（浙江專(zhuān)用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題二 立體幾何 第1講 空間幾何體學(xué)案

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1、 第1講　空間幾何體 [考情考向分析]　1.以三視圖為載體，考查空間幾何體面積、體積的計(jì)算.2.考查空間幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖及簡(jiǎn)單的組合體問(wèn)題． 熱點(diǎn)一　三視圖與直觀圖 1．一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則 俯視圖放在正視圖的下面，長(zhǎng)度與正視圖的長(zhǎng)度一樣，側(cè)視圖放在正視圖的右面，高度與正視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣．即“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”． 2．由三視圖還原幾何體的步驟 一般先依據(jù)俯視圖確定底面再利用正視圖與側(cè)視圖確定幾何體． 例1　(1)(2018·全國(guó)Ⅲ)中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若

2、如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(　　) 答案　A 解析　由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A. (2)有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形(如圖所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為_(kāi)_______． 答案　2＋ 解析　如圖，在直觀圖中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E， 則在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝. 而四邊形AECD為矩形，AD＝1， ∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝＋1.

3、 由此可還原原圖形如圖所示． 在原圖形中，A′D′＝1，A′B′＝2， B′C′＝＋1， 且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′， ∴這塊菜地的面積為S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′ ＝××2＝2＋. 思維升華　空間幾何體的三視圖是從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三個(gè)平面投影圖，因此在分析空間幾何體的三視圖問(wèn)題時(shí)，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線(xiàn)和虛線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置，再確定幾何體的形狀，即可得到結(jié)果．在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮． 跟蹤

4、演練1　(1)(2018·浙江省臺(tái)州中學(xué)模擬)在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為(　　) 答案　D 解析　由正視圖和俯視圖得該幾何體可以為一個(gè)底面為等腰三角形的三棱錐和一個(gè)與三棱錐等高，且底面直徑等于三棱錐的底面等腰三角形的底的半圓錐的組合體，則其側(cè)視圖可以為D選項(xiàng)中的圖形，故選D. (2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱CD，CC1，A1B1的中點(diǎn)，用過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面截正方體，則位于截面以下部分的幾何體的側(cè)視圖為(　　) 答案　C 解析　取AA1的中點(diǎn)H，連接GH，則GH為過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面與

5、正方體的面A1B1BA的交線(xiàn)． 延長(zhǎng)GH，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)與點(diǎn)P，連接EP，交AD于點(diǎn)N，則NE為過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面與正方體的面ABCD的交線(xiàn)． 同理，延長(zhǎng)EF，交D1C1的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q，連接GQ，交B1C1于點(diǎn)M，則FM為過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面與正方體的面BCC1B1的交線(xiàn)． 所以過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面截正方體所得的截面為圖中的六邊形EFMGHN. 故可得位于截面以下部分的幾何體的側(cè)視圖為選項(xiàng)C所示． 熱點(diǎn)二　幾何體的表面積與體積 空間幾何體的表面積和體積計(jì)算是高考中常見(jiàn)的一個(gè)考點(diǎn)，解決這類(lèi)問(wèn)題，首先要熟練掌握各類(lèi)空間幾何體的表面積和體積計(jì)算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不規(guī)則

6、幾何體分割成幾個(gè)規(guī)則幾何體的技巧，把一個(gè)空間幾何體納入一個(gè)更大的幾何體中的補(bǔ)形技巧． 例2　(1)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線(xiàn)畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　) A．8＋4＋8 B．24＋4 C．8＋20 D．28 答案　A 解析　由三視圖可知，該幾何體的下底面是長(zhǎng)為4，寬為2的矩形，左右兩個(gè)側(cè)面是底邊為2，高為2的三角形，前后兩個(gè)側(cè)面是底邊為4，高為的平行四邊形，所以該幾何體的表面積為S＝4×2＋2××2×2＋2×4×＝8＋4＋8. (2)(2018·杭州質(zhì)檢)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是________，表面積是___

