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1、§1.1.1 數(shù)列的概念
本小節(jié)重點(diǎn)：了解數(shù)列概念、分類(lèi)、通項(xiàng)公式；及通項(xiàng)公式的求法。
一、 基本概念
1. 數(shù)列的概念
按一定次序排列的一列數(shù)叫數(shù)列。
注：數(shù)列的另一定義：數(shù)列也可以看做是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值。
數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)按順序1，2，3，…，都有一個(gè)序號(hào)，叫作項(xiàng)數(shù)，每一個(gè)序號(hào)也對(duì)應(yīng)著一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)叫作數(shù)列中的項(xiàng)，例如第4個(gè)數(shù)，叫作第4項(xiàng)，第n個(gè)數(shù)，叫作第n項(xiàng)，記作;
數(shù)列的一般形式為，，，…，，…簡(jiǎn)單記為，其中表示數(shù)列的通項(xiàng).
通項(xiàng)公式：如果一個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式表示時(shí)，我們稱(chēng)這個(gè)公式
2、為這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。
特別提示：a) 數(shù)列的通項(xiàng)公式不是唯一的，例如：-1，1，-1，1，…通項(xiàng)公式可表示為或;
b) 不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，例如：3，3.1，3.14，3.141，3.1415，…就沒(méi)有通項(xiàng)公式.
遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開(kāi)始的任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系式可以用一個(gè)公式來(lái)表示，則這個(gè)公式就叫作遞推公式。
2. 數(shù)列的表示方法
列表法，指列出表格來(lái)表示數(shù)列的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系.
圖像法，指在坐標(biāo)平面中用點(diǎn)表示.
解析法，指用一數(shù)學(xué)式子表示來(lái)。例如：常用的通項(xiàng)公式.
3. 數(shù)列的分
3、類(lèi)
按數(shù)列中項(xiàng)數(shù)的多少來(lái)分：有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列.
按數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)間的大小關(guān)系來(lái)分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列.
按照任何一項(xiàng)的絕對(duì)值是否都大于某一正數(shù)來(lái)分：有界數(shù)列和無(wú)界數(shù)列.
二、 例題講解
例1. 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫(xiě)出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：
(1) ，，，，… (2) 1,3,6,10,15,…
(3) ,,,,… (4) 6,66,666,…
(5),,,,…
(6) ,,,,,,…或
特別提示：在此種題型當(dāng)中一些常用的數(shù)列為：
1) 1，0，1，0，…; 2)-1,1,-1,1,…; 3)1
4、,11,111,1111,…
例2. 已知數(shù)列,
(1) 求數(shù)列的第10項(xiàng)
(2) 是否為該數(shù)列的項(xiàng)，為什么？
(3) 求證：數(shù)列中各項(xiàng)都在區(qū)間內(nèi)；
(4) 在區(qū)間內(nèi)有無(wú)數(shù)列中的項(xiàng)？
例3. 利用遞推公式寫(xiě)出下列各題通項(xiàng)公式
(1)(可用兩種方法)
(2)已知數(shù)列 滿(mǎn)足求
(3)(插項(xiàng)法和疊加法組合)
(4)在數(shù)列中,已知,
(5)設(shè)是首項(xiàng)為1的正數(shù)數(shù)列，且,求它的通項(xiàng)公式.（累乘法）
(6)已知數(shù)列中，，數(shù)列中，,當(dāng)時(shí)，,求
例4. 求下列數(shù)列中某一項(xiàng)
(1) 已知數(shù)列滿(mǎn)足,求
(2) 已知數(shù)列對(duì)任意,有,若，求
(3) 在數(shù)列中，,求
(4) 已
5、知數(shù)列滿(mǎn)足,求
例5. 利用數(shù)列的單調(diào)性解答
(1)若數(shù)列的通項(xiàng)公式,數(shù)列的最大項(xiàng)為第x項(xiàng)，最小項(xiàng)為第y項(xiàng)，則x+y=
(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為,若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
(3)設(shè),又知數(shù)列的通項(xiàng)滿(mǎn)足,
1)試求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
2)判斷數(shù)列的增減性.
(4)設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿(mǎn)足,如果,則=
例6. 和之間的關(guān)系
注：數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的相互關(guān)系是：;
(1) 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2) 已知求
(3) 已知,又?jǐn)?shù)列中，，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，對(duì)所有大于1的自然數(shù)n都有.
1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
2) 若, 求的值
特別提示：請(qǐng)同學(xué)自行歸納出求通項(xiàng)公式的基本方法.
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