（全國通用版）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 立體幾何與空間向量 第1講 空間幾何體學(xué)案 理

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1、（全國通用版）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 立體幾何與空間向量 第1講 空間幾何體學(xué)案 理 [考情考向分析]　1.以三視圖為載體，考查空間幾何體面積、體積的計(jì)算.2.考查空間幾何體的側(cè)面展開圖及簡單的組合體問題． 熱點(diǎn)一　三視圖與直觀圖 1．一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則 俯視圖放在正(主)視圖的下面，長度與正(主)視圖的長度一樣，側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度與正(主)視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣．即“長對正、高平齊、寬相等”． 2．由三視圖還原幾何體的步驟 一般先依據(jù)俯視圖確定底面再利用正(主)視圖與側(cè)(左)視圖確定幾何體． 例1　(1)(2018·全

2、國Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(　　) 答案　A 解析　由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A. (2)有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為________． 答案　2＋ 解析　如圖，在直觀圖中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E， 則在Rt△ABE中，A

3、B＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝. 而四邊形AECD為矩形，AD＝1， ∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝＋1. 由此可還原原圖形如圖所示． 在原圖形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝＋1， 且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′， ∴這塊菜地的面積為S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′ ＝××2＝2＋. 思維升華　空間幾何體的三視圖是從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三個(gè)平面投影圖，因此在分析空間幾何體的三視圖問題時(shí)，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后根據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對應(yīng)的棱、面

4、的位置，再確定幾何體的形狀，即可得到結(jié)果．在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)，一般是以正(主)視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)(左)視圖進(jìn)行綜合考慮． 跟蹤演練1　(1)(2018·衡水調(diào)研)某幾何體的正(主)視圖與俯視圖如圖所示，則其側(cè)(左)視圖可以為(　　) 答案　B 解析　由俯視圖與正(主)視圖可知，該幾何體可以是一個(gè)三棱柱挖去一個(gè)圓柱，因此其側(cè)(左)視圖為矩形內(nèi)有一條虛線，虛線靠近矩形的左邊部分，只有選項(xiàng)B符合題意，故選B. (2)(2018·合肥質(zhì)檢)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱CD，CC1，A1B1的中點(diǎn)，用過點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面截正方體，則位于截面

5、以下部分的幾何體的側(cè)(左)視圖為(　　) 答案　C 解析　取AA1的中點(diǎn)H，連接GH，則GH為過點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面與正方體的面A1B1BA的交線． 延長GH，交BA的延長線與點(diǎn)P，連接EP，交AD于點(diǎn)N，則NE為過點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面與正方體的面ABCD的交線． 同理，延長EF，交D1C1的延長線于點(diǎn)Q，連接GQ，交B1C1于點(diǎn)M，則FM為過點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面與正方體的面BCC1B1的交線． 所以過點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面截正方體所得的截面為圖中的六邊形EFMGHN. 故可得位于截面以下部分的幾何體的側(cè)(左)視圖為選項(xiàng)C所示． 熱點(diǎn)二　幾何體的表面積與體積 空間幾何體的

6、表面積和體積計(jì)算是高考中常見的一個(gè)考點(diǎn)，解決這類問題，首先要熟練掌握各類空間幾何體的表面積和體積計(jì)算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不規(guī)則幾何體分割成幾個(gè)規(guī)則幾何體的技巧，把一個(gè)空間幾何體納入一個(gè)更大的幾何體中的補(bǔ)形技巧． 例2　(1)(2018·百校聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　) A．8＋4＋8 B．24＋4 C．8＋20 D．28 答案　A 解析　由三視圖可知，該幾何體的下底面是長為4，寬為2的矩形，左右兩個(gè)側(cè)面是底邊為2，高為2的三角形，前后兩個(gè)側(cè)面是底邊為4，高為的平行四邊形，所以該幾何體的表

