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1、一元二次不等式解法·典型例題
[ ]
例3 若ax2＋bx－1＜0的解集為{x|－1＜x＜2}，則a＝________，b＝________．
例4 解下列不等式
(1)(x－1)(3－x)＜5－2x
(2)x(x＋11)≥3(x＋1)2
(3)(2x＋1)(x－3)＞3(x2＋2)
[ ]
A．{x|x＞0} B．{x|x≥1}
C．{x|x＞1} D．{x|x＞1或x＝0}
[ ]
A．(x－3)(2－x)≥0 B．0＜x－2≤1
D．
2、(x－3)(2－x)≤0
[ ]
例9 已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}與B＝{x|x2－2ax＋a＋2
例10 解關(guān)于x的不等式(x－2)(ax－2)＞0．
例11 若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|α＜x＜β}(0＜α＜β)，求cx2＋bx＋a＜0的解集．
例13 不等式|x2－3x|＞4的解集是________．
例14 設(shè)全集U＝R，A＝{x|x2－5x－6＞0}，B＝{x||x－5|＜a}(a是常數(shù))，且11∈B，則[ ]
A．(UA)∩B＝R B．A∪(UB)＝R
C．(
3、UA)∪(UB)＝R D．A∪B＝R
參考答案
例1：
例2
分析 求算術(shù)根，被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)．
解 據(jù)題意有，x2－x－6≥0，即(x－3)(x＋2)≥0，解在“兩根之外”，所以x≥3或x≤－2．
例3：
分析 根據(jù)一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax2＋bx－1＝0的兩個根，考慮韋達(dá)定理．
解 根據(jù)題意，－1，2應(yīng)為方程ax2＋bx－1＝0的兩根，則由韋達(dá)定理知
例4：
分析 將不等式適當(dāng)化簡變?yōu)閍x2＋bx＋c＞0(＜0)形式，然后根據(jù)“解公式”給出答案(過程請同學(xué)們自己完成)．
答:(1){x|x＜2或x＞4}
4、
(4)R
(5)R
說明：不能使用解公式的時候要先變形成標(biāo)準(zhǔn)形式．
例5：
分析 直接去分母需要考慮分母的符號，所以通常是采用移項后通分．
∵x2＞0，∴x－1＞0，即x＞1．選C．
說明：本題也可以通過對分母的符號進(jìn)行討論求解．
例6：
故排除A、C、D，選B．
兩邊同減去2得0＜x－2≤1．選B．
說明：注意“零”．
例7：
[(a－1)x＋1](x－1)＜0，根據(jù)其解集為{x|x＜1或x＞2}
答 選C．
說明：注意本題中化“商”為“積”的技巧．
例8：
解 先將原不等式轉(zhuǎn)化為
∴不等式進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為同解不等式x2＋
5、2x－3＜0，
即(x＋3)(x－1)＜0，解之得－3＜x＜1．解集為{x|－3＜x＜1｝．
說明：解不等式就是逐步轉(zhuǎn)化，將陌生問題化歸為熟悉問題．
例9：
分析 先確定A集合，然后根據(jù)一元二次不等式和二次函數(shù)圖像關(guān)
解 易得A＝{x|1≤x≤4}
設(shè)y＝x2－2ax＋a＋2(*)
4a2－4(a＋2)＜0，解得－1＜a＜2．
說明：二次函數(shù)問題可以借助它的圖像求解．
例10：
分析 不等式的解及其結(jié)構(gòu)與a相關(guān)，所以必須分類討論．
解 1° 當(dāng)a＝0時，原不等式化為
x－2＜0其解集為{x|x＜2}；
4° 當(dāng)a＝1時，原不
6、等式化為(x－2)2＞0，其解集是{x|x≠2}；
從而可以寫出不等式的解集為：
a＝0時，{x|x＜2｝；
a＝1時，{x|x≠2}；
說明：討論時分類要合理，不添不漏．
例11：
分析 由一元二次函數(shù)、方程、不等式之間關(guān)系，一元二次不等式的解集實質(zhì)上是用根來構(gòu)造的，這就使“解集”通過“根”實現(xiàn)了與“系數(shù)”之間的聯(lián)系．考慮使用韋達(dá)定理：
解法一 由解集的特點可知a＜0，根據(jù)韋達(dá)定理知：
∵a＜0，∴b＞0，c＜0．
解法二 ∵cx2＋bx＋a＝0是ax2＋bx＋a＝0的倒數(shù)方程．
且ax2＋bx＋c＞0解為α＜x＜β，
7、
說明：要在一題多解中鍛煉自己的發(fā)散思維。
例12：
分析 將一邊化為零后，對參數(shù)進(jìn)行討論．
進(jìn)一步化為(ax＋1－a)(x－1)＜0．
(1)當(dāng)a＞0時，不等式化為
(2)a＝0時，不等式化為x－1＜0，即x＜1，所以不等式解集為{x|x＜1}；
綜上所述，原不等式解集為：
例13：
分析 可轉(zhuǎn)化為(1)x2－3x＞4或(2)x2－3x＜－4兩個一元二次不等式．
答 填{x|x＜－1或x＞4}．
例14：
分析 由x2－5x－6＞0得x＜－1或x＞6，即
A＝{x|x＜－1或x＞6}由|x－5|＜a得5－a＜x＜5＋a，即
B＝{x|5－a＜x＜5＋a}
∵11∈B，∴|11－5|＜a得a＞6
∴5－a＜－1，5＋a＞11 ∴A∪B＝R．
答 選D．
說明：本題是一個綜合題，涉及內(nèi)容很廣泛，集合、絕對值不等式、一元二次不等式等內(nèi)容都得到了考查
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