（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十單元 空間幾何體學(xué)案 理

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1、 第十單元 空間幾何體 教材復(fù)習(xí)課“空間幾何體”相關(guān)基礎(chǔ)知識一課過 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 [過雙基] 1．簡單旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 (1)圓柱可以由矩形繞其任一邊旋轉(zhuǎn)得到； (2)圓錐可以由直角三角形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)得到； (3)圓臺可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到； (4)球可以由半圓或圓繞直徑旋轉(zhuǎn)得到． 2．簡單多面體的結(jié)構(gòu)特征 (1)棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上下底面是全等的多邊形； (2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共點(diǎn)的三角形； (3)棱臺可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相

2、似多邊形． 　 1．關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，下列說法中不正確的是(　　) A．棱柱的側(cè)棱長都相等 B．棱錐的側(cè)棱長都相等 C．三棱臺的上、下底面是相似三角形 D．有的棱臺的側(cè)棱長都相等 解析：選B　根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征知，棱錐的側(cè)棱長不一定都相等． 2．下列說法中正確的是(　　) A．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐 B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐 C．棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是六棱錐 D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任一點(diǎn)的連線都是母線 解析：選D　當(dāng)一個(gè)幾何體由具有相同的底面且頂點(diǎn)在底面兩側(cè)的兩

3、個(gè)三棱錐構(gòu)成時(shí)，盡管各面都是三角形，但它不是三棱錐，故A錯(cuò)誤；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊所在直線，所得幾何體就不是圓錐，故B錯(cuò)誤；若六棱錐的所有棱都相等，則底面多邊形是正六邊形，由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，則棱長必然要大于底面邊長，故C錯(cuò)誤．選D. [清易錯(cuò)] 1．認(rèn)識棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征時(shí)，易忽視定義，可借助于幾何模型強(qiáng)化對空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識． 2．臺體可以看成是由錐體截得的，但一定強(qiáng)調(diào)截面與底面平行． 1．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱D1C1，B1C1的中點(diǎn)，過E，F(xiàn)作一平面α，使

4、得平面α∥平面AB1D1，則平面α截正方體的表面所得平面圖形為(　　) A．三角形　 　 　　　　　 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形 解析：選D　如圖所示，平面α是平面EFGHJK，截面是六邊形，故選D. 2．下列幾何體是棱臺的是________(填序號)． 解析：①③都不是由棱錐截成的，不符合棱臺的定義，故①③不滿足題意．②中的截面不平行于底面，不符合棱臺的定義，故②不滿足題意．④符合棱臺的定義，故填④. 答案：④ 直觀圖與三視圖 [過雙基] 1．直觀圖 (1)畫法：常用斜二測畫法． (2)規(guī)則： ①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸

5、、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直． ②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄? 2．三視圖 (1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線． [提醒]　正視圖也稱主視圖，側(cè)視圖也稱左視圖． (2)三視圖的畫法 ①基本要求：長對正，高平齊，寬相等． ②畫法規(guī)則：正側(cè)一樣高，正俯一樣長，側(cè)俯一樣寬；看不到的線畫虛線． 　 1．用一個(gè)平行于水平面的平面去截球，得到如圖所示的幾何

6、體，則它的俯視圖是(　　) 解析：選B　D選項(xiàng)為正視圖或側(cè)視圖，俯視圖中顯然應(yīng)有一個(gè)被遮擋的圓，所以內(nèi)圓是虛線，故選B. 2．如圖所示，等腰△A′B′C′是△ABC的直觀圖，那么△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形 解析：選B　由題圖知A′C′∥y′軸，A′B′∥x′軸，由斜二測畫法知，在△ABC中，AC∥y軸，AB∥x軸，∴AC⊥AB.又因?yàn)锳′C′＝A′B′，∴AC＝2AB≠AB，∴△ABC是直角三角形． 3．現(xiàn)有編號為①②③的三個(gè)三棱錐(底面水平放置)，俯視圖分別為圖1、圖2、圖3，則至少存在一個(gè)側(cè)面與此底面互

7、相垂直的三棱錐的編號是(　　) A．① B．①② C．②③ D．①②③ 解析：選B　還原出空間幾何體，編號為①的三棱錐的直觀圖如圖(1)三棱錐P-ABC所示，平面PAC⊥平面ABC，平面PBC⊥平面ABC，滿足題意；編號為②的三棱錐的直觀圖如圖(2)三棱錐P-ABC所示，平面PBC⊥平面ABC，滿足題意；編號為③的三棱錐的直觀圖如圖(3)三棱錐P-ABC所示，不存在側(cè)面與底面互相垂直，即滿足題意的編號是①②. 4．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長的棱長為(　　) A. B．2 C．3 D．3 解析：選C　依題意，可知該幾何體為如圖所示三棱錐D-ABC，

