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1、2022年高考數(shù)學(xué) 專題52 反證法在證明題中的應(yīng)用黃金解題模板
【高考地位】
反證法是高中數(shù)學(xué)的一種重要的證明方法,在不等式和立體幾何的證明中經(jīng)常用到,在高考題中也經(jīng)常出現(xiàn)。它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種很重要的證題方法. 反證法證題的步驟大致分為三步:(1)反設(shè):作出與求證的結(jié)論相反的假設(shè);(2)歸謬:由反設(shè)出發(fā),導(dǎo)出矛盾結(jié)果;(3)作出結(jié)論:證明了反設(shè)不能成立,從而證明了所求證的結(jié)論成立.其中,導(dǎo)出矛盾是關(guān)鍵,通常有以下幾種途徑:與已知矛盾,與公理、定理矛盾,與假設(shè)矛盾,自相矛盾等.
【方法點(diǎn)評】
類型一 證明“至多”或“至少”問題
使用情景:證明“至多”或“至少”問題.
解題模板:第
2、一步 首先假設(shè)命題不成立;
第二步 然后根據(jù)已知或者規(guī)律推導(dǎo)出矛盾;
第三步 最后得出結(jié)論.
例1. 若{正整數(shù)},且。求證:或中至少有一個成立。
【答案】詳見解析.
【變式演練1】(1)已知中至少有一個小于2。
(2)已知,求證:.
類型二 證明“不可能”問題
使用情景:證明“不可能”問題.
解題模板:第一步 首先假設(shè)命題不成立;
第二步 然后根據(jù)已知或者規(guī)律推導(dǎo)出矛盾;
第三步 最后得出結(jié)論.
例2.給定實(shí)數(shù),且,設(shè)函數(shù),求證:經(jīng)過這個函數(shù)圖象上任意兩個不同的點(diǎn)的直線不平行于軸.
【答案】詳見解析.
【解析】
試題分析:要
3、證明經(jīng)過這個函數(shù)圖象上任意兩個不同的點(diǎn)的直線不平行于軸,可以考慮假設(shè)函數(shù)圖象上存在兩點(diǎn),使得直線平行于軸.然后得出矛盾。
證明:假設(shè)函數(shù)圖象上存在兩點(diǎn),使得直線平行于軸.設(shè)且.由,得,解得.與已知矛盾.故經(jīng)過這個函數(shù)圖象上任意兩個不同的點(diǎn)的直線不平行于x軸.
【點(diǎn)評】在證明不可能問題上,必須按“反設(shè)——?dú)w謬——結(jié)論”的步驟進(jìn)行,反證法的難點(diǎn)在于如何從假設(shè)中推出矛盾,從而說明假設(shè)不成立。本題從假設(shè)中推出的結(jié)論是與已知相矛盾。
【變式演練2】(Ⅰ)求證:當(dāng)時, ;
(Ⅱ)證明: 不可能是同一個等差數(shù)列中的三項(xiàng).
類型三 證明“存在性”或“唯一性”問題
使用情景:證明“存在性”
4、或“唯一性”問題.
解題模板:第一步 首先假設(shè)命題不成立;
第二步 然后根據(jù)已知或者規(guī)律推導(dǎo)出矛盾;
第三步 最后得出結(jié)論.
例3.求證:方程的解是唯一的.
【答案】詳見解析.
【解析】
試題分析:可以假設(shè)方程的解有兩個,然后得出矛盾。
證明:由對數(shù)的定義易得,是這個方程的一個解.假設(shè)這個方程的解不是唯一的,它還有解,則.,則,即.①由假設(shè),得,從而:當(dāng)時,有;②當(dāng)時,有.③
顯然,②,③與①都矛盾,這說明假設(shè)不成立.所以原方程的解是唯一的.
【點(diǎn)評】有關(guān)存在性與唯一性命題的證明問題,可考慮用反證法.“存在”就是“至少有一個”,其反面是“一個沒有”,“惟一”就
5、是“有且只有一個”,其反面是“至少有兩個”.有時問題的結(jié)論是以否定形式出現(xiàn)的否定性命題,也可考慮應(yīng)用反證法.
【變式演練3】用反證法證明數(shù)學(xué)命題時,首先應(yīng)該做出與命題結(jié)論相反的假設(shè).否定“自然數(shù)中恰有一個偶數(shù)”時正確的假設(shè)為()
A.自然數(shù)都是奇數(shù)
B.自然數(shù)都是偶數(shù)
C.自然數(shù)中至少有兩個偶數(shù)
D.自然數(shù)中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)
【答案】D
考點(diǎn):反證法.
