陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 常見的新定義數(shù)列問題拓展資料素材 北師大版必修5（通用）

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1、常見的新定義數(shù)列問題 近年高考中，常常出現(xiàn)新定義數(shù)列的考題．題目常常給出一種新數(shù)列的定義，通過閱讀與理解題意，完成相關(guān)的問題．這是一類創(chuàng)新題型，需要對已經(jīng)學(xué)過的數(shù)列知識理解徹透，并學(xué)會靈活運用這些知識去解決相關(guān)問題． 一、等和數(shù)列 【例1】 （2020·北京）定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和． 已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為，那么的值為 ，且這個數(shù)列的前項和的值為 ． 【分析】 先對等和數(shù)列進(jìn)行一般性的探討．設(shè)是等和數(shù)列，公和為，則由等和數(shù)列的定義知，數(shù)列

2、的各項依次為即 為奇數(shù)； 為偶數(shù)． 為奇數(shù)； 為偶數(shù)． 【解析】 因為，公和為，所以，． 二、等積數(shù)列 【例2】 （2020·保定市高考模擬）在一個數(shù)列中，若每一項與它的后一項的積都為同一個常數(shù)（有限數(shù)列的最后一項除外），則稱該數(shù)列為等積數(shù)列，其中的常數(shù)稱為公積．若數(shù)列是等積數(shù)列，且，公積為，則（ ） A． B． C． D． 【分析】 先對等積數(shù)列進(jìn)行一般性的探討． 設(shè)是等積數(shù)列，公積為，則由等積數(shù)列的定義知，數(shù)列的各項依次為 為奇數(shù)； 為偶數(shù)． 即 【解析】 由可得：，又因為，公積為，所以，，故選C． 三、等方比數(shù)列 【例3】 （

3、2020·湖北）若數(shù)列滿足，（為正常數(shù)，），則稱為“等方比數(shù)列”． 甲：數(shù)列是等方比數(shù)列；乙：數(shù)列是等比數(shù)列，則（ ） A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件 【解析】 由等比數(shù)列的定義數(shù)列，若乙：是等比數(shù)列，公比為，即，則甲命題成立；反之，若甲：數(shù)列是等方比數(shù)列，即，即數(shù)列公比不一定為，則命題乙不成立，故選B． 四、絕對差數(shù)列 【例4】 （2020·北京）在數(shù)列中，若是正整數(shù)，且，，則稱為“絕對差數(shù)列”． ⑴舉出一個前五項不為零的“絕對差數(shù)列”（只要求寫出前項）； ⑵若

4、“絕對差數(shù)列”中，，數(shù)列滿足，，分別判斷當(dāng)時，與的極限是否存在，如果存在，求出其極限值； ⑶證明任何“絕對差數(shù)列”中總含有無窮多個為零的項． 【分析】 關(guān)鍵是讀懂題目中“絕對差數(shù)列”的含義． 【解析】 ⑴，，，，，，，，，．（答案不唯一）； ⑵在“絕對差數(shù)列”中，因為，，所以自第項開始，，，，，，…，即每個相鄰的項周期地取值，，，所以當(dāng)時，的極限不存在，而當(dāng)時，，所以． ⑶證明 根據(jù)定義，數(shù)列必在有限項后出現(xiàn)零項．證明如下： 假設(shè)中沒有零項，由于，所以對任意的，都有，從而當(dāng)時，，當(dāng)時，，即的值要么比至少小，要么比至少?。涣顒t 由于是確定的正整數(shù)，這樣減少下去，必然存在，這與矛盾．

5、 所以必有零項． 若第一次出現(xiàn)的零項為第項，記，則自第項開始，第三個相鄰的項周期地取值，，，即，，，． 所以“絕對差數(shù)列”中總含有無窮多個為零的項． 五、對稱數(shù)列 【例5】 （2020·上海）若有窮數(shù)列，，（是正整數(shù)），滿足，，…，，即（是正整數(shù)，且），就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”． ⑴已知數(shù)列是項數(shù)為的對稱數(shù)列，且成等差數(shù)列，，試寫出的每一項； ⑵已知是項數(shù)為的對稱數(shù)列，且構(gòu)成首項為，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為，則當(dāng)為何值時，取到最大值？最大值為多少？ ⑶對于給定的正整數(shù)，試寫出所有項數(shù)不超過的對稱數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項；當(dāng)時，試求其中一個數(shù)列的前項和． 【解析】

6、⑴設(shè)的公差為，則，解得， 所以數(shù)列為． ⑵ ， ， 所以當(dāng)時，取得最大值． 的最大值為． ⑶所有可能的“對稱數(shù)列”是： ①； ②； ③； ④． 對于①，當(dāng)時，． 當(dāng)時， ． 對于②，當(dāng)時，． 當(dāng)時，． 對于③，當(dāng)時，． 當(dāng)時，． 對于④，當(dāng)時，． 當(dāng)時，． 六、一階差分?jǐn)?shù)列 【例6】 （2020·青島質(zhì)檢）對于數(shù)列，定義為數(shù)列的“一階差分?jǐn)?shù)列”，其中． ⑴若數(shù)列的通項公式，求的通項公式； ⑵若數(shù)列的首項是，且， ①證明數(shù)列為等差數(shù)列； ②求的前項和． 【解析】 ⑴依題意，所以． ⑵①因為，所以，即， 所以，又因為， 所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列； ②由①得：． 所以． 所以． 錯位相減得：． 七、周期數(shù)列 【例7】 在數(shù)列中，如果存在非零常數(shù)，使得對任意正整數(shù)均成立，那么就稱為“周期數(shù)列”，其中叫做數(shù)列的周期．已知數(shù)列滿足，如果，，當(dāng)數(shù)列周期為時，則該數(shù)列的前項的和為（ ） A． B． C． D． 【解析】 由題知，，， 所以或， 因為，，所以，即得：，即數(shù)列自第項開始，每三個相鄰的項周期地取值，，． 而， 所以，選D．