8、最長的棱AD＝＝3，故選C. [清易錯(cuò)] 1．畫三視圖時(shí)，能看見的線和棱用實(shí)線表示，不能看見的線和棱用虛線表示． 2．一物體放置的位置不同，所畫的三視圖可能不同． 1.沿一個(gè)正方體三個(gè)面的對角線截得的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為(　　) 解析：選B　給幾何體的各頂點(diǎn)標(biāo)上字母，如圖1.A，E在側(cè)投影面上的投影重合，C，G在側(cè)投影面上的投影重合，幾何體在側(cè)投影面上的投影及把側(cè)投影面展平后的情形如圖2所示，故正確選項(xiàng)為B. 2．已知以下三視圖中有三個(gè)表示同一個(gè)三棱錐，則不是該三棱錐的三視圖的是(　　) 解析：選D　對于選項(xiàng)A，相應(yīng)的幾何體是如圖所示的三棱錐A

9、-BCD，其中AB⊥平面BCD，且BC⊥BD，AB＝3，BC＝1，BD＝2；對于選項(xiàng)B，相應(yīng)的幾何體可視為將選項(xiàng)A中的幾何體按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°而得到的幾何體；對于選項(xiàng)C，相應(yīng)的幾何體可視為將選項(xiàng)A中的幾何體按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°而得到的幾何體．綜上所述，選D. 空間幾何體的表面積與體積 [過雙基] 空間幾何體的表面積與體積公式 名稱 幾何體　　 表面積 體積 柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側(cè)＋2S底 V＝Sh 錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側(cè)＋S底 V＝Sh 臺體(棱臺和圓臺) S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR

10、2 V＝πR3 　 1．已知某幾何體的三視圖的側(cè)視圖是一個(gè)正三角形，如圖所示，則該幾何體的體積等于(　　) A．12 B．16 C．20 D．32 解析：選C　由三視圖畫出該幾何體的直觀圖如圖所示，V棱柱＝×4×2×3＝12，V棱錐＝×4×(6－3)×2＝8，所以組合體的體積V＝V棱柱＋V棱錐＝20. 2．(2017·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　) A.＋1 B.＋3 C.＋1 D.＋3 解析：選A　由幾何體的三視圖可得，該幾何體是一個(gè)底面半徑為1，高為3的圓錐的一半與一個(gè)底面為直角邊長為的等腰直

11、角三角形，高為3的三棱錐的組合體，故該幾何體的體積V＝×π×12×3＋××××3＝＋1. 3．若圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則其母線與軸所成角的大小是________． 解析：設(shè)圓錐的母線與軸所成角為θ，由題意得πRl＝2πR2，即l＝2R，所以sin θ＝＝，即θ＝.即母線與軸所成角的大小是. 答案： 4．如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為________． 解析：由三視圖可知該幾何體左側(cè)是一個(gè)半圓柱，底面半徑為1，高為2；右側(cè)是一個(gè)棱長為2的正方體，則該幾何體的表面積為S＝5×22＋π×1×2＋π×12＝20＋3π. 答案：20＋3π [清易錯(cuò)] 1．由三視圖

12、計(jì)算幾何體的表面積與體積時(shí)，由于幾何體的還原不準(zhǔn)確及幾何體的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識不準(zhǔn)易導(dǎo)致失誤． 2．求組合體的表面積時(shí)，組合體的銜接部分的面積問題易出錯(cuò)． 3．易混側(cè)面積與表面積的概念． 1．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高二丈，問：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w，下底面寬3丈，長4丈，上棱長2丈，高2丈，問：它的體積是多少？”已知1丈為10尺，該楔體的三視圖如圖所示，其中圖中小正方體的邊長為1丈，則該楔體的體積為(　　) A．10 000立方尺 B．11 000立方尺 C．12 000

13、立方尺 D．13 000立方尺 解析：選A　該楔形的直觀圖如圖中的幾何體ABCDEF所示，取AB的中點(diǎn)G，CD的中點(diǎn)H，連接FG，GH，HF，則該幾何體可看作四棱錐F-BCHG與三棱柱ADE-GHF的組合體．三棱柱ADE-GHF可以通過割補(bǔ)法得到一個(gè)高為EF＝2，底面積為S＝×3×2＝3的一個(gè)直棱柱，故該楔形的體積V＝3×2＋×2×3×2＝10(立方丈)＝10 000(立方尺)． 2．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，其中正視圖和側(cè)視圖都是一個(gè)兩底長分別為2和4，腰長為4的等腰梯形，則該幾何體的側(cè)面積是(　　) A．6π B．12π C．18π D．24π 解析：選B　由三視圖可得