7、面積為S＝4×2＋2××2×2＋2×4×＝8＋4＋8. (2)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是________，表面積是________． 答案　π　6＋(6＋)π 解析　由三視圖知，該幾何體是由四分之一球與半個(gè)圓錐組合而成，則該組合體的體積為V＝×π×23＋×π×22×3＝π， 表面積為S＝×4π×22＋×π×22＋×4×3＋××2π×2×＝6＋π. 思維升華　(1)求多面體的表面積的基本方法就是逐個(gè)計(jì)算各個(gè)面的面積，然后求和． (2)求簡單幾何體的體積時(shí)，若所給的幾何體為柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式求解；求組合體的體積時(shí)，若所給定的幾何體是組合體，不能直

8、接利用公式求解，常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解；求以三視圖為背景的幾何體的體積時(shí)，應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解． 跟蹤演練2　(1)(2018·齊魯名校教科研協(xié)作體模擬)中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖所示(單位：寸)，若π取3，其體積為12.6立方寸，則圖中的x為(　　) A．1.6 B．1.8 C．2.0 D．2.4 答案　A 解析　由三視圖知，商鞅銅方升由一圓柱和一長方體組合而成． 由題意得，(5.4－x)×3×1＋πx2＝12.6， 解得x＝1.6. (2)某幾何體的三

9、視圖如圖所示，則該幾何體的體積是(　　) A．11 B．9 C．7 D．5 答案　D 解析　由三視圖知，該幾何體如圖，它可分成一個(gè)三棱錐E－ABD和一個(gè)四棱錐B－CDEF，則V＝××3×3×2＋×1×2×3＝5. 熱點(diǎn)三　多面體與球 與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖．如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑．球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑．球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過

10、多面體的一條側(cè)棱和球心(或“切點(diǎn)”“接點(diǎn)”)作出截面圖． 例3　(1)(2018·武漢調(diào)研)已知正三棱錐S－ABC的頂點(diǎn)均在球O的球面上，過側(cè)棱SA及球心O的平面截三棱錐及球面所得截面如圖所示，已知三棱錐的體積為2，則球O的表面積為(　　) A．16π B．18π C．24π D．32π 答案　A 解析　設(shè)正三棱錐的底面邊長為a，外接球的半徑為R， 因?yàn)檎忮F的底面為正三角形，邊長為a， 則AD＝a，則AO＝AD＝a， 所以a＝R，即a＝R， 又因?yàn)槿忮F的體積為2， 所以×a2R＝××2×R＝2， 解得R＝2，所以球的表面積為S＝4πR2＝16π. (2

11、)(2018·衡水金卷信息卷)如圖是某三棱錐的三視圖，則此三棱錐內(nèi)切球的體積為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　把此三棱錐嵌入長、寬、高分別為20,24,16的長方體ABCD－A1B1C1D1中， 三棱錐B－KLJ即為所求的三棱錐， 其中KC1＝9，C1L＝LB1＝12，B1B＝16， ∴＝， 則△KC1L∽△LB1B，∠KLB＝90°， 故可求得三棱錐各面面積分別為 S△BKL＝150，S△JKL＝150，S△JKB＝250，S△JLB＝250， 故表面積為S表＝800. 三棱錐體積V＝S△BKL·JK＝1 000， 設(shè)內(nèi)切球半徑為r

12、，則r＝＝， 故三棱錐內(nèi)切球體積V球＝πr3＝. 思維升華　三棱錐P－ABC可通過補(bǔ)形為長方體求解外接球問題的兩種情形 (1)點(diǎn)P可作為長方體上底面的一個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C可作為下底面的三個(gè)頂點(diǎn)． (2)P－ABC為正四面體，則正四面體的棱都可作為一個(gè)正方體的面對角線． 跟蹤演練3　(1)(2018·咸陽模擬)在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若AB＝2，BC＝3，PA＝4，則該三棱錐的外接球的表面積為(　　) A．13π B．20π C．25π D．29π 答案　D 解析　把三棱錐P－ABC放到長方體中，如圖所示， 所以長方體的體對角線長為＝

