陜西省吳堡縣吳堡中學高中數(shù)學 第一章 判定等差數(shù)列的方法拓展資料素材 北師大版必修5（通用）

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1、判定等差數(shù)列的方法 　　本文介紹判定等差數(shù)列的方法，目的在于深刻理解等差數(shù)列的定義，靈活運用有關知識，為解有關數(shù)列的綜合題奠定基礎．那么怎樣判定等差數(shù)列呢？ 　　一、定義法 　　如果一個數(shù)列{an}滿足an+1－an＝常數(shù)，則這個數(shù)列叫做等差數(shù)列．據(jù)此定義，要證數(shù)列是等差數(shù)列，只需證明an+1－an＝常數(shù)，這種方法叫做定義法． 　　例1 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，而數(shù)列{bk}的通項公式為 　　 　　證明 設數(shù)列{an}的公差為d，則有 　　 　　 　　 　　二、通項公式法 　　大家知道，等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝a1＋(n－1)d．反之如果數(shù)列{an}的通

2、項公式為an＝a1＋(n－1)d，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列．這樣，數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是an＝a1＋(n－1)d．因此通項公式也是判定等差數(shù)列的好方法． 　　 　　求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列． 　　證明 設等比數(shù)列{an}的公比是q，由an＞0知q＞0，于是 　　 　　 　　 　　三、等差中項法 　　三數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，即2A＝a＋b，A叫a，b等差中項．反之，若2A＝a＋b，則a，A，b成差數(shù)列．因此，我們常用后一結論來判定等差數(shù)列． 　　例3 已知x，y，z成等差數(shù)列，求證x2(y＋z)，y2(x＋z)，z2(x＋y)也成等差數(shù)列． 　　證明 ∵

3、x2(y＋z)＋z2(x＋y) 　　＝x2y＋x2z＋z2x＋z2y 　?。絰2y＋z2y＋xz(x＋z) 　?。絰2y＋z2y＋2yxz(∵2y＝x＋z) 　　＝y(tǒng)(x2＋z2＋2xz)＝4y3． 　　而2y2(x＋z)＝2y2·(2y)＝4y3， 　　∴x2(y＋z)＋y2(x＋y)＝2y2(z＋x)． 　　故x2(y＋x)、y2(z＋x)、z2(x＋y)也成等差數(shù)列． 　　有些數(shù)列題需要根據(jù)上面的方法證明所給數(shù)列是等差數(shù)列后，再求解．至于證明時選用哪個方法，應因題而異． 　　 　　 　　解 因為數(shù)列的第k項 　　 　　 　　大，必須前k項非負，而從第k＋1項起以后各項都是負數(shù)，因此k適合下列條件： 　　由①得k≤14.2，由②得k＞13.2， 　　所以，13.2＜k≤14.2． 　　由于k為自然數(shù)，故k＝14，即該數(shù)列前14項的和最大．