14、該幾何體的直觀圖為圓臺，其上底半徑為2，下底半徑為1，母線長為4，所以該幾何體的側(cè)面積為π(2＋1)×4＝12π. 3．若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的表面積是________． 解析：由三視圖可知，該幾何體由一個(gè)正四棱柱和一個(gè)棱臺組成，其表面積S＝3×4×2＋2×2×2＋4×2×2＋4×6＋×(2＋6)×2×2＝72＋16. 答案：72＋16 一、選擇題 1．如圖所示，若P為正方體ABCD-A1B1C1D1中AC1與BD1的交點(diǎn)，則△PAC在該正方體各個(gè)面上的射影可能是(　　) A．①②③④　　　　　　 B．①③ C．①④ D．②④ 解析：選C　由題

15、意，得△PAC在底面ABCD，A1B1C1D1上的射影如圖①所示，△PAC在其余四個(gè)側(cè)面上的射影如圖④所示，故選C. 2.用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊AB平行于y軸，BC，AD平行于x軸．已知四邊形ABCD的面積為2 cm2，則原平面圖形的面積為(　　) A．4 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．8 cm2 解析：選C　依題意可知∠BAD＝45°，則原平面圖形為直角梯形，上下底面的長與BC，AD相等，高為梯形ABCD的高的2倍，所以原平面圖形的面積為8 cm2. 3．在《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬；將四個(gè)面都為直

16、角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐P-ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為(　　) A．8π B．12π C．20π D．24π 解析：選C　如圖，由題意得PC為球O的直徑，而PC＝＝2，即球O的半徑R＝，所以球O的表面積S＝4πR2＝20π.選C. 4．(2017·北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為(　　) A．3 B．2 C．2 D．2 解析：選B　在正方體中還原該四棱錐如圖所示， 從圖中易得最長的棱為 AC1＝＝＝2. 5．(2017·北京高考)

17、某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為(　　) A．60 B．30 C．20 D．10 解析：選D　如圖，把三棱錐A-BCD放到長方體中，長方體的長、寬、高分別為5,3,4，△BCD為直角三角形，直角邊分別為5和3，三棱錐A-BCD的高為4，故該三棱錐的體積V＝××5×3×4＝10. 6．已知正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上．若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為(　　) A. B．16π C．9π D. 解析：選A　如圖，設(shè)球心為O，半徑為r，則在Rt△AOF中，(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝，所以該球的表面積為4πr2＝4π×2＝. 7．(20

18、18·南陽聯(lián)考)已知一個(gè)三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，側(cè)視圖是有一條直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為(　　) 解析：選C　由已知條件得直觀圖如圖所示，PC⊥底面ABC，正視圖是直角三角形，中間的線是看不見的線PA形成的投影，應(yīng)為虛線，故選C. 8．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖中圓的直徑為4，該幾何體的體積為V1，直徑為4的球的體積為V2，則V1∶V2＝(　　) A．1∶2 B．2∶1 C．1∶1 D．1∶4 解析：選A　由三視圖知，該幾何體為圓柱內(nèi)挖去一個(gè)底面相同的圓錐，因此V1＝8π－＝，V2＝×23＝，V1

19、∶V2＝1∶2. 二、填空題 9．(2017·山東高考)由一個(gè)長方體和兩個(gè)圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為________． 解析：該幾何體由一個(gè)長、寬、高分別為2,1,1的長方體和兩個(gè)底面半徑為1，高為1的四分之一圓柱體構(gòu)成， ∴V＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋. 答案：2＋ 10.已知某四棱錐，底面是邊長為2的正方形，且俯視圖如圖所示．若該四棱錐的側(cè)視圖為直角三角形，則它的體積為________． 解析：由俯視圖可知，四棱錐頂點(diǎn)在底面的射影為O(如圖)，又側(cè)視圖為直角三角形，則直角三角形的斜邊為BC＝2， 斜邊上的高為SO＝1，此高即為四棱

20、錐的高，故V＝×2×2×1＝. 答案： 11．中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅監(jiān)制的一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖所示(單位：寸)，若π取3，其體積為12.6(單位：立方寸)，則圖中的x的值為________． 解析：由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)組合體，左側(cè)是一個(gè)底面直徑為2r＝1、高為x的圓柱，右側(cè)是一個(gè)長、寬、高分別為5.4－x,3,1的長方體，則該幾何體的體積V＝(5.4－x)×3×1＋π××x＝12.6，解得x＝1.6. 答案：1.6 12．某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，

