陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 判定等差數(shù)列的方法拓展資料素材 北師大版必修5(通用)

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1、判定等差數(shù)列的方法   本文介紹判定等差數(shù)列的方法,目的在于深刻理解等差數(shù)列的定義,靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí),為解有關(guān)數(shù)列的綜合題奠定基礎(chǔ).那么怎樣判定等差數(shù)列呢?   一、定義法   如果一個(gè)數(shù)列{an}滿足an+1-an=常數(shù),則這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列.據(jù)此定義,要證數(shù)列是等差數(shù)列,只需證明an+1-an=常數(shù),這種方法叫做定義法.   例1 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,而數(shù)列{bk}的通項(xiàng)公式為      證明 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則有            二、通項(xiàng)公式法   大家知道,等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d.反之如果數(shù)列{an}的通

2、項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d,則數(shù)列{an}是等差數(shù)列.這樣,數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是an=a1+(n-1)d.因此通項(xiàng)公式也是判定等差數(shù)列的好方法.      求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.   證明 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比是q,由an>0知q>0,于是            三、等差中項(xiàng)法   三數(shù)a,A,b成等差數(shù)列,即2A=a+b,A叫a,b等差中項(xiàng).反之,若2A=a+b,則a,A,b成差數(shù)列.因此,我們常用后一結(jié)論來(lái)判定等差數(shù)列.   例3 已知x,y,z成等差數(shù)列,求證x2(y+z),y2(x+z),z2(x+y)也成等差數(shù)列.   證明 ∵

3、x2(y+z)+z2(x+y)  ?。絰2y+x2z+z2x+z2y  ?。絰2y+z2y+xz(x+z)   =x2y+z2y+2yxz(∵2y=x+z)  ?。統(tǒng)(x2+z2+2xz)=4y3.   而2y2(x+z)=2y2·(2y)=4y3,   ∴x2(y+z)+y2(x+y)=2y2(z+x).   故x2(y+x)、y2(z+x)、z2(x+y)也成等差數(shù)列.   有些數(shù)列題需要根據(jù)上面的方法證明所給數(shù)列是等差數(shù)列后,再求解.至于證明時(shí)選用哪個(gè)方法,應(yīng)因題而異.         解 因?yàn)閿?shù)列的第k項(xiàng)         大,必須前k項(xiàng)非負(fù),而從第k+1項(xiàng)起以后各項(xiàng)都是負(fù)數(shù),因此k適合下列條件:   由①得k≤14.2,由②得k>13.2,   所以,13.2<k≤14.2.   由于k為自然數(shù),故k=14,即該數(shù)列前14項(xiàng)的和最大.   

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