2022年高考數(shù)學(xué) 專(zhuān)題52 反證法在證明題中的應(yīng)用黃金解題模板
《2022年高考數(shù)學(xué) 專(zhuān)題52 反證法在證明題中的應(yīng)用黃金解題模板》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué) 專(zhuān)題52 反證法在證明題中的應(yīng)用黃金解題模板(11頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高考數(shù)學(xué) 專(zhuān)題52 反證法在證明題中的應(yīng)用黃金解題模板 【高考地位】 反證法是高中數(shù)學(xué)的一種重要的證明方法,在不等式和立體幾何的證明中經(jīng)常用到,在高考題中也經(jīng)常出現(xiàn)。它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種很重要的證題方法. 反證法證題的步驟大致分為三步:(1)反設(shè):作出與求證的結(jié)論相反的假設(shè);(2)歸謬:由反設(shè)出發(fā),導(dǎo)出矛盾結(jié)果;(3)作出結(jié)論:證明了反設(shè)不能成立,從而證明了所求證的結(jié)論成立.其中,導(dǎo)出矛盾是關(guān)鍵,通常有以下幾種途徑:與已知矛盾,與公理、定理矛盾,與假設(shè)矛盾,自相矛盾等. 【方法點(diǎn)評(píng)】 類(lèi)型一 證明“至多”或“至少”問(wèn)題 使用情景:證明“至多”或“至少”問(wèn)題. 解題模板:第
2、一步 首先假設(shè)命題不成立; 第二步 然后根據(jù)已知或者規(guī)律推導(dǎo)出矛盾; 第三步 最后得出結(jié)論. 例1. 若{正整數(shù)},且。求證:或中至少有一個(gè)成立。 【答案】詳見(jiàn)解析. 【變式演練1】(1)已知中至少有一個(gè)小于2。 (2)已知,求證:. 類(lèi)型二 證明“不可能”問(wèn)題 使用情景:證明“不可能”問(wèn)題. 解題模板:第一步 首先假設(shè)命題不成立; 第二步 然后根據(jù)已知或者規(guī)律推導(dǎo)出矛盾; 第三步 最后得出結(jié)論. 例2.給定實(shí)數(shù),且,設(shè)函數(shù),求證:經(jīng)過(guò)這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線(xiàn)不平行于軸. 【答案】詳見(jiàn)解析. 【解析】 試題分析:要
3、證明經(jīng)過(guò)這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線(xiàn)不平行于軸,可以考慮假設(shè)函數(shù)圖象上存在兩點(diǎn),使得直線(xiàn)平行于軸.然后得出矛盾。 證明:假設(shè)函數(shù)圖象上存在兩點(diǎn),使得直線(xiàn)平行于軸.設(shè)且.由,得,解得.與已知矛盾.故經(jīng)過(guò)這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線(xiàn)不平行于x軸. 【點(diǎn)評(píng)】在證明不可能問(wèn)題上,必須按“反設(shè)——?dú)w謬——結(jié)論”的步驟進(jìn)行,反證法的難點(diǎn)在于如何從假設(shè)中推出矛盾,從而說(shuō)明假設(shè)不成立。本題從假設(shè)中推出的結(jié)論是與已知相矛盾。 【變式演練2】(Ⅰ)求證:當(dāng)時(shí), ; (Ⅱ)證明: 不可能是同一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng). 類(lèi)型三 證明“存在性”或“唯一性”問(wèn)題 使用情景:證明“存在性”
4、或“唯一性”問(wèn)題. 解題模板:第一步 首先假設(shè)命題不成立; 第二步 然后根據(jù)已知或者規(guī)律推導(dǎo)出矛盾; 第三步 最后得出結(jié)論. 例3.求證:方程的解是唯一的. 【答案】詳見(jiàn)解析. 【解析】 試題分析:可以假設(shè)方程的解有兩個(gè),然后得出矛盾。 證明:由對(duì)數(shù)的定義易得,是這個(gè)方程的一個(gè)解.假設(shè)這個(gè)方程的解不是唯一的,它還有解,則.,則,即.①由假設(shè),得,從而:當(dāng)時(shí),有;②當(dāng)時(shí),有.③ 顯然,②,③與①都矛盾,這說(shuō)明假設(shè)不成立.所以原方程的解是唯一的. 【點(diǎn)評(píng)】有關(guān)存在性與唯一性命題的證明問(wèn)題,可考慮用反證法.“存在”就是“至少有一個(gè)”,其反面是“一個(gè)沒(méi)有”,“惟一”就