【高考再現(xiàn)】
1. 【xx課標(biāo)II,理7】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績。老師說:你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績,給乙看丙的成績,給丁看甲的成績??春蠹讓Υ蠹艺f:我
6、還是不知道我的成績。根據(jù)以上信息,則( )
A.乙可以知道四人的成績 B.丁可以知道四人的成績
C.乙、丁可以知道對方的成績 D.乙、丁可以知道自己的成績
【答案】D
【解析】
試題分析:由甲的說法可知乙、丙一人優(yōu)秀一人良好,則甲、丁兩人一人優(yōu)秀一人良好,
乙看到丙的結(jié)果則知道自己的結(jié)果與丙的結(jié)果相反,
丁看到甲的結(jié)果則知道自己的結(jié)果與甲的結(jié)果相反,
即乙、丁可以知道自己的成績
故選D。
【考點(diǎn)】合情推理
【名師點(diǎn)睛】合情推理主要包括歸納推理和類比推理。數(shù)學(xué)研究中,在得到一個新結(jié)論前,
7、合情推理能幫助猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論,在證明一個數(shù)學(xué)結(jié)論之前,合情推理常常能為證明提供思路與方向。合情推理僅是“合乎情理”的推理,它得到的結(jié)論不一定正確。而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下)。
2. 【xx高考山東文數(shù)】觀察下列等式:
;
;
;
;
……
照此規(guī)律,_________.
【答案】
3. 【xx高考廣東,理8】若空間中個不同的點(diǎn)兩兩距離都相等,則正整數(shù)的取值( )
A.大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3
【答案】.
4.【xx山東.理4】
8、 用反證法證明命題“設(shè)為實(shí)數(shù),則方程至少有一個實(shí)根”時,要做的假設(shè)是( )
A. 方程沒有實(shí)根 B.方程至多有一個實(shí)根
C.方程至多有兩個實(shí)根 D.方程恰好有兩個實(shí)根
【答案】
【名師點(diǎn)睛】本題考查反證法.解答本題關(guān)鍵是理解反證法的含義,明確至少有一個的反面是一個也沒有.本題屬于基礎(chǔ)題,難度較小.
5. 【xx高考北京,理20】已知數(shù)列滿足:,,且.
記集合.
(Ⅰ)若,寫出集合的所有元素;
(Ⅱ)若集合存在一個元素是3的倍數(shù),證明:的所有元素都是3的倍數(shù);
(Ⅲ)求集合的元素個數(shù)的最大值.
【答案】(1),(2)證明見解析,(3)8
(Ⅲ)由于
9、中的元素都不超過36,由,易得,類似可得,其次中的元素個數(shù)最多除了前面兩個數(shù)外,都是4的倍數(shù),因?yàn)榈诙€數(shù)必定為偶數(shù),由的定義可知,第三個數(shù)及后面的數(shù)必定是4的倍數(shù),另外,M中的數(shù)除以9的余數(shù),由定義可知, 和除以9的余數(shù)一樣,
①若中有3的倍數(shù),由(2)知:所有的都是3的倍數(shù),所以都是3的倍數(shù),所以除以9的余數(shù)為為3,6,3,6,...... ,或6,3,6,3......,或0,0,0,...... ,而除以9余3且是4的倍數(shù)只有12,除以9余6且是4的倍數(shù)只有24,除以9余0且是4的倍數(shù)只有36,則M中的數(shù)從第三項(xiàng)起最多2項(xiàng),加上前面兩項(xiàng),最多4項(xiàng).
②中沒有3的倍數(shù),則都不是3的倍
10、數(shù),對于除以9的余數(shù)只能是1,4,7,2,5,8中的一個,從起,除以9的余數(shù)是1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,...... ,不斷的6項(xiàng)循環(huán)(可能從2,4,8,7或5開始),而除以9的余數(shù)是1,2,4,8,5且是4的倍數(shù)(不大于36),只有28,20,4,8,16,32,所以M中的項(xiàng)加上前兩項(xiàng)最多8項(xiàng),則時,,項(xiàng)數(shù)為8,所以集合的元素個數(shù)的最大值為8.
考點(diǎn)定位:1.分段函數(shù)形數(shù)列通項(xiàng)公式求值;2.歸納法證明;3.數(shù)列元素分析.
【名師點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的有關(guān)知識及歸納法證明方法,即考查了數(shù)列(分段形函數(shù))求值,又考查了歸納法證明和對數(shù)據(jù)的分析研究,考查了學(xué)生的分析問題能力和邏輯推
11、理能力,本題屬于拔高難題,特別是第二、三兩步難度較大,適合選拔優(yōu)秀學(xué)生.