7、_____． 答案　π　6＋(6＋)π 解析　由三視圖知，該幾何體是由四分之一球與半個(gè)圓錐組合而成，則該組合體的體積為V＝×π×23＋×π×22×3＝π， 表面積為S＝×4π×22＋×π×22＋×4×3＋××2π×2×＝6＋π. 思維升華　(1)求多面體的表面積的基本方法就是逐個(gè)計(jì)算各個(gè)面的面積，然后求和． (2)求簡(jiǎn)單幾何體的體積時(shí)，若所給的幾何體為柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式求解；求組合體的體積時(shí)，若所給定的幾何體是組合體，不能直接利用公式求解，常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解；求以三視圖為背景的幾何體的體積時(shí)，應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解．

8、 跟蹤演練2　(1)(2018·寧波期末)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為16＋20π，則r等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 答案　B 解析　由三視圖得該幾何體為一個(gè)半球和一個(gè)半圓柱的組合體，且半圓柱的底面和半球體的一半底面重合，則其表面積為×4πr2＋πr2＋2r×2r＋×2πr×2r＝4r2＋5πr2＝16＋20π，解得r＝2，故選B. (2)(2018·紹興質(zhì)檢)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　) A．2 B．3

9、 C．4 D．6 答案　A 解析　將俯視圖的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)向上拉起，結(jié)合正視圖與側(cè)視圖知，此空間幾何體是底面為正方形(邊長(zhǎng))，高為3的正四棱錐，則其體積V＝Sh＝×()2×3＝2，故選A. 熱點(diǎn)三　多面體與球 與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖．如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑．球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)等于球的直徑．球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心(或“切點(diǎn)”“接點(diǎn)

10、”)作出截面圖． 例3　(1)已知正三棱錐S－ABC的頂點(diǎn)均在球O的球面上，過(guò)側(cè)棱SA及球心O的平面截三棱錐及球面所得截面如圖所示，已知三棱錐的體積為2，則球O的表面積為(　　) A．16π B．18π C．24π D．32π 答案　A 解析　設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，外接球的半徑為R， 因?yàn)檎忮F的底面為正三角形，邊長(zhǎng)為a， 則AD＝a，則AO＝AD＝a， 所以a＝R，即a＝R， 又因?yàn)槿忮F的體積為2， 所以×a2R＝××2×R＝2， 解得R＝2，所以球的表面積為S＝4πR2＝16π. (2)如圖是某三棱錐的三視圖，則此三棱錐內(nèi)切球的體積為(　　)

11、 A. B. C. D. 答案　D 解析　把此三棱錐嵌入長(zhǎng)、寬、高分別為20,24,16的長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中， 三棱錐B－KLJ即為所求的三棱錐，其中KC1＝9，C1L＝LB1＝12，B1B＝16，∴＝， 則△KC1L∽△LB1B，∠KLB＝90°， 故可求得三棱錐各面面積分別為 S△BKL＝150，S△JKL＝150，S△JKB＝250，S△JLB＝250， 故表面積為S表＝800. 三棱錐體積V＝S△BKL·JK＝1 000， 設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則r＝＝， 故三棱錐內(nèi)切球體積V球＝πr3＝. 思維升華　三棱錐P－ABC可通過(guò)補(bǔ)形為長(zhǎng)方體求解

12、外接球問(wèn)題的兩種情形 (1)點(diǎn)P可作為長(zhǎng)方體上底面的一個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C可作為下底面的三個(gè)頂點(diǎn)． (2)P－ABC為正四面體，則正四面體的每條棱都可作為正方體的一條面對(duì)角線(xiàn)． 跟蹤演練3　(1)在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若AB＝2，BC＝3，PA＝4，則該三棱錐的外接球的表面積為(　　) A．13π B．20π C．25π D．29π 答案　D 解析　把三棱錐P－ABC放到長(zhǎng)方體中，如圖所示， 所以長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為＝， 所以三棱錐外接球的半徑為， 所以外接球的表面積為4π×2＝29π. (2)已知一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，記該