5、是“有且只有一個(gè)”,其反面是“至少有兩個(gè)”.有時(shí)問(wèn)題的結(jié)論是以否定形式出現(xiàn)的否定性命題,也可考慮應(yīng)用反證法. 【變式演練3】用反證法證明數(shù)學(xué)命題時(shí),首先應(yīng)該做出與命題結(jié)論相反的假設(shè).否定“自然數(shù)中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)正確的假設(shè)為() A.自然數(shù)都是奇數(shù) B.自然數(shù)都是偶數(shù) C.自然數(shù)中至少有兩個(gè)偶數(shù) D.自然數(shù)中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù) 【答案】D 考點(diǎn):反證法. 【高考再現(xiàn)】 1. 【xx課標(biāo)II,理7】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢(xún)問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī)。老師說(shuō):你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī),給乙看丙的成績(jī),給丁看甲的成績(jī)??春蠹讓?duì)大家說(shuō):我
6、還是不知道我的成績(jī)。根據(jù)以上信息,則( ) A.乙可以知道四人的成績(jī) B.丁可以知道四人的成績(jī) C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī) D.乙、丁可以知道自己的成績(jī) 【答案】D 【解析】 試題分析:由甲的說(shuō)法可知乙、丙一人優(yōu)秀一人良好,則甲、丁兩人一人優(yōu)秀一人良好, 乙看到丙的結(jié)果則知道自己的結(jié)果與丙的結(jié)果相反, 丁看到甲的結(jié)果則知道自己的結(jié)果與甲的結(jié)果相反, 即乙、丁可以知道自己的成績(jī) 故選D。 【考點(diǎn)】合情推理 【名師點(diǎn)睛】合情推理主要包括歸納推理和類(lèi)比推理。數(shù)學(xué)研究中,在得到一個(gè)新結(jié)論前,
7、合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論,在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前,合情推理常常能為證明提供思路與方向。合情推理僅是“合乎情理”的推理,它得到的結(jié)論不一定正確。而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下)。 2. 【xx高考山東文數(shù)】觀(guān)察下列等式: ; ; ; ; …… 照此規(guī)律,_________. 【答案】 3. 【xx高考廣東,理8】若空間中個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等,則正整數(shù)的取值( ) A.大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3 【答案】. 4.【xx山東.理4】
8、 用反證法證明命題“設(shè)為實(shí)數(shù),則方程至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是( ) A. 方程沒(méi)有實(shí)根 B.方程至多有一個(gè)實(shí)根 C.方程至多有兩個(gè)實(shí)根 D.方程恰好有兩個(gè)實(shí)根 【答案】 【名師點(diǎn)睛】本題考查反證法.解答本題關(guān)鍵是理解反證法的含義,明確至少有一個(gè)的反面是一個(gè)也沒(méi)有.本題屬于基礎(chǔ)題,難度較小. 5. 【xx高考北京,理20】已知數(shù)列滿(mǎn)足:,,且. 記集合. (Ⅰ)若,寫(xiě)出集合的所有元素; (Ⅱ)若集合存在一個(gè)元素是3的倍數(shù),證明:的所有元素都是3的倍數(shù); (Ⅲ)求集合的元素個(gè)數(shù)的最大值. 【答案】(1),(2)證明見(jiàn)解析,(3)8 (Ⅲ)由于