21、這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a＋b的最大值為________． 解析：構(gòu)造長方體，則其體對角線長為，其在側(cè)視圖中為側(cè)面對角線a，在俯視圖中為底面對角線b，設(shè)長方體底面寬為1，則b2－1＋a2－1＝6，則a2＋b2＝8，利用不等式≤＝4，則a＋b≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)取等號，即a＋b的最大值為4. 答案：4 三、解答題 13．已知正三棱錐V -ABC的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖如圖所示． (1)畫出該三棱錐的直觀圖； (2)求出側(cè)視圖的面積． 解： (1)直觀圖如圖所示． (2)根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得BC＝2， ∴側(cè)視圖中VA＝ ＝2， ∴S△VBC＝

22、×2×2＝6. 14．(2018·大慶質(zhì)檢)如圖是一個(gè)幾何體的正視圖和俯視圖． (1)試判斷該幾何體是什么幾何體； (2)畫出其側(cè)視圖，并求該平面圖形的面積； (3)求出該幾何體的體積． 解：(1)由題意可知該幾何體為正六棱錐． (2)其側(cè)視圖如圖所示，其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的長是俯視圖中的正六邊形對邊的距離，即BC＝a，AD的長是正六棱錐的高，即AD＝a， 故該平面圖形的面積S＝×a×a＝a2. (3)該幾何體的體積V＝×6×a2×a＝a3. 高考研究課 求解空間幾何體問題的2環(huán)節(jié)——識圖與計(jì)算 [全國卷5年命題分析] 考點(diǎn) 考查頻度 考查角度

23、 三視圖的判斷 5年4考 空間坐標(biāo)系與三視圖判斷，求最長棱 空間幾何體的面積 5年3考 求表面積，由表面積求參數(shù) 空間幾何體的體積 5年6考 求組合體體積、體積比值、圓錐體積 與球有關(guān)的結(jié)合體問題 5年4考 球內(nèi)接幾何體的體積問題 空間幾何體的三視圖 [典例]　(1)(2016·天津高考)將一個(gè)長方體沿相鄰三個(gè)面的對角線截去一個(gè)棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)(左)視圖為(　　) 　　 (2)若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是(　　) [解析]　(1)先根據(jù)正視圖和俯視圖還原出幾何體，再作其側(cè)(左)

24、視圖．由幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體為圖①，故其側(cè)(左)視圖為圖②. (2)根據(jù)選項(xiàng)A、B、C、D中的直觀圖，畫出其三視圖，只有B項(xiàng)正確． [答案]　(1)B　(2)B [方法技巧] 三視圖問題的常見類型及解題策略 (1)由幾何體的直觀圖求三視圖． 注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部分用實(shí)線，不能看到的部分用虛線表示． (2)由幾何體的部分視圖畫出剩余的視圖． 先根據(jù)已知的一部分視圖，還原、推測直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分視圖的可能形式．當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入，再看看給出的部分三視圖是否符合． (3)由幾何體的三視圖還原幾何體的形

25、狀． 要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實(shí)物圖．　　 [即時(shí)演練] 1．如圖甲，將一個(gè)正三棱柱ABC -DEF截去一個(gè)三棱錐A -BCD，得到幾何體BCDEF，如圖乙，則該幾何體的正視圖(主視圖)是(　　) 解析：選C　由于三棱柱為正三棱柱，故平面ADEB⊥平面DEF，△DEF是等邊三角形，所以CD在后側(cè)面上的投影為AB的中點(diǎn)與D的連線，CD的投影與底面不垂直，故選C. 2.(2018·昆明模擬)如圖，在正四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐P -BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為(　　)

26、 A．1∶1　　　　　 B．2∶1 C．2∶3 D．3∶2 解析：選A　根據(jù)題意，三棱錐P -BCD的正視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的底面邊長、高為正四棱柱的高；側(cè)視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的底面邊長、高為正四棱柱的高．故三棱錐P -BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為1∶1. 空間幾何體的表面積與體積 [典例]　(1)如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(　　) A．6　　　　　　　　　 B．9 C．12 D．18 (2)(2017·全國卷Ⅰ)已知三棱錐S -ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，S

27、B＝BC，三棱錐S -ABC的體積為9，則球O的表面積為________． [解析]　(1)該幾何體是一個(gè)直三棱柱截去所得，如圖所示，其體積為××3×4×2＝9. (2) 如圖，連接AO，OB， ∵SC為球O的直徑， ∴點(diǎn)O為SC的中點(diǎn)， ∵SA＝AC，SB＝BC， ∴AO⊥SC，BO⊥SC， ∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC， ∴AO⊥平面SCB， 設(shè)球O的半徑為R， 則OA＝OB＝R，SC＝2R. ∴VS -ABC＝VA-SBC＝×S△SBC×AO ＝××AO， 即9＝××R，解得 R＝3， ∴球O的表面積為S＝4πR2＝4π×3