13、圓錐的內(nèi)切球的表面積為S1，外接球的表面積為S2，則等于(　　) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶8 答案　C 解析　如圖， 由已知圓錐側(cè)面積是底面積的2倍，不妨設(shè)底面圓半徑為r，l為底面圓周長(zhǎng)，R為母線(xiàn)長(zhǎng)， 則lR＝2πr2， 即·2π·r·R＝2πr2， 解得R＝2r， 故∠ADC＝30°，則△DEF為等邊三角形， 設(shè)B為△DEF的重心，過(guò)B作BC⊥DF， 則DB為圓錐的外接球半徑，BC為圓錐的內(nèi)切球半徑， 則＝，∴＝，故＝. 真題體驗(yàn) 1．(2018·全國(guó)Ⅰ改編)某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖所示．圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖

14、上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在側(cè)視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為_(kāi)_______． 答案　2 解析　先畫(huà)出圓柱的直觀圖，根據(jù)題中的三視圖可知，點(diǎn)M，N的位置如圖①所示． 圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖及M，N的位置(N為OP的四等分點(diǎn))如圖②所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑．ON＝×16＝4，OM＝2， ∴MN＝＝＝2. 2．(2017·北京改編)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為_(kāi)_______． 答案　2 解析　在正方體中還原該四棱錐，如圖所示， 可知SD為該四棱錐的最長(zhǎng)棱． 由三視圖可知，正方

15、體的棱長(zhǎng)為2， 故SD＝＝2. 3．(2017·天津)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為_(kāi)_______． 答案　π 解析　設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則6a2＝18，∴a＝. 設(shè)球的半徑為R，則由題意知2R＝＝3， ∴R＝.故球的體積V＝πR3＝π×3＝π. 4．(2017·全國(guó)Ⅰ)已知三棱錐S—ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S—ABC的體積為9，則球O的表面積為_(kāi)_______． 答案　36π 解析　如圖，連接OA，OB. 由SA＝AC，SB＝BC，

16、SC為球O的直徑知，OA⊥SC，OB⊥SC. 由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA?平面SCA， ∴OA⊥平面SCB. 設(shè)球O的半徑為r，則OA＝OB＝r，SC＝2r， ∴三棱錐S－ABC的體積V＝××SC×OB×OA＝， 即＝9，∴r＝3，∴球O的表面積S＝4πr2＝36π. 押題預(yù)測(cè) 1．一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．16 B．8＋8 C．2＋2＋8 D．4＋4＋8 押題依據(jù)　求空間幾何體的表面積或體積是立體幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考命題的熱點(diǎn)．此類(lèi)題常以三視圖為載體，給出幾何體的結(jié)構(gòu)特征，求

17、幾何體的表面積或體積． 答案　D 解析　由三視圖知，該幾何體是底面邊長(zhǎng)為＝2的正方形，高PD＝2的四棱錐P－ABCD，因?yàn)镻D⊥平面ABCD，且四邊形ABCD是正方形， 易得BC⊥PC，BA⊥PA， 又PC＝＝＝2， 所以S△PCD＝S△PAD＝×2×2＝2， S△PAB＝S△PBC＝×2×2＝2. 所以幾何體的表面積為4＋4＋8. 2．在正三棱錐S－ABC中，點(diǎn)M是SC的中點(diǎn)，且AM⊥SB，底面邊長(zhǎng)AB＝2，則正三棱錐S－ABC的外接球的表面積為(　　) A．6π B．12π C．32π D．36π 押題依據(jù)　靈活運(yùn)用正三棱錐中線(xiàn)與線(xiàn)之間的位置關(guān)系來(lái)解決外接球的

18、相關(guān)問(wèn)題，是高考的熱點(diǎn)． 答案　B 解析　因?yàn)槿忮FS－ABC為正三棱錐，所以SB⊥AC，又AM⊥SB，AC∩AM＝A，AC，AM?平面SAC，所以SB⊥平面SAC，所以SB⊥SA，SB⊥SC，同理SA⊥SC，即SA，SB，SC三線(xiàn)兩兩垂直，且AB＝2，所以SA＝SB＝SC＝2，所以(2R)2＝3×22＝12，所以球的表面積S＝4πR2＝12π，故選B. 3．已知半徑為1的球O中內(nèi)接一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的體積與圓柱的體積的比值為_(kāi)_______． 押題依據(jù)　求空間幾何體的體積是立體幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，主要是求柱體、錐體、球體或簡(jiǎn)單組合體的體積．