13、， 所以三棱錐外接球的半徑為， 所以外接球的表面積為4π×2＝29π. (2)(2018·四川成都名校聯(lián)考)已知一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，記該圓錐的內(nèi)切球的表面積為S1，外接球的表面積為S2，則等于(　　) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶8 答案　C 解析　如圖， 由已知圓錐側(cè)面積是底面積的2倍，不妨設(shè)底面圓半徑為r，l為底面圓周長，R為母線長， 則lR＝2πr2， 即·2π·r·R＝2πr2， 解得R＝2r，故∠ADC＝30°，則△DEF為等邊三角形， 設(shè)B為△DEF的重心，過B作BC⊥DF， 則DB為圓錐的外接球半徑，BC為圓錐的內(nèi)切球

14、半徑， 則＝，∴＝，故＝. 真題體驗(yàn) 1．(2018·全國Ⅰ改編)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如右圖．圓柱表面上的點(diǎn)M在正(主)視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在側(cè)(左)視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為________． 答案　2 解析　先畫出圓柱的直觀圖，根據(jù)題中的三視圖可知，點(diǎn)M，N的位置如圖①所示． 圓柱的側(cè)面展開圖及M，N的位置(N為OP的四等分點(diǎn))如圖②所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑． ON＝×16＝4，OM＝2， ∴MN＝＝＝2. 2．(2017·北京改編)某四棱錐的三視圖如圖所示

15、，則該四棱錐的最長棱的長度為________． 答案　2 解析　在正方體中還原該四棱錐，如圖所示， 可知SD為該四棱錐的最長棱． 由三視圖可知，正方體的棱長為2， 故SD＝＝2. 3．(2017·天津)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為________． 答案　π 解析　設(shè)正方體的棱長為a，則6a2＝18，∴a＝. 設(shè)球的半徑為R，則由題意知2R＝＝3， ∴R＝. 故球的體積V＝πR3＝π×3＝π. 4．(2017·全國Ⅰ)已知三棱錐S—ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，

16、SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S—ABC的體積為9，則球O的表面積為________． 答案　36π 解析　如圖，連接OA，OB. 由SA＝AC，SB＝BC，SC為球O的直徑知，OA⊥SC，OB⊥SC. 由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC， ∴OA⊥平面SCB. 設(shè)球O的半徑為r，則 OA＝OB＝r，SC＝2r， ∴三棱錐S－ABC的體積 V＝××SC×OB×OA＝， 即＝9，∴r＝3，∴球O的表面積S＝4πr2＝36π. 押題預(yù)測 1．一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．16 B．8＋8 C．2＋2

17、＋8 D．4＋4＋8 押題依據(jù)　求空間幾何體的表面積或體積是立體幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考命題的熱點(diǎn)．此類題常以三視圖為載體，給出幾何體的結(jié)構(gòu)特征，求幾何體的表面積或體積． 答案　D 解析　由三視圖知，該幾何體是底面邊長為＝2的正方形，高PD＝2的四棱錐P－ABCD，因?yàn)镻D⊥平面ABCD，且四邊形ABCD是正方形， 易得BC⊥PC，BA⊥PA， 又PC＝＝＝2， 所以S△PCD＝S△PAD＝×2×2＝2， S△PAB＝S△PBC＝×2×2＝2. 所以幾何體的表面積為4＋4＋8. 2．在正三棱錐S－ABC中，點(diǎn)M是SC的中點(diǎn)，且AM⊥SB，底面邊長AB＝2，則正三棱

18、錐S－ABC的外接球的表面積為(　　) A．6π B．12π C．32π D．36π 押題依據(jù)　靈活運(yùn)用正三棱錐中線與棱之間的位置關(guān)系來解決外接球的相關(guān)問題，是高考的熱點(diǎn)． 答案　B 解析　因?yàn)槿忮FS－ABC為正三棱錐，所以SB⊥AC，又AM⊥SB，AC∩AM＝A，AC，AM?平面SAC，所以SB⊥平面SAC，所以SB⊥SA，SB⊥SC，同理SA⊥SC，即SA，SB，SC三線兩兩垂直，且AB＝2，所以SA＝SB＝SC＝2，所以(2R)2＝3×22＝12，所以球的表面積S＝4πR2＝12π，故選B. 3．已知半徑為1的球O中內(nèi)接一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的體積與