28、2＝36π. [答案]　(1)B　(2)36π [方法技巧] 1．求解幾何體的表面積與體積的技巧 (1)求三棱錐的體積：等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上． (2)求不規(guī)則幾何體的體積：常用分割或補(bǔ)形的方法，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體求解． (3)求表面積：其關(guān)鍵思想是空間問題平面化． 2．根據(jù)幾何體的三視圖求其表面積或體積的步驟 (1)根據(jù)給出的三視圖還原該幾何體的直觀圖． (2)由三視圖中的大小標(biāo)識確定該幾何體的各個(gè)度量． (3)套用相應(yīng)的面積公式或體積公式計(jì)算求解．　　 [即時(shí)演練] 1.如圖，在多面體ABCDEF中，已知

29、四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　如圖，分別過點(diǎn)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，容易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝，則△BHC中BC邊的高h(yuǎn)＝. ∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，∴V＝VE-ADG＋VF-BHC＋VAGD-BHC＝2VE-ADG＋VAGD-BHC＝×××2＋×1＝. 2．已知某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的表面積是(　　) A．9＋4(＋)cm2 B．10＋2(＋)cm2 C．1

30、1＋2(＋)cm2 D．11＋2(＋)cm2 解析：選C　如圖所示，該幾何體是棱長為2的正方體去掉兩個(gè)小三棱柱得到的四棱柱，其表面積為2×2＋2×1＋2×＋2×＋2×＝11＋2(＋)cm2. 3．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積為36，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱B1B，C1C上的點(diǎn)(異于端點(diǎn))，且EF∥BC，則四棱錐A1-AEFD的體積為________． 解析：設(shè)正四棱柱的底面邊長為a，高為h，則a2h＝36.又四棱錐A1-AEFD可分割為兩個(gè)三棱錐A1-AED，A1-DEF且這兩個(gè)三棱錐體積相等，則VA1-AEFD＝2VA1-AED＝2VE-ADA1＝2×S△ADA1×a

31、＝2××a×h×a＝a2h＝×36＝12. 答案：12 與球有關(guān)的切、接問題 與球有關(guān)的切、接問題是高考命題的熱點(diǎn)，也是考生的難點(diǎn)、易失分點(diǎn).命題角度多變.,常見的命題角度有： (1)四面體的內(nèi)切球與外接球； (2)三棱柱或四棱錐的外接球； (3)圓柱或圓錐的內(nèi)切球與外接球. 角度一：四面體的內(nèi)切球與外接球 1．三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC且PA＝2，△ABC是邊長為的等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為(　　) A. B．4π C．8π D．20π 解析：選C　由題意得，此三棱錐外接球即以△ABC為底面、以PA為高的正三棱柱的外接球，因?yàn)椤鰽BC的外接

32、圓半徑r＝××＝1，外接球球心到△ABC的外接圓圓心的距離d＝1，所以外接球的半徑R＝＝，所以三棱錐外接球的表面積S＝4πR2＝8π. 2．已知三棱錐的三視圖如圖所示，則它的外接球的體積是(　　) A.π B.π C．2π D．4π 解析：選A　由三視圖可知，三棱錐的底面是直角三角形，三棱錐的高為1，其頂點(diǎn)在底面的射影落在底面直角三角形斜邊的中點(diǎn)上，則三棱錐的外接球的球心是底面直角三角形斜邊的中點(diǎn)，由此可知此球的半徑為1，于是外接球的體積V＝πR3＝π. 3．若一個(gè)正四面體的表面積為S1，其內(nèi)切球的表面積為S2，則＝________. 解析：設(shè)正四面體棱長為a，則正四面體表

33、面積為S1＝4··a2＝a2，其內(nèi)切球半徑為正四面體高的，即r＝·a＝a，因此內(nèi)切球表面積為S2＝4πr2＝， 則＝＝. 答案： 角度二：三棱柱或四棱錐的外接球 4．(2018·武漢調(diào)研)已知正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，且該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為________． 解析： 如圖，正四棱錐P-ABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，設(shè)球的半徑為R，因?yàn)榈酌孢呴L為2，所以AC＝4.在Rt△AOO1中，R2＝(4－R)2＋22，所以R＝，所以球的表面積S＝4πR2＝25π. 答案：25π 5．(2018·長春模擬)已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊

