《陜西省吳堡縣吳堡中學高中數(shù)學 第三章 一元二次不等式解法典型例題素材 北師大版必修5(通用)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《陜西省吳堡縣吳堡中學高中數(shù)學 第三章 一元二次不等式解法典型例題素材 北師大版必修5(通用)(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、一元二次不等式解法·典型例題
[ ]
例3 若ax2+bx-1<0的解集為{x|-1<x<2},則a=________,b=________.
例4 解下列不等式
(1)(x-1)(3-x)<5-2x
(2)x(x+11)≥3(x+1)2
(3)(2x+1)(x-3)>3(x2+2)
[ ]
A.{x|x>0} B.{x|x≥1}
C.{x|x>1} D.{x|x>1或x=0}
[ ]
A.(x-3)(2-x)≥0 B.0<x-2≤1
D.
2、(x-3)(2-x)≤0
[ ]
例9 已知集合A={x|x2-5x+4≤0}與B={x|x2-2ax+a+2
例10 解關于x的不等式(x-2)(ax-2)>0.
例11 若不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|α<x<β}(0<α<β),求cx2+bx+a<0的解集.
例13 不等式|x2-3x|>4的解集是________.
例14 設全集U=R,A={x|x2-5x-6>0},B={x||x-5|<a}(a是常數(shù)),且11∈B,則[ ]
A.(UA)∩B=R B.A∪(UB)=R
C.(
3、UA)∪(UB)=R D.A∪B=R
參考答案
例1:
例2
分析 求算術根,被開方數(shù)必須是非負數(shù).
解 據(jù)題意有,x2-x-6≥0,即(x-3)(x+2)≥0,解在“兩根之外”,所以x≥3或x≤-2.
例3:
分析 根據(jù)一元二次不等式的解公式可知,-1和2是方程ax2+bx-1=0的兩個根,考慮韋達定理.
解 根據(jù)題意,-1,2應為方程ax2+bx-1=0的兩根,則由韋達定理知
例4:
分析 將不等式適當化簡變?yōu)閍x2+bx+c>0(<0)形式,然后根據(jù)“解公式”給出答案(過程請同學們自己完成).
答:(1){x|x<2或x>4}
4、
(4)R
(5)R
說明:不能使用解公式的時候要先變形成標準形式.
例5:
分析 直接去分母需要考慮分母的符號,所以通常是采用移項后通分.
∵x2>0,∴x-1>0,即x>1.選C.
說明:本題也可以通過對分母的符號進行討論求解.
例6:
故排除A、C、D,選B.
兩邊同減去2得0<x-2≤1.選B.
說明:注意“零”.
例7:
[(a-1)x+1](x-1)<0,根據(jù)其解集為{x|x<1或x>2}
答 選C.
說明:注意本題中化“商”為“積”的技巧.
例8:
解 先將原不等式轉(zhuǎn)化為
∴不等式進一步轉(zhuǎn)化為同解不等式x2+
5、2x-3<0,
即(x+3)(x-1)<0,解之得-3<x<1.解集為{x|-3<x<1}.
說明:解不等式就是逐步轉(zhuǎn)化,將陌生問題化歸為熟悉問題.
例9:
分析 先確定A集合,然后根據(jù)一元二次不等式和二次函數(shù)圖像關
解 易得A={x|1≤x≤4}
設y=x2-2ax+a+2(*)
4a2-4(a+2)<0,解得-1<a<2.
說明:二次函數(shù)問題可以借助它的圖像求解.
例10:
分析 不等式的解及其結構與a相關,所以必須分類討論.
解 1° 當a=0時,原不等式化為
x-2<0其解集為{x|x<2};
4° 當a=1時,原不
6、等式化為(x-2)2>0,其解集是{x|x≠2};
從而可以寫出不等式的解集為:
a=0時,{x|x<2};
a=1時,{x|x≠2};
說明:討論時分類要合理,不添不漏.
例11:
分析 由一元二次函數(shù)、方程、不等式之間關系,一元二次不等式的解集實質(zhì)上是用根來構造的,這就使“解集”通過“根”實現(xiàn)了與“系數(shù)”之間的聯(lián)系.考慮使用韋達定理:
解法一 由解集的特點可知a<0,根據(jù)韋達定理知:
∵a<0,∴b>0,c<0.
解法二 ∵cx2+bx+a=0是ax2+bx+a=0的倒數(shù)方程.
且ax2+bx+c>0解為α<x<β,
7、
說明:要在一題多解中鍛煉自己的發(fā)散思維。
例12:
分析 將一邊化為零后,對參數(shù)進行討論.
進一步化為(ax+1-a)(x-1)<0.
(1)當a>0時,不等式化為
(2)a=0時,不等式化為x-1<0,即x<1,所以不等式解集為{x|x<1};
綜上所述,原不等式解集為:
例13:
分析 可轉(zhuǎn)化為(1)x2-3x>4或(2)x2-3x<-4兩個一元二次不等式.
答 填{x|x<-1或x>4}.
例14:
分析 由x2-5x-6>0得x<-1或x>6,即
A={x|x<-1或x>6}由|x-5|<a得5-a<x<5+a,即
B={x|5-a<x<5+a}
∵11∈B,∴|11-5|<a得a>6
∴5-a<-1,5+a>11 ∴A∪B=R.
答 選D.
說明:本題是一個綜合題,涉及內(nèi)容很廣泛,集合、絕對值不等式、一元二次不等式等內(nèi)容都得到了考查