19、本題通過(guò)球的內(nèi)接圓柱，來(lái)考查球與圓柱的體積計(jì)算，命題角度新穎，值得關(guān)注． 答案　 解析　如圖所示，設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓柱的側(cè)面積為 S＝2πr×2 ＝4πr ≤4π×＝2π . 所以當(dāng)r＝時(shí)，＝＝. A組　專(zhuān)題通關(guān) 1.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為BD1的中點(diǎn)，則△PAC在該正方體各個(gè)面上的正投影可能是(　　) A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 答案　B 解析　P點(diǎn)在上下底面投影落在AC或A1C1上，所以△PAC在上底面或下底面的投影為①，在前、后面以及左、右面的投影為④. 2. (2018·浙江省金麗衢十二校

20、聯(lián)考)某四面體的三視圖如圖所示，正視圖、側(cè)視圖都是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，俯視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，則此四面體的最大面的面積是(　　) A．2 B．2 C．2 D．4 答案　C 解析　由三視圖得該幾何體如圖中的三棱錐A－BCD所示，則S△ABD＝×(2)2×＝2，S△BCD＝×2×2＝2，S△ABC＝S△ADC＝×2×2＝2，所以最大面的面積為2，故選C. 3．(2018·浙江)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案　C 解析　由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面為

21、直角梯形，高為2的直四棱柱，直角梯形的上、下底邊長(zhǎng)分別為2,1，高為2， ∴該幾何體的體積為V＝2×＝6. 故選C. 4．某幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖(1)所示，它的俯視圖的直觀圖是△A′B′C′，如圖(2)所示，其中O′A′＝O′B′＝2，O′C′＝，則該幾何體的表面積為(　　) A．36＋12 B．24＋8 C．24＋12 D．36＋8 答案　C 解析　由題圖(2)可知，該幾何體的俯視圖是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4，高為2的等腰三角形，即該三角形為等邊三角形，在如圖所示的長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)、寬、高分別為4,2，6，三視圖還原為幾何體是圖中的三棱錐P－ABC，且S△PAB＝S△

22、PBC＝×4×6＝12，S△ABC＝×4×2＝4，△PAC是腰長(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)為4的等腰三角形，S△PAC＝8.綜上可知，該幾何體的表面積為2×12＋4＋8＝24＋12.故選C. 5.已知如圖所示的三棱錐D－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB＝3，AC＝，BC＝CD＝BD＝2，則球O的表面積為(　　) A．4π B．12π C．16π D．36π 答案　C 解析　如圖所示，∵AB2＋AC2＝BC2，∴∠CAB為直角，即△ABC外接圓的圓心為BC的中點(diǎn)O′.△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，則球心在過(guò)△DBC的圓面上，即△DBC

23、的外接圓為球的大圓，由等邊三角形的重心和外心重合，易得球半徑R＝2，球的表面積為S＝4πR2＝16π，故選C. 6．已知正四棱錐P－ABCD的各頂點(diǎn)都在同一球面上，底面正方形的邊長(zhǎng)為，若該正四棱錐的體積為2，則此球的體積為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如圖所示，設(shè)底面正方形ABCD的中心為O′，正四棱錐P－ABCD的外接球的球心為O， ∵底面正方形的邊長(zhǎng)為， ∴O′D＝1， ∵正四棱錐的體積為2， ∴VP－ABCD＝×()2×PO′＝2， 解得PO′＝3， ∴OO′＝|PO′－PO|＝|3－R|， 在Rt△OO′D中，由勾股定理可得OO′