34、長為的正三角形，側(cè)棱垂直于底面，且該三棱柱的外接球的表面積為12π，則該三棱柱的體積為________． 解析：設(shè)球半徑為R，上，下底面中心設(shè)為M，N，由題意，外接球心為MN的中點(diǎn)，設(shè)為O，則OA＝R，由4πR2＝12π，得R＝OA＝，又易得AM＝，由勾股定理可知，OM＝1，所以MN＝2，即棱柱的高h(yuǎn)＝2，所以該三棱柱的體積為×()2×2＝3. 答案：3 6．已知表面積為4π的球有一內(nèi)接四棱錐，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且SA⊥平面ABCD，則四棱錐S-ABCD的體積為________． 解析：由S球＝4πR2＝4π，解得R＝1，即2R＝2.四棱錐S-ABCD的直觀圖如圖所示，

35、其所在的長方體的外接球即四棱錐的外接球，所以SA＝＝，所以四棱錐S-ABCD的體積V＝S四邊形ABCD·SA＝×1×＝. 答案： 角度三：圓柱或圓錐的內(nèi)切球與外接球 7．(2017·全國卷Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為(　　) A．π B. C. D. 解析：選B　設(shè)圓柱的底面半徑為r，則r2＝12－2＝，所以圓柱的體積V＝π×1＝. 8．若圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合，且內(nèi)切球的半徑為1，則圓錐的體積為________． 解析：過圓錐的旋轉(zhuǎn)軸作軸截面，得截面△ABC及其內(nèi)切圓⊙O1和外接圓⊙O2，且兩圓同圓心，即△

36、ABC的內(nèi)心與外心重合，易得△ABC為正三角形，由題意知⊙O1的半徑為r＝1，即△ABC的邊長為2，圓錐的底面半徑為，高為3，故V＝×π×3×3＝3π. 答案：3π 9．(2017·江蘇高考)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________． 解析：設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)榍騉與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切，所以圓柱的底面半徑為R、高為2R，所以＝＝. 答案： [方法技巧] “切”“接”問題處理的注意事項(xiàng) (1)“切”的處理 解決與球的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首

37、先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決．如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過球心的對角面來作． (2)“接”的處理 把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的外接問題．解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑．　　 1.(2017·全國卷Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為(　　) A．10 B．12 C．14 D．16 解析：選B　由三視圖可知該多面體是一個(gè)組合體，下面是一個(gè)底面是等腰直角三角形的直三

38、棱柱，上面是一個(gè)底面是等腰直角三角形的三棱錐，等腰直角三角形的腰長為2，直三棱柱的高為2，三棱錐的高為2，易知該多面體有2個(gè)面是梯形，這些梯形的面積之和為×2＝12. 2．(2017·全國卷Ⅱ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(　　) A．90π B．63π C．42π D．36π 解析：選B　法一：由題意知，該幾何體由底面半徑為3，高為10的圓柱截去底面半徑為3，高為6的圓柱的一半所得，故其體積V＝π×32×10－×π×32×6＝63π. 法二：由題意知，該幾何體由底面半徑為3，高

39、為10的圓柱截去底面半徑為3，高為6的圓柱的一半所得，其體積等價(jià)于底面半徑為3，高為7的圓柱的體積，所以它的體積V＝π×32×7＝63π. 法三：(估值法)由題意，知V圓柱＜V幾何體＜V圓柱． 又V圓柱＝π×32×10＝90π， ∴45π＜V幾何體＜90π. 觀察選項(xiàng)可知只有63π符合．故選B. 3．(2014·全國卷Ⅰ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為(　　) A．6 B．4 C．6 D．4 解析：選C　如圖，設(shè)輔助正方體的棱長為4，三視圖對應(yīng)的多面體為三棱錐A-BCD，最長的棱為AD＝＝6.

40、4．(2013·全國卷Ⅱ)一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為(　　) 解析：選A　作出空間直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)系中標(biāo)出各點(diǎn)的位置，然后進(jìn)行投影，分析其正視圖形狀．易知選A. 5．(2016·全國卷Ⅱ)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　) A．20π　　　　　　　 B．24π C．28π　　　　　　　　D．32π 解析：選C　由三視圖知該幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為r，周長為

41、c，圓錐母線長為l，圓柱高為h.由圖得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l＝＝4，S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π. 6．(2016·全國卷Ⅰ)如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是(　　) A．17π B．18π C．20π D．28π 解析：選A　由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)球體去掉上半球的，得到的幾何體如圖．設(shè)球的半徑為R，則πR3－×πR3＝π，解得R＝2.因此它的表面積為×4πR2＋πR2＝17π. 7．(2015·全國卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB

