陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 數(shù)列的概念知識總結(jié)及例題講解素材 北師大版必修5（通用）

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1、§1.1.1 數(shù)列的概念 本小節(jié)重點(diǎn)：了解數(shù)列概念、分類、通項(xiàng)公式；及通項(xiàng)公式的求法。 一、 基本概念 1. 數(shù)列的概念 按一定次序排列的一列數(shù)叫數(shù)列。 注：數(shù)列的另一定義：數(shù)列也可以看做是一個定義域?yàn)檎麛?shù)集，當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值。 數(shù)列中的每一個數(shù)按順序1，2，3，…，都有一個序號，叫作項(xiàng)數(shù)，每一個序號也對應(yīng)著一個數(shù)，這個數(shù)叫作數(shù)列中的項(xiàng)，例如第4個數(shù)，叫作第4項(xiàng)，第n個數(shù)，叫作第n項(xiàng)，記作; 數(shù)列的一般形式為，，，…，，…簡單記為，其中表示數(shù)列的通項(xiàng). 通項(xiàng)公式：如果一個數(shù)列的第n項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個公式表示時，我們稱這個公式

2、為這個數(shù)列的通項(xiàng)公式。 特別提示：a) 數(shù)列的通項(xiàng)公式不是唯一的，例如：-1，1，-1，1，…通項(xiàng)公式可表示為或; b) 不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，例如：3，3.1，3.14，3.141，3.1415，…就沒有通項(xiàng)公式. 遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開始的任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系式可以用一個公式來表示，則這個公式就叫作遞推公式。 2. 數(shù)列的表示方法 列表法，指列出表格來表示數(shù)列的第n項(xiàng)與序號n之間的關(guān)系. 圖像法，指在坐標(biāo)平面中用點(diǎn)表示. 解析法，指用一數(shù)學(xué)式子表示來。例如：常用的通項(xiàng)公式. 3. 數(shù)列的分

3、類 按數(shù)列中項(xiàng)數(shù)的多少來分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列. 按數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)間的大小關(guān)系來分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動數(shù)列. 按照任何一項(xiàng)的絕對值是否都大于某一正數(shù)來分：有界數(shù)列和無界數(shù)列. 二、 例題講解 例1. 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一個通項(xiàng)公式： (1) ，，，，… (2) 1,3,6,10,15,… (3) ,,,,… (4) 6,66,666,… (5),,,,… (6) ,,,,,,…或 特別提示：在此種題型當(dāng)中一些常用的數(shù)列為： 1) 1，0，1，0，…; 2)-1,1,-1,1,…; 3)1

4、,11,111,1111,… 例2. 已知數(shù)列, (1) 求數(shù)列的第10項(xiàng) (2) 是否為該數(shù)列的項(xiàng)，為什么？ (3) 求證：數(shù)列中各項(xiàng)都在區(qū)間內(nèi)； (4) 在區(qū)間內(nèi)有無數(shù)列中的項(xiàng)？ 例3. 利用遞推公式寫出下列各題通項(xiàng)公式 (1)(可用兩種方法) (2)已知數(shù)列 滿足求 (3)(插項(xiàng)法和疊加法組合) (4)在數(shù)列中,已知, (5)設(shè)是首項(xiàng)為1的正數(shù)數(shù)列，且,求它的通項(xiàng)公式.（累乘法） (6)已知數(shù)列中，，數(shù)列中，,當(dāng)時，,求 例4. 求下列數(shù)列中某一項(xiàng) (1) 已知數(shù)列滿足,求 (2) 已知數(shù)列對任意,有,若，求 (3) 在數(shù)列中，,求 (4) 已

5、知數(shù)列滿足,求 例5. 利用數(shù)列的單調(diào)性解答 (1)若數(shù)列的通項(xiàng)公式,數(shù)列的最大項(xiàng)為第x項(xiàng)，最小項(xiàng)為第y項(xiàng)，則x+y= (2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為,若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)k的取值范圍. (3)設(shè),又知數(shù)列的通項(xiàng)滿足, 1)試求數(shù)列的通項(xiàng)公式; 2)判斷數(shù)列的增減性. (4)設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿足,如果,則= 例6. 和之間的關(guān)系 注：數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的相互關(guān)系是：; (1) 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和,求數(shù)列的通項(xiàng)公式. (2) 已知求 (3) 已知,又?jǐn)?shù)列中，，這個數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，對所有大于1的自然數(shù)n都有. 1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 2) 若, 求的值 特別提示：請同學(xué)自行歸納出求通項(xiàng)公式的基本方法.