陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 聚焦高考數(shù)列2訓(xùn)練試題 北師大版必修5（通用）

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1、陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 聚焦高考數(shù)列2訓(xùn)練試題 北師大版必修5 一、選擇題： 1. （福建題3） 設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若，，則數(shù)列前項的和為（ ） A． B． C． D． 【解析】 C易知． 2. （福建題3） 設(shè)是等差數(shù)列，若，，則數(shù)列前項的和為（ ） A． B． C． D． 【解析】 C前項和為． 3. （廣東題2） 記等差數(shù)列的前項和為，若，，則（ ） A． B． C． D． 【解析】 D，∴，故 4. （廣東題4） 記等差數(shù)列的前項和為，若，則該數(shù)列的公差（ ） A．

2、 B． C． D． 【解析】 B． 5. （天津題4） 若等差數(shù)列的前5項和，且，則（ ） A． B． C． D． 【解析】 B；，故公差，從而 6. （浙江題6） 已知是等比數(shù)列，，則（ ） A． B． C． D． 【解析】 C；由條件先求得，，知，取，便知選項C符合； 或判斷出所求是以為首項，為公比的等比數(shù)列的前項和，故 7. （全國Ⅰ題5） 已知等差數(shù)列滿足，，則它的前10項的和（ ） A．138 B． C．95 D．23 【解析】 C；由． 8. （全國Ⅰ題7）

3、 已知等比數(shù)列滿足，則（ ） A． B． C． D． 【解析】 A；，于是，． 9. （北京題6） 已知數(shù)列對任意的滿足，且，那么等于（ ） A． B． C． D． 【解析】 C 方法一：令，則，，∴； 方法二：． 二、填空題： 1. （四川延題14） 設(shè)等差數(shù)列的前項為，且．若，則_____________． 【解析】 ；，于是． 2. （江蘇題10） 將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ． ． ． ． ． ． ． 按照以上排列的規(guī)律，數(shù)陣中第行從左至右的

4、第個數(shù)為 ． 【解析】 ； 思路一：將各行第一個數(shù)依次取出，組成數(shù)列：1，2，4，7，…， 則，，，…，， 將這個等式左右兩邊分別相加，得， 則，所以所求的數(shù)為． 思路二：將數(shù)陣前行所有的數(shù)依次排列得1，2，3，…，， 所以第行最后一個數(shù)為，那么第行的第3個數(shù)為． 3. （安徽題15） 在數(shù)列中，，，，其中為常數(shù)，則 ． 【解析】 ，， 故． 4. （四川題16） 設(shè)數(shù)列中，，，則通項 ． 【解析】 ；由已知． 5. （重慶題14） 設(shè)是等差數(shù)列的前項和，，，則 ． 【解析】 ；，． 三、解答題

5、： 1．（全國一19） 12分 在數(shù)列中，，． ⑴設(shè)．證明：數(shù)列是等差數(shù)列； ⑵求數(shù)列的前項和． 【解析】⑴， ， ， 則為等差數(shù)列，， ，． ⑵ 兩式相減，得 2．（全國二題18） 12分 等差數(shù)列中，且成等比數(shù)列，求數(shù)列前20項的和． 【解析】設(shè)數(shù)列的公差為，則 ， ， ． 3分 由成等比數(shù)列得， 即， 整理得， 解得或． 7分 當(dāng)時，． 9分 當(dāng)時，， 于是． 12分 3． （廣東題21） 12分 設(shè)為實數(shù)，是方程的兩個實根，數(shù)列滿足，，（…）． ⑴證明：，； ⑵數(shù)列的通項公式； ⑶若，，求的前項和． 【解析】 ⑴