9、中的元素都不超過(guò)36,由,易得,類(lèi)似可得,其次中的元素個(gè)數(shù)最多除了前面兩個(gè)數(shù)外,都是4的倍數(shù),因?yàn)榈诙€(gè)數(shù)必定為偶數(shù),由的定義可知,第三個(gè)數(shù)及后面的數(shù)必定是4的倍數(shù),另外,M中的數(shù)除以9的余數(shù),由定義可知, 和除以9的余數(shù)一樣, ①若中有3的倍數(shù),由(2)知:所有的都是3的倍數(shù),所以都是3的倍數(shù),所以除以9的余數(shù)為為3,6,3,6,...... ,或6,3,6,3......,或0,0,0,...... ,而除以9余3且是4的倍數(shù)只有12,除以9余6且是4的倍數(shù)只有24,除以9余0且是4的倍數(shù)只有36,則M中的數(shù)從第三項(xiàng)起最多2項(xiàng),加上前面兩項(xiàng),最多4項(xiàng). ②中沒(méi)有3的倍數(shù),則都不是3的倍
10、數(shù),對(duì)于除以9的余數(shù)只能是1,4,7,2,5,8中的一個(gè),從起,除以9的余數(shù)是1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,...... ,不斷的6項(xiàng)循環(huán)(可能從2,4,8,7或5開(kāi)始),而除以9的余數(shù)是1,2,4,8,5且是4的倍數(shù)(不大于36),只有28,20,4,8,16,32,所以M中的項(xiàng)加上前兩項(xiàng)最多8項(xiàng),則時(shí),,項(xiàng)數(shù)為8,所以集合的元素個(gè)數(shù)的最大值為8. 考點(diǎn)定位:1.分段函數(shù)形數(shù)列通項(xiàng)公式求值;2.歸納法證明;3.數(shù)列元素分析. 【名師點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的有關(guān)知識(shí)及歸納法證明方法,即考查了數(shù)列(分段形函數(shù))求值,又考查了歸納法證明和對(duì)數(shù)據(jù)的分析研究,考查了學(xué)生的分析問(wèn)題能力和邏輯推
11、理能力,本題屬于拔高難題,特別是第二、三兩步難度較大,適合選拔優(yōu)秀學(xué)生. 【反饋練習(xí)】 1.【xx陜西名校五校聯(lián)考】某次夏令營(yíng)中途休息期間,3位同學(xué)根據(jù)胡老師的口音對(duì)她是哪個(gè)地方的人進(jìn)行了判斷: 甲說(shuō)胡老師不是上海人,是福州人; 乙說(shuō)胡老師不是福州人,是南昌人; 丙說(shuō)胡老師不是福州人,也不是廣州人. 聽(tīng)完以上3人的判斷后,胡老師笑著說(shuō),你們3人中有1人說(shuō)的全對(duì),有1人說(shuō)對(duì)了一半,另1人說(shuō)的全不對(duì),由此可推測(cè)胡老師( ) A. 一定是南昌人 B. 一定是廣州人 C. 一定是福州人 D. 可能是上海人 【答案】D 【解析】若胡老師是南昌人,則甲對(duì)一半,乙全
12、對(duì),丙全對(duì);若胡老師是廣州人,則甲全不對(duì),乙全不對(duì); 若胡老師是福州人,則甲全對(duì),乙全錯(cuò),丙全錯(cuò);若胡老師是上海人,則甲全錯(cuò),乙對(duì)一半,丙全對(duì);故選擇D. 2.【xx廣西南寧摸底聯(lián)考】甲、乙、丙三人中,一人是工人,一人是農(nóng)民,一人是知識(shí)分子.已知:丙的年齡比知識(shí)分子大;甲的年齡和農(nóng)民不同;農(nóng)民的年齡比乙小.根據(jù)以上情況,下列判斷正確的是( ) A. 甲是工人,乙是知識(shí)分子,丙是農(nóng)民 B. 甲是知識(shí)分子,乙是農(nóng)民,丙是工人 C. 甲是知識(shí)分子,乙是工人,丙是農(nóng)民 D. 甲是農(nóng)民,乙是知識(shí)分子,丙是工人 【答案】C 3.用反證法證明命題:“,若可被整除,那么中至少有一
13、個(gè)能被整除.”時(shí),假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)該是 A. 都能被5整除 B. 都不能被5整除 C. 不都能被5整除 D. 能被5整除 【答案】B 【解析】由于反證法是命題的否定的一個(gè)運(yùn)用,故用反證法證明命題時(shí),可以設(shè)其否定成立進(jìn)行推證. 命題“,如果可被整除,那么至少有1個(gè)能被5整除.”的否定是“都不能被5整除”,故選B. 4.【xx河北邢臺(tái)市模擬】①已知,求證,用反證法證明時(shí),可假設(shè);②設(shè)為實(shí)數(shù), ,求證與中至少有一個(gè)不小于,用反證法證明時(shí)可假設(shè),且,以下說(shuō)法正確的是( ) A. ①與②的假設(shè)都錯(cuò)誤 B. ①與②的假設(shè)都正確 C. ①的假設(shè)正確,②的假設(shè)錯(cuò)誤 D.