24、2＋O′D2＝OD2， 即(3－R)2＋12＝R2， 解得R＝， ∴V球＝πR3＝π×3＝. 7．在三棱錐S－ABC中，側(cè)棱SA⊥底面ABC，AB＝5，BC＝8，∠ABC＝60°，SA＝2，則該三棱錐的外接球的表面積為(　　) A.π B.π C.π D.π 答案　B 解析　由題意知，AB＝5，BC＝8，∠ABC＝60°， 則在△ABC中，由余弦定理得 AC2＝AB2＋BC2－2×AB×BC×cos∠ABC， 解得AC＝7， 設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，則 △ABC的外接圓直徑2r＝＝，∴r＝， 又∵側(cè)棱SA⊥底面ABC， ∴三棱錐的外接球的球心到平面AB

25、C的距離d＝SA＝，則外接球的半徑R＝＝，則該三棱錐的外接球的表面積為S＝4πR2＝π. 8．某幾何體的正視圖和俯視圖如圖所示，在下列圖形中，可能是該幾何體側(cè)視圖的圖形是________．(寫(xiě)出所有可能的序號(hào)) 答案?、佗冖? 解析　如圖a三棱錐C－ABD，正視圖與俯視圖符合題意，側(cè)視圖為①； 如圖b四棱錐P－ABCD，正視圖與俯視圖符合題意，側(cè)視圖為②； 如圖c三棱錐P－BCD，正視圖與俯視圖符合題意，側(cè)視圖為③. 9．如圖1所示是一種生活中常見(jiàn)的容器，其結(jié)構(gòu)如圖2，其中ABCD是矩形，ABFE和CDEF都是等腰梯形，且AD⊥平面CDEF，現(xiàn)測(cè)得AB＝20 cm，AD＝

26、15 cm，EF＝30 cm，AB與EF間的距離為25 cm，則幾何體EF－ABCD的體積為_(kāi)_______cm3. 答案　3 500 解析　在EF上，取兩點(diǎn)M，N(圖略)，分別滿(mǎn)足EM＝NF＝5，連接DM，AM，BN，CN，則該幾何體就被分割成兩個(gè)棱錐和一個(gè)棱柱，根據(jù)柱、錐體的體積公式以及題中所給的相關(guān)量，可以求得V＝×20×15×20＋2×××20×15×5＝3 500. 10. (2018·浙江省杭州二中等五校聯(lián)考)一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，則其表面積為_(kāi)_______，其外接球的體積為_(kāi)_______． 答案　26＋2　π 解析　由三視圖得該幾何體是一個(gè)底面為直角邊

27、分別為3,4的直角三角形，高為5的三棱錐，且三棱錐的頂點(diǎn)在底面的投影為底面直角三角形中邊長(zhǎng)為4的直角邊所對(duì)的頂點(diǎn)，則其表面積為×3×4＋×3×5＋×5×5＋××4＝26＋2，其外接球的半徑為＝，則外接球的體積為π×3＝π. 11．(2018·全國(guó)Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線(xiàn)SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°，若△SAB的面積為5，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_______． 答案　40π 解析　如圖，∵SA與底面所成角為45°， ∴△SAO為等腰直角三角形． 設(shè)OA＝r，則SO＝r，SA＝SB＝r. 在△SAB中，cos∠ASB＝， ∴sin∠ASB＝， ∴S

28、△SAB＝SA·SB·sin∠ASB ＝(r)2·＝5， 解得r＝2， ∴SA＝r＝4，即母線(xiàn)長(zhǎng)l＝4， ∴S圓錐側(cè)＝πr·l＝π×2×4＝40π. 12．已知二面角α－l－β的大小為，點(diǎn)P∈α，點(diǎn)P在β 內(nèi)的正投影為點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥l，垂足為點(diǎn)B，點(diǎn)C∈l，BC＝2，PA＝2，點(diǎn)D∈β，且四邊形ABCD滿(mǎn)足∠BCD＋∠DAB＝π.若四面體PACD的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為_(kāi)_______． 答案　8π 解析　∵∠BCD＋∠DAB＝π， ∴A，B，C，D四點(diǎn)共圓，直徑為AC. ∵PA⊥平面β，AB⊥l，∴易得PB⊥l， 即∠PBA為二面角α－l－β的平面角