6、由求根公式，不妨設(shè)，得 ∴， ⑵設(shè)，則， 由得， 消去，得，∴是方程的根，由題意可知，， ①當(dāng)時，此時方程組的解記為或 ∴，， 即、分別是公比為、的等比數(shù)列， 由等比數(shù)列性質(zhì)可得，， 兩式相減，得 ∵，，∴， ∴， ∴，即∴，∴ ②當(dāng)時，即方程有重根，∴， 即，得，，不妨設(shè)，由①可知 ，∵，∴ 即∴，等式兩邊同時除以，得，即 ∴數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列， ∴，∴ 綜上所述， ⑶把，代入，得，解得 ∴ 4． （山東題19） 12分 將數(shù)列中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表： ……

7、 記表中的第一列數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，．為數(shù)列的前項和，且滿足． ⑴證明數(shù)列成等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式； ⑵上表中，若從第三行起，第一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個正數(shù)．當(dāng)時，求上表中第行所有項的和． 【解析】 ⑴由已知，當(dāng)時，， 又，所以，即， 所以， 又．所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列． 由上可知，即． 所以當(dāng)時，． 因此； ⑵設(shè)上表中從第三行起，每行的公比都為，且． 因為， 所以表中第行至第行共含有數(shù)列的前項，故在表中第行第三列， 因此．又，所以． 記表中第行所有項的和為， 則． 5． （湖南題18） 12分 數(shù)列滿足，，，

8、． ⑴求，，并求數(shù)列的通項公式； ⑵設(shè)，．證明：當(dāng)時，． 【解析】 ⑴因為，，所以， ． 一般地，當(dāng)時，， 即． 所以數(shù)列是首項為、公差為的等差數(shù)列，因此． 當(dāng)時，． 所以數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列，因此， 故數(shù)列的通項公式為； ⑵由⑴知，， ① ② ①②得，， 所以． 要證明當(dāng)時，成立，只需證明當(dāng)時，成立． 令，則， 所以當(dāng)時，．因此當(dāng)時，， 于是當(dāng)時，． 綜上所述，當(dāng)時，． 6． （江西題19） 12分 等差數(shù)列各項均為正整數(shù)，，其前項和為，等比數(shù)列中，，且，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列． ⑴求；⑵求證． 【解析】 ⑴設(shè)的公差為，的公比

9、為，則為正整數(shù)， ， 依題意有① 由知為正有理數(shù)，故為的因子之一， 解①得， 故； ⑵， ∴ ． 7． （陜西·題22） 14分 已知數(shù)列的首項，，． ⑴求的通項公式； ⑵證明：對任意的，，； ⑶證明：． 【解析】 ⑴采用“倒數(shù)“變換． ∵，∴，∴， 又，∴數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列． 于是，即． ⑵由⑴知， ， ∴原不等式成立． ⑶由⑵知，對任意的，有 ． ∴取， 則有． ∴原不等式成立． 8． （安徽題21） 13分 設(shè)數(shù)列滿足，其中為實數(shù)， ⑴證明：對任意成立的充分必要條件是； ⑵設(shè)，證明：； ⑶設(shè)，證明：．

10、 【解析】 ⑴必要性： ∵，∴． 又∵，∴，即； 充分性： 設(shè)，對用數(shù)學(xué)歸納法證明， 當(dāng)時，．假設(shè)， 則，且， ∴，由數(shù)學(xué)歸納法知對所有成立； ⑵設(shè)，當(dāng)時，，結(jié)論成立； 當(dāng)時， ∵，∴， ∵，由⑴知，所以，且． ∴， ∴， ∴． ⑶設(shè)，當(dāng)時，，結(jié)論成立； 當(dāng)時，由⑵知， ∴， ∴ ． 9． （遼寧題21） 12分 在數(shù)列，中，，，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列 ⑴求，，及，，，由此猜測，的通項公式，并證明你的結(jié)論； ⑵證明：． 【解析】 ⑴由條件得 由此可得． 猜測． 用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)時，由上可得結(jié)論成立． ②假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，即， 那么當(dāng)時， ． 所以當(dāng)時，結(jié)論也成立． 由①②，可知對一切正整數(shù)都成立． ⑵． 時，由⑴知． 故 綜上，原不等式成立．