14、 ①的假設(shè)錯(cuò)誤,②的假設(shè)正確 【答案】C 【解析】根據(jù)反證法的格式知,①正確;②錯(cuò)誤,②應(yīng)該是與都小于,故選C. 5.設(shè)大于0,則3個(gè)數(shù)的值 A. 至多有一個(gè)不大于 1 B. 都大于1 C. 至少有一個(gè)不大于1 D. 都小于1 【答案】C 6. 已知二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),若,且時(shí),. (1)證明:是的一個(gè)根; (2)試比較與的大??; (3)證明:. 【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2);(3)證明見(jiàn)解析. 【解析】 試題分析:(1)由的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),∴有兩個(gè)不等實(shí)根,得出是的根,在根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,即可證明是的一個(gè)根;(2)利用
15、反證法,假設(shè)假設(shè),又,得出,得出矛盾,即可得出;(3)由,得, (3)證明:由,得,∴, 又,∴. 二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為, 即,又,∴,∴. 考點(diǎn):二次函數(shù)的性質(zhì)及不等式關(guān)系的判定. 7.【xx吉林乾安第七中學(xué)模擬】(1)用分析法證明:當(dāng), 時(shí), ; (2)證明:對(duì)任意, , , 這個(gè)值至少有一個(gè)不小于. 【解析】(1)要證不等式成立,只需證成立, 即證: 成立, 即證: 成立, 即證: 成立, 因?yàn)樗裕栽坏仁匠闪? (2)假設(shè)這3個(gè)值沒(méi)有一個(gè)不小于0, 即 則,(*) 而. 這與(*)矛盾,所以假設(shè)不成立,即原命題成立. 8.設(shè), ,且.證明: 與不可能同時(shí)成立. 9. 已知是互不相等的實(shí)數(shù),求證: 由確定的三條拋物線(xiàn)至少有一條與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn). 【解析】假設(shè)三條拋物線(xiàn)都與軸有一個(gè)交點(diǎn)或無(wú)交點(diǎn) 則,將上述三個(gè)式子相加得 配方得, 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,又不全相等 ,這與矛盾 假設(shè)不成立,三條拋物線(xiàn)至少有一條與有兩個(gè)不同的交點(diǎn) .
- 溫馨提示:
1: 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
2: 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶(hù)所有。
3.本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
5. 裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶(hù)上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶(hù)上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶(hù)因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 110中國(guó)人民警察節(jié)(筑牢忠誠(chéng)警魂感受別樣警彩)
- 2025正字當(dāng)頭廉字入心爭(zhēng)當(dāng)公安隊(duì)伍鐵軍
- XX國(guó)企干部警示教育片觀(guān)后感筑牢信仰之基堅(jiān)守廉潔底線(xiàn)
- 2025做擔(dān)當(dāng)時(shí)代大任的中國(guó)青年P(guān)PT青年思想教育微黨課
- 2025新年工作部署會(huì)圍繞六個(gè)干字提要求
- XX地區(qū)中小學(xué)期末考試經(jīng)驗(yàn)總結(jié)(認(rèn)真復(fù)習(xí)輕松應(yīng)考)
- 支部書(shū)記上黨課筑牢清廉信念為高質(zhì)量發(fā)展?fàn)I造風(fēng)清氣正的環(huán)境
- 冬季消防安全知識(shí)培訓(xùn)冬季用電防火安全
- 2025加強(qiáng)政治引領(lǐng)(政治引領(lǐng)是現(xiàn)代政黨的重要功能)
- 主播直播培訓(xùn)直播技巧與方法
- 2025六廉六進(jìn)持續(xù)涵養(yǎng)良好政治生態(tài)
- 員工職業(yè)生涯規(guī)劃方案制定個(gè)人職業(yè)生涯規(guī)劃
- 2024年XX地區(qū)黨建引領(lǐng)鄉(xiāng)村振興工作總結(jié)
- XX中小學(xué)期末考試經(jīng)驗(yàn)總結(jié)(認(rèn)真復(fù)習(xí)輕松應(yīng)考)
- 幼兒園期末家長(zhǎng)會(huì)長(zhǎng)長(zhǎng)的路慢慢地走