【反饋練習(xí)】
1.【xx陜西名校五校聯(lián)考】某次夏令營中途休息期間,3位同學(xué)根據(jù)胡老師的口音對她是哪個地方的人進(jìn)行了判斷:
甲說胡老師不是上海人,是福州人;
乙說胡老師不是福州人,是南昌人;
丙說胡老師不是福州人,也不是廣州人.
聽完以上3人的判斷后,胡老師笑著說,你們3人中有1人說的全對,有1人說對了一半,另1人說的全不對,由此可推測胡老師( )
A. 一定是南昌人 B. 一定是廣州人 C. 一定是福州人 D. 可能是上海人
【答案】D
【解析】若胡老師是南昌人,則甲對一半,乙全
12、對,丙全對;若胡老師是廣州人,則甲全不對,乙全不對; 若胡老師是福州人,則甲全對,乙全錯,丙全錯;若胡老師是上海人,則甲全錯,乙對一半,丙全對;故選擇D.
2.【xx廣西南寧摸底聯(lián)考】甲、乙、丙三人中,一人是工人,一人是農(nóng)民,一人是知識分子.已知:丙的年齡比知識分子大;甲的年齡和農(nóng)民不同;農(nóng)民的年齡比乙小.根據(jù)以上情況,下列判斷正確的是( )
A. 甲是工人,乙是知識分子,丙是農(nóng)民 B. 甲是知識分子,乙是農(nóng)民,丙是工人
C. 甲是知識分子,乙是工人,丙是農(nóng)民 D. 甲是農(nóng)民,乙是知識分子,丙是工人
【答案】C
3.用反證法證明命題:“,若可被整除,那么中至少有一
13、個能被整除.”時,假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)該是
A. 都能被5整除 B. 都不能被5整除
C. 不都能被5整除 D. 能被5整除
【答案】B
【解析】由于反證法是命題的否定的一個運(yùn)用,故用反證法證明命題時,可以設(shè)其否定成立進(jìn)行推證.
命題“,如果可被整除,那么至少有1個能被5整除.”的否定是“都不能被5整除”,故選B.
4.【xx河北邢臺市模擬】①已知,求證,用反證法證明時,可假設(shè);②設(shè)為實(shí)數(shù), ,求證與中至少有一個不小于,用反證法證明時可假設(shè),且,以下說法正確的是( )
A. ①與②的假設(shè)都錯誤 B. ①與②的假設(shè)都正確
C. ①的假設(shè)正確,②的假設(shè)錯誤 D.
14、 ①的假設(shè)錯誤,②的假設(shè)正確
【答案】C
【解析】根據(jù)反證法的格式知,①正確;②錯誤,②應(yīng)該是與都小于,故選C.
5.設(shè)大于0,則3個數(shù)的值
A. 至多有一個不大于 1 B. 都大于1
C. 至少有一個不大于1 D. 都小于1
【答案】C
6. 已知二次函數(shù)的圖象與軸有兩個不同的交點(diǎn),若,且時,.
(1)證明:是的一個根;
(2)試比較與的大??;
(3)證明:.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)證明見解析.
【解析】
試題分析:(1)由的圖象與軸有兩個不同的交點(diǎn),∴有兩個不等實(shí)根,得出是的根,在根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,即可證明是的一個根;(2)利用
15、反證法,假設(shè)假設(shè),又,得出,得出矛盾,即可得出;(3)由,得,
(3)證明:由,得,∴,
又,∴.
二次函數(shù)的圖象的對稱軸方程為,
即,又,∴,∴.
考點(diǎn):二次函數(shù)的性質(zhì)及不等式關(guān)系的判定.
7.【xx吉林乾安第七中學(xué)模擬】(1)用分析法證明:當(dāng), 時, ;
(2)證明:對任意, , , 這個值至少有一個不小于.
【解析】(1)要證不等式成立,只需證成立,
即證: 成立,
即證: 成立,
即證: 成立,
因?yàn)樗?,所以原不等式成?
(2)假設(shè)這3個值沒有一個不小于0,
即
則,(*)
而.
這與(*)矛盾,所以假設(shè)不成立,即原命題成立.
8.設(shè), ,且.證明: 與不可能同時成立.
9. 已知是互不相等的實(shí)數(shù),求證:
由確定的三條拋物線至少有一條與軸有兩個不同的交點(diǎn).
【解析】假設(shè)三條拋物線都與軸有一個交點(diǎn)或無交點(diǎn)
則,將上述三個式子相加得
配方得,
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,又不全相等
,這與矛盾
假設(shè)不成立,三條拋物線至少有一條與有兩個不同的交點(diǎn) .