29、， 即∠PBA＝， ∵PA＝2，∴BA＝2， ∵BC＝2，∴AC＝2. 設(shè)球的半徑為R，則2－＝， ∴R＝，V＝()3＝8π. B組　能力提高 13．若四棱錐P－ABCD的三視圖如圖所示，則該四棱錐的外接球的表面積為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根據(jù)三視圖還原幾何體為一個(gè)四棱錐P－ABCD，如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD， 由于△PAD為等腰三角形，PA＝PD＝3，AD＝4，四邊形ABCD為矩形，CD＝2，過(guò)△PAD的外心F作平面PAD的垂線(xiàn)，過(guò)矩形ABCD的中心H作平面ABCD的垂線(xiàn)，兩條垂線(xiàn)交于一點(diǎn)O，則O為四棱錐外接球的球心，在

30、△PAD中，cos∠APD＝＝，則sin∠APD＝， 2PF＝＝＝，PF＝， PE＝＝，OH＝EF＝－＝， BH＝＝， OB＝＝＝， 所以S＝4π×＝. 14.如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，切去陰影部分圍成一個(gè)正四棱錐，則正四棱錐側(cè)面積的取值范圍為(　　) A．(1,2) B．(1,2] C．(0,2] D．(0,2) 答案　D 解析　設(shè)四棱錐一個(gè)側(cè)面為△APQ，∠APQ＝x，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PQ， 則AH＝PQ×tan x＝＝ ＝－PQ， ∴PQ＝，AH＝， ∴S＝4××PQ×AH＝2×PQ×AH ＝2×× ＝，x∈， ∴tan x>0，

31、 ∴S＝＝ ＝≤＝2， ， 而tan x>0，故S>0， ∵S＝2時(shí)，△APQ是等腰直角三角形， 頂角∠PAQ＝90°，陰影部分不存在，折疊后A與O重合，構(gòu)不成棱錐， ∴S的取值范圍為(0,2)，故選D. 15．(2018·寧波模擬)已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是頂角為120°的等腰三角形，側(cè)視圖為直角三角形，則該三棱錐的表面積為_(kāi)_______，該三棱錐的外接球的體積為_(kāi)_______． 答案　4＋＋　π 解析　由三視圖得幾何體的直觀圖如圖所示， ∴S表＝2××2×2＋×2×＋×2×1 ＝4＋＋. 作DE⊥BD交BC于點(diǎn)E，以D為原點(diǎn)，DB所在

32、直線(xiàn)為x軸，DE所在直線(xiàn)為y軸，DA所在直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz， 則D(0,0,0)，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(－1，，0)， 設(shè)球心坐標(biāo)為(x，y，z)， ∵(x－2)2＋y2＋z2＝x2＋y2＋z2，① x2＋y2＋(z－2)2＝x2＋y2＋z2，② (x＋1)2＋(y－)2＋z2＝x2＋y2＋z2，③ ∴x＝1，y＝，z＝1， ∴球心坐標(biāo)是(1，，1)， ∴球的半徑是＝. ∴球的體積是π×3＝π. 16．(2018·浙江省杭州二中等五校聯(lián)考)棱長(zhǎng)為36的正四面體A－BCD的內(nèi)切球上有一動(dòng)點(diǎn)M，則MB＋MC的最小值為_(kāi)_________． 答案　4 解析　由MB＋MC結(jié)構(gòu)看，需要把MC轉(zhuǎn)化為M點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離．設(shè)內(nèi)切球球心為O，△ABD的中心為Q，由正四面體性質(zhì)易求OQ＝3，OC＝9，BQ＝12，且內(nèi)切球的半徑為3，現(xiàn)在只需要在直線(xiàn)OC上找一個(gè)定點(diǎn)P，使MP＝MC，即在平面OAC內(nèi)找MP＝MC.當(dāng)M分別在H，Q位置時(shí)，由MP＝MC，得滿(mǎn)足條件的只有一點(diǎn)P，P在OC之間且OP＝，即MP＝MC，且可證對(duì)內(nèi)切球面上任意一點(diǎn)M，上式均成立．所以MB＋MC＝MB＋MP≥PB＝＝＝4，當(dāng)M為線(xiàn)段BP與球面的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值． 21