42、＝90°，C為該球面上的動點(diǎn)．若三棱錐O -ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(　　) A．36π B．64π C．144π D．256π 解析：選C　如圖，設(shè)球的半徑為R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝R2. ∵VO-ABC＝VC -AOB，而△AOB面積為定值，∴當(dāng)點(diǎn)C到平面AOB的距離最大時(shí)，VO-ABC最大，∴當(dāng)C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點(diǎn)時(shí)，體積VO-ABC最大，為×R2×R＝36，∴R＝6，∴球O的表面積為4πR2＝4π×62＝144π. 8．(2015·全國卷Ⅰ)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，

43、下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問 米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有(　　) A．14斛　　　　　 B．22斛 C．36斛 D．66斛 解析：選B　設(shè)米堆的底面半徑為r尺，則r＝8，所以r＝，所以米堆的體積為V＝×π×r2×5＝×2×5≈(立方尺)．故堆放的米約有÷1.62≈22(斛)． 9．(2014·全國卷Ⅱ)正三棱柱ABC-A1B1C1 的底面邊長為2，側(cè)棱長為 ，D為BC中點(diǎn)，則三棱錐A-B1D

44、C1 的體積為(　　) A．3　　　　　　　　　　　 B. C．1 D. 解析：選C　由題意可知AD⊥BC，由面面垂直的性質(zhì)定理可得AD⊥平面DB1C1，又AD＝2sin 60°＝，所以VA-B1DC1＝AD·S△B1D C1＝×××2×＝1. 一、選擇題 1．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，E是AB的三等分點(diǎn)，G，N是CD的三等分點(diǎn)，F(xiàn)，H分別是BC，MN的中點(diǎn)，則四棱錐A1-EFGH的側(cè)視圖是(　　) 解析：選C　由直觀圖可知，點(diǎn)A1，H，E，F(xiàn)在平面CDD1C1的射影分別為D1，N，G，C，在平面CDD1C1，連接D1，N，G，C四點(diǎn)，從左側(cè)看可

45、知圖形為選項(xiàng)C. 2.(2017·永州一模)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該幾何體的各個(gè)面中最大面的面積為(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B. C. D．2 解析：選D　由題意得，該幾何體的直觀圖為三棱錐A-BCD，如圖，其最大面的表面是邊長為2的等邊三角形，故其面積為×(2)2＝2. 3．已知某空間幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的體積為24π＋48，則該幾何體的表面積為(　　) A．24π＋48 B．24π＋90＋6 C．48π＋48 D．24π＋66＋6 解析：選D　由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)組合體，左邊是一個(gè)

46、底面半徑為3r、高為4r的四分之一圓錐，右邊是一個(gè)底面是直角邊長為3r的等腰直角三角形、高為4r的三棱錐，則×π(3r)2×4r＋××3r×3r×4r＝24π＋48，解得r＝2，則該幾何體的表面積為×π×6×10＋×π×62＋×6×6＋2××6×8＋×6×＝24π＋66＋6. 4．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．60－12π B．60－6π C．72－12π D．72－6π 解析：選D　根據(jù)三視圖知該幾何體是直四棱柱，挖去一個(gè)半圓柱體，且四棱柱的底面是等腰梯形，高為3， 所以該組合體的體積為V＝×(4＋8)×4×3－π×22×3＝72－6π.

47、5．某四面體的三視圖如圖所示，正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是邊長為1的正方形，則此四面體的外接球的體積為(　　) A. B．3π C.π D．π 解析：選C　由三視圖可知，該幾何體是棱長為1的正方體截去4個(gè)角的小三棱錐后的幾何體，如圖所示，該幾何體的外接球的直徑等于正方體的對角線，即R＝，所以外接球的體積V＝πR3＝π. 6．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．72 B．48 C．24 D．16 解析：選C　由三視圖可知，該幾何體是一四棱錐，底面是上、下底邊長分別為2,4，高是6的直角梯形，棱錐的高是4，則該幾何體的體積V＝××(2＋4)×6×4

48、＝24. 7．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為(　　) A.π B.π C.π D.π 解析：選D　由三視圖可知，該幾何體是三棱錐，底面是兩腰長為3、底邊長為4的等腰三角形，過底面等腰三角形頂點(diǎn)的側(cè)棱長為4且垂直于底面．設(shè)等腰三角形的頂角為θ，由余弦定理可得cos θ＝＝，sin θ＝，由正弦定理可得底面三角形外接圓的直徑2r＝，則球的直徑2R＝＝ ，所以外接球的表面積為π. 8．(2016·全國卷Ⅲ)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　) A．4π B.

