
解:由速度一時間曲線可知:
因此汽車在這 1 min 行駛的路程是:
答:汽車在這 1 min 行駛的路程是 1350m .
(2).變力作功
一物體在恒力F(單位:N)的作用下做直線運(yùn)動,如果物體沿著與F相同的方向移(單位:m),則力F所作的功
4、為W=Fs .
探究
如果物體在變力 F(x)的作用下做直線運(yùn)動,并且物體沿著與 F (x) 相同的方向從x =a 移動到x=b (a
5、作的功為.
練習(xí):
1、求直線與拋物線所圍成的圖形面積。
答案:
2、求由拋物線及其在點M(0,-3)和N(3,0)處的兩條切線所圍成的圖形的面積。
略解:,切線方程分別為、,則所求圖形的面積為
3、如果1N能拉長彈簧1cm,為了將彈簧拉長6cm,需做功( A )
A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J
略解:設(shè),則由題可得,所以做功就是求定積分
總結(jié):
1、定積分的幾何意義是:、軸所圍成的圖形的面積的代數(shù)和,即.
2、求曲邊梯形面積的方法與步驟:
(1) 畫圖,并將圖
6、形分割為若干個曲邊梯形;
(2) 對每個曲邊梯形確定其存在的范圍,從而確定積分的上、下限;
(3) 確定被積函數(shù);
(4) 求出各曲邊梯形的面積和,即各積分的絕對值的和。
3、幾種常見的曲邊梯形面積的計算方法:
(1)型區(qū)域:①由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積:(如圖(1));
②由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積:(如圖(2));
③由兩條曲線與直線
y
a
b
x
y
a
b
x
y
a
b
x
所圍成的曲邊梯形的面積:(如圖(3));
圖(1) 圖(2) 圖
7、(3)
(2)型區(qū)域:①由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積,可由得,然后利用求出(如圖(4));
②由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積,可由先求出,然后利用求出(如圖(5));
③由兩條曲線與直線所圍成的曲邊梯形的面積,可由先分別求出,,然后利用求出(如圖(6));
y
a
b
x
y
a
b
x
y
a
b
x
圖(4) 圖(5) 圖(6)
四:課堂小結(jié)
1、利用定積分求一些曲邊圖形的面積與體積,即定積分在幾何中應(yīng)用,要掌握幾種常見圖形面積的求法,并且要注意定積分的幾何意義,不能等同于圖形的面積,要注意微積分的基本思想的應(yīng)用與理解。
2、定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用,要掌握幾種常見圖形面積的求法,并且要注意定積分的幾何意義,不能等同于圖形的面積,要注意微積分的基本思想的應(yīng)用與理解。
五、作業(yè):