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1、常見(jiàn)的新定義數(shù)列問(wèn)題
近年高考中，常常出現(xiàn)新定義數(shù)列的考題．題目常常給出一種新數(shù)列的定義，通過(guò)閱讀與理解題意，完成相關(guān)的問(wèn)題．這是一類創(chuàng)新題型，需要對(duì)已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)列知識(shí)理解徹透，并學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用這些知識(shí)去解決相關(guān)問(wèn)題．
一、等和數(shù)列
【例1】 （2020·北京）定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．
已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為，那么的值為 ，且這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和的值為 ．
【分析】 先對(duì)等和數(shù)列進(jìn)行一般性的探討．設(shè)是等和數(shù)列，公和為，則由等和數(shù)列的定義知，數(shù)列
2、的各項(xiàng)依次為即
為奇數(shù)；
為偶數(shù)．
為奇數(shù)；
為偶數(shù)．
【解析】 因?yàn)?，公和為，所以，?
二、等積數(shù)列
【例2】 （2020·保定市高考模擬）在一個(gè)數(shù)列中，若每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的積都為同一個(gè)常數(shù)（有限數(shù)列的最后一項(xiàng)除外），則稱該數(shù)列為等積數(shù)列，其中的常數(shù)稱為公積．若數(shù)列是等積數(shù)列，且，公積為，則（ ）
A． B． C． D．
【分析】 先對(duì)等積數(shù)列進(jìn)行一般性的探討．
設(shè)是等積數(shù)列，公積為，則由等積數(shù)列的定義知，數(shù)列的各項(xiàng)依次為
為奇數(shù)；
為偶數(shù)．
即
【解析】 由可得：，又因?yàn)?，公積為，所以，，故選C．
三、等方比數(shù)列
【例3】 （
3、2020·湖北）若數(shù)列滿足，（為正常數(shù)，），則稱為“等方比數(shù)列”．
甲：數(shù)列是等方比數(shù)列；乙：數(shù)列是等比數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【解析】 由等比數(shù)列的定義數(shù)列，若乙：是等比數(shù)列，公比為，即，則甲命題成立；反之，若甲：數(shù)列是等方比數(shù)列，即，即數(shù)列公比不一定為，則命題乙不成立，故選B．
四、絕對(duì)差數(shù)列
【例4】 （2020·北京）在數(shù)列中，若是正整數(shù)，且，，則稱為“絕對(duì)差數(shù)列”．
⑴舉出一個(gè)前五項(xiàng)不為零的“絕對(duì)差數(shù)列”（只要求寫出前項(xiàng)）；
⑵若
4、“絕對(duì)差數(shù)列”中，，數(shù)列滿足，，分別判斷當(dāng)時(shí)，與的極限是否存在，如果存在，求出其極限值；
⑶證明任何“絕對(duì)差數(shù)列”中總含有無(wú)窮多個(gè)為零的項(xiàng)．
【分析】 關(guān)鍵是讀懂題目中“絕對(duì)差數(shù)列”的含義．
【解析】 ⑴，，，，，，，，，．（答案不唯一）；
⑵在“絕對(duì)差數(shù)列”中，因?yàn)?，，所以自第?xiàng)開始，，，，，，…，即每個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值，，，所以當(dāng)時(shí)，的極限不存在，而當(dāng)時(shí)，，所以．
⑶證明 根據(jù)定義，數(shù)列必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)零項(xiàng)．證明如下：
假設(shè)中沒(méi)有零項(xiàng)，由于，所以對(duì)任意的，都有，從而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即的值要么比至少小，要么比至少??；令則
由于是確定的正整數(shù)，這樣減少下去，必然存在，這與矛盾．
5、
所以必有零項(xiàng)．
若第一次出現(xiàn)的零項(xiàng)為第項(xiàng)，記，則自第項(xiàng)開始，第三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值，，，即，，，．
所以“絕對(duì)差數(shù)列”中總含有無(wú)窮多個(gè)為零的項(xiàng)．
五、對(duì)稱數(shù)列
【例5】 （2020·上海）若有窮數(shù)列，，（是正整數(shù)），滿足，，…，，即（是正整數(shù)，且），就稱該數(shù)列為“對(duì)稱數(shù)列”．
⑴已知數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為的對(duì)稱數(shù)列，且成等差數(shù)列，，試寫出的每一項(xiàng)；
⑵已知是項(xiàng)數(shù)為的對(duì)稱數(shù)列，且構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則當(dāng)為何值時(shí)，取到最大值？最大值為多少？
⑶對(duì)于給定的正整數(shù)，試寫出所有項(xiàng)數(shù)不超過(guò)的對(duì)稱數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，試求其中一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解析】
6、⑴設(shè)的公差為，則，解得，
所以數(shù)列為．
⑵
，
，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．
的最大值為．
⑶所有可能的“對(duì)稱數(shù)列”是：
①；
②；
③；
④．
對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，
．
對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，．
對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，．
對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，．
六、一階差分?jǐn)?shù)列
【例6】 （2020·青島質(zhì)檢）對(duì)于數(shù)列，定義為數(shù)列的“一階差分?jǐn)?shù)列”，其中．
⑴若數(shù)列的通項(xiàng)公式，求的通項(xiàng)公式；
⑵若數(shù)列的首項(xiàng)是，且，
①證明數(shù)列為等差數(shù)列；
②求的前項(xiàng)和．
【解析】 ⑴依題意，所以．
⑵①因?yàn)?，所以，即?
所以，又因?yàn)椋?
所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；
②由①得：．
所以．
所以．
錯(cuò)位相減得：．
七、周期數(shù)列
【例7】 在數(shù)列中，如果存在非零常數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)均成立，那么就稱為“周期數(shù)列”，其中叫做數(shù)列的周期．已知數(shù)列滿足，如果，，當(dāng)數(shù)列周期為時(shí)，則該數(shù)列的前項(xiàng)的和為（ ）
A． B． C． D．
【解析】 由題知，，，
所以或，
因?yàn)?，，所以，即得：，即?shù)列自第項(xiàng)開始，每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值，，．
而，
所以，選D．
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