49、C．6π D. 解析：選B　設(shè)球的半徑為R， ∵△ABC的內(nèi)切圓半徑為＝2， ∴R≤2.又2R≤3， ∴R≤， ∴Vmax＝×π×3＝. 二、填空題 9．四面體A-BCD中，若AB＝CD＝，AC＝BD＝，AD＝BC＝2，則四面體A-BCD的外接球的體積是________． 解析：作一個(gè)長方體，面對角線分別為，，2，設(shè)長方體的三棱長分別為x，y，z，則則該長方體的體對角線為＝，則該長方體的外接球即為四面體A-BCD的外接球，則外接球的半徑為R＝＝，體積為V＝π3＝π. 答案：π 10.三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐，其俯視圖如圖所示，正視圖是底邊長為2的等腰三角形，則正視圖的面

50、積為________． 解析：因?yàn)檎忮F的三條側(cè)棱兩兩垂直，且底面是邊長為2的正三角形，則該正三棱錐的側(cè)棱長為，其三棱錐的高 ＝即為正視圖的高，又正視圖是底邊長為2的等腰三角形，則正視圖的面積S＝×2×＝. 答案： 11．若三棱錐S-ABC的所有的頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝AB＝2，AC＝4，∠BAC＝，則球O的表面積為________． 解析：由題意，得三棱錐S-ABC是長方體的一部分(如圖所示)，所以球O是該長方體的外接球，其中SA＝AB＝2，AC＝4，設(shè)球的半徑為R，則2R＝＝＝2，所以球O的表面積為4πR2＝20π. 答案：20π 12.(2017·全

51、國卷Ⅰ)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當(dāng)△ABC的邊長變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為________． 解析：法一：由題意可知，折起后所得三棱錐為正三棱錐，當(dāng)△ABC的邊長變化時(shí)，設(shè)△ABC的邊長為a(a>0)cm，則△ABC的面積為a2，△DBC的高為5－a，則正三棱錐的高為＝，∴25－a>0，∴0

52、體積V＝×a2× ＝× . 令t＝25a4－a5，則t′＝100a3－a4，由t′＝0，得a＝4，此時(shí)所得三棱錐的體積最大，為4 cm3. 法二：如圖，連接OD交BC于點(diǎn)G，由題意知，OD⊥BC.易得OG＝BC， 設(shè)OG＝x，則BC＝2x，DG＝5－x，S△ABC＝×2x×3x＝3x2， 故所得三棱錐的體積V＝×3x2×＝x2×＝×. 令f(x)＝25x4－10x5，x∈， 則f′(x)＝100x3－50x4， 令f′(x)>0，即x4－2x3<0，得0

53、解答題 13.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直，下圖為該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖，它們是腰長為6 cm 的全等的等腰直角三角形． (1)根據(jù)所給的正視圖、側(cè)視圖，畫出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積； (2)求PA. 解：(1)該四棱錐的俯視圖為(內(nèi)含對角線)邊長為6 cm的正方形，如圖，其面積為36 cm2. (2)由側(cè)視圖可求得PD＝＝＝6. 由正視圖可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中， PA＝＝ ＝6(cm)． 14．(2015·全國卷Ⅱ)如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點(diǎn)E

54、，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.過點(diǎn)E，F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形． (1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由)； (2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值． 解：(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示． (2)如圖，作EM⊥AB，垂足為M， 則AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8. 因?yàn)樗倪呅蜤HGF為正方形， 所以EH＝EF＝BC＝10. 于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6. 故S四邊形A1EHA＝×(4＋10)×8＝56， S四邊形EB1BH＝×(12＋6)×8＝72. 因?yàn)殚L方體被平面α分成兩個(gè)高

55、為10的直棱柱， 所以其體積的比值為. 1．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A. B．5 C. D．6 解析：選A　由三視圖可知該幾何體是直三棱柱ABD-EFG和四棱錐C-BDGF的組合體，如圖，直三棱柱的底面是一個(gè)直角三角形，兩條直角邊分別是1,2，高是2，則該幾何體的體積V＝V三棱柱ABD-EFG＋V四棱錐C-BDGF＝V三棱柱ABD-EFG＋V三棱錐C-DFG＋V三棱錐C-BDF＝V三棱柱ABD-EFG＋V三棱錐F-CDG＋V三棱錐F-BDC＝×1×2×2＋××2×2×2＋××2×2×2＝. 2．如圖，是某幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的體積是(　　) A．2＋ B．2＋ C．4＋ D．4＋ 解析：選A　由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)組合體：一個(gè)是底面半徑為1、高為1的圓柱的一半，另一個(gè)是底面直角邊長為的等腰直角三角形、高為2的直三棱柱，所以該幾何體的體積V＝×××2＋×π×12×1＝2＋. 31