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1、陜西省吳堡縣吳堡中學高中數(shù)學 第一章 聚焦高考數(shù)列2訓練試題 北師大版必修5
一、選擇題:
1. (福建題3)
設是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,若,,則數(shù)列前項的和為( )
A. B. C. D.
【解析】 C易知.
2. (福建題3)
設是等差數(shù)列,若,,則數(shù)列前項的和為( )
A. B. C. D.
【解析】 C前項和為.
3. (廣東題2)
記等差數(shù)列的前項和為,若,,則( )
A. B. C. D.
【解析】 D,∴,故
4. (廣東題4)
記等差數(shù)列的前項和為,若,則該數(shù)列的公差( )
A.
2、 B. C. D.
【解析】 B.
5. (天津題4)
若等差數(shù)列的前5項和,且,則( )
A. B. C. D.
【解析】 B;,故公差,從而
6. (浙江題6)
已知是等比數(shù)列,,則( )
A. B. C. D.
【解析】 C;由條件先求得,,知,取,便知選項C符合;
或判斷出所求是以為首項,為公比的等比數(shù)列的前項和,故
7. (全國Ⅰ題5)
已知等差數(shù)列滿足,,則它的前10項的和( )
A.138 B. C.95 D.23
【解析】 C;由.
8. (全國Ⅰ題7)
3、
已知等比數(shù)列滿足,則( )
A. B. C. D.
【解析】 A;,于是,.
9. (北京題6)
已知數(shù)列對任意的滿足,且,那么等于( )
A. B. C. D.
【解析】 C
方法一:令,則,,∴;
方法二:.
二、填空題:
1. (四川延題14)
設等差數(shù)列的前項為,且.若,則_____________.
【解析】 ;,于是.
2. (江蘇題10)
將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣:
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
. . . . . . .
按照以上排列的規(guī)律,數(shù)陣中第行從左至右的
4、第個數(shù)為 .
【解析】 ;
思路一:將各行第一個數(shù)依次取出,組成數(shù)列:1,2,4,7,…,
則,,,…,,
將這個等式左右兩邊分別相加,得,
則,所以所求的數(shù)為.
思路二:將數(shù)陣前行所有的數(shù)依次排列得1,2,3,…,,
所以第行最后一個數(shù)為,那么第行的第3個數(shù)為.
3. (安徽題15)
在數(shù)列中,,,,其中為常數(shù),則 .
【解析】
,,
故.
4. (四川題16)
設數(shù)列中,,,則通項 .
【解析】 ;由已知.
5. (重慶題14)
設是等差數(shù)列的前項和,,,則 .
【解析】 ;,.
三、解答題
5、:
1.(全國一19) 12分
在數(shù)列中,,.
⑴設.證明:數(shù)列是等差數(shù)列;
⑵求數(shù)列的前項和.
【解析】⑴,
,
,
則為等差數(shù)列,,
,.
⑵
兩式相減,得
2.(全國二題18) 12分
等差數(shù)列中,且成等比數(shù)列,求數(shù)列前20項的和.
【解析】設數(shù)列的公差為,則
,
,
. 3分
由成等比數(shù)列得,
即,
整理得,
解得或. 7分
當時,. 9分
當時,,
于是. 12分
3. (廣東題21) 12分
設為實數(shù),是方程的兩個實根,數(shù)列滿足,,(…).
⑴證明:,;
⑵數(shù)列的通項公式;
⑶若,,求的前項和.
【解析】 ⑴
6、由求根公式,不妨設,得
∴,
⑵設,則,
由得,
消去,得,∴是方程的根,由題意可知,,
①當時,此時方程組的解記為或
∴,,
即、分別是公比為、的等比數(shù)列,
由等比數(shù)列性質可得,,
兩式相減,得
∵,,∴,
∴,
∴,即∴,∴
②當時,即方程有重根,∴,
即,得,,不妨設,由①可知
,∵,∴
即∴,等式兩邊同時除以,得,即
∴數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列,
∴,∴
綜上所述,
⑶把,代入,得,解得
∴
4. (山東題19) 12分
將數(shù)列中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表:
……
7、
記表中的第一列數(shù)構成的數(shù)列為,.為數(shù)列的前項和,且滿足.
⑴證明數(shù)列成等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;
⑵上表中,若從第三行起,第一行中的數(shù)按從左到右的順序均構成等比數(shù)列,且公比為同一個正數(shù).當時,求上表中第行所有項的和.
【解析】 ⑴由已知,當時,,
又,所以,即,
所以,
又.所以數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列.
由上可知,即.
所以當時,.
因此;
⑵設上表中從第三行起,每行的公比都為,且.
因為,
所以表中第行至第行共含有數(shù)列的前項,故在表中第行第三列,
因此.又,所以.
記表中第行所有項的和為,
則.
5. (湖南題18) 12分
數(shù)列滿足,,,
8、.
⑴求,,并求數(shù)列的通項公式;
⑵設,.證明:當時,.
【解析】 ⑴因為,,所以,
.
一般地,當時,,
即.
所以數(shù)列是首項為、公差為的等差數(shù)列,因此.
當時,.
所以數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列,因此,
故數(shù)列的通項公式為;
⑵由⑴知,, ①
②
①②得,,
所以.
要證明當時,成立,只需證明當時,成立.
令,則,
所以當時,.因此當時,,
于是當時,.
綜上所述,當時,.
6. (江西題19) 12分
等差數(shù)列各項均為正整數(shù),,其前項和為,等比數(shù)列中,,且,數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.
⑴求;⑵求證.
【解析】 ⑴設的公差為,的公比
9、為,則為正整數(shù),
,
依題意有①
由知為正有理數(shù),故為的因子之一,
解①得,
故;
⑵,
∴
.
7. (陜西·題22) 14分
已知數(shù)列的首項,,.
⑴求的通項公式;
⑵證明:對任意的,,;
⑶證明:.
【解析】 ⑴采用“倒數(shù)“變換.
∵,∴,∴,
又,∴數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列.
于是,即.
⑵由⑴知,
,
∴原不等式成立.
⑶由⑵知,對任意的,有
.
∴取,
則有.
∴原不等式成立.
8. (安徽題21) 13分
設數(shù)列滿足,其中為實數(shù),
⑴證明:對任意成立的充分必要條件是;
⑵設,證明:;
⑶設,證明:.
10、
【解析】 ⑴必要性:
∵,∴.
又∵,∴,即;
充分性:
設,對用數(shù)學歸納法證明,
當時,.假設,
則,且,
∴,由數(shù)學歸納法知對所有成立;
⑵設,當時,,結論成立;
當時,
∵,∴,
∵,由⑴知,所以,且.
∴,
∴,
∴.
⑶設,當時,,結論成立;
當時,由⑵知,
∴,
∴
.
9. (遼寧題21) 12分
在數(shù)列,中,,,且成等差數(shù)列,成等比數(shù)列
⑴求,,及,,,由此猜測,的通項公式,并證明你的結論;
⑵證明:.
【解析】 ⑴由條件得
由此可得.
猜測.
用數(shù)學歸納法證明:
①當時,由上可得結論成立.
②假設當時,結論成立,即,
那么當時,
.
所以當時,結論也成立.
由①②,可知對一切正整數(shù)都成立.
⑵.
時,由⑴知.
故
綜上,原不等式成立.