19、圓柱的體積的比值為________． 押題依據(jù)　求空間幾何體的體積是立體幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考的熱點(diǎn)問題之一，主要是求柱體、錐體、球體或簡單組合體的體積．本題通過球的內(nèi)接圓柱，來考查球與圓柱的體積計(jì)算，命題角度新穎，值得關(guān)注． 答案　 解析　如圖所示，設(shè)圓柱的底面半徑為r， 則圓柱的側(cè)面積為 S＝2πr×2 ＝4πr≤4π×＝2π . 所以當(dāng)r＝時(shí)，＝＝. A組　專題通關(guān) 1．(2018·濟(jì)南模擬)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為BD1的中點(diǎn)，則△PAC在該正方體各個(gè)面上的正投影可能是(　　) A．①② B．①④ C．②③

20、 D．②④ 答案　B 解析　P點(diǎn)在上下底面投影落在AC或A1C1上，所以△PAC在上底面或下底面的投影為①，在前、后面以及左、右面的投影為④. 2．(2018·百校聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　) A.＋＋4 B．10＋＋4 C.＋4 D.＋4 答案　D 解析　由三視圖可知該幾何體為一個(gè)直三棱柱削掉一個(gè)三棱錐所得， 所以其表面積為22×2＋×22×2＋2×2＋×()2－×12×3＝＋4. 3．(2017·全國Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示，其中正(主)視圖和側(cè)(左)視圖都由正方形和等腰直角三

21、角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為(　　) A．10 B．12 C．14 D．16 答案　B 解析　觀察三視圖可知，該多面體是由直三棱柱和三棱錐組合而成的，且直三棱柱的底面是直角邊長為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長為2.三棱錐的底面是直角邊長為2的等腰直角三角形，高為2，如圖所示．因此該多面體各個(gè)面中有兩個(gè)梯形，且這兩個(gè)梯形全等，梯形的上底長為2，下底長為4，高為2，故這兩個(gè)梯形的面積之和為2××(2＋4)×2＝12.故選B. 4．某幾何體的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖(1)所示，它的俯視圖的直觀圖

22、是△A′B′C′，如圖(2)所示，其中O′A′＝O′B′＝2，O′C′＝，則該幾何體的表面積為(　　) A．36＋12 B．24＋8 C．24＋12 D．36＋8 答案　C 解析　由圖(2)可知，該幾何體的俯視圖是一個(gè)底面邊長為4，高為2的等腰三角形，即該三角形為等邊三角形，在如圖所示的長方體中，長、寬、高分別為4,2，6，三視圖還原為幾何體是圖中的三棱錐P－ABC，且S△PAB＝S△PBC＝×4×6＝12，S△ABC＝×4×2＝4，△PAC是腰長為，底面邊長為4的等腰三角形，S△PAC＝8.綜上可知，該幾何體的表面積為2×12＋4＋8＝24＋12.故選C. 5．

23、(2018·張掖市質(zhì)量診斷)已知如圖所示的三棱錐D－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB＝3，AC＝，BC＝CD＝BD＝2，則球O的表面積為(　　) A．4π B．12π C．16π D．36π 答案　C 解析　如圖所示，∵AB2＋AC2＝BC2，∴∠CAB為直角，即△ABC外接圓的圓心為BC的中點(diǎn)O′.△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，則球心在過△DBC的圓面上，即△DBC的外接圓為球的大圓，由等邊三角形的重心和外心重合，易得球半徑R＝2，球的表面積為S＝4πR2＝16π，故選C. 6．(2018·衡水金卷信息卷)已知正四

24、棱錐P－ABCD的各頂點(diǎn)都在同一球面上，底面正方形的邊長為，若該正四棱錐的體積為2，則此球的體積為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如圖所示，設(shè)底面正方形ABCD的中心為O′，正四棱錐P－ABCD的外接球的球心為O， ∵底面正方形的邊長為， ∴O′D＝1， ∵正四棱錐的體積為2， ∴VP－ABCD＝×()2×PO′＝2，解得PO′＝3， ∴OO′＝|PO′－PO|＝|3－R|， 在Rt△OO′D中，由勾股定理可得OO′2＋O′D2＝OD2， 即(3－R)2＋12＝R2，解得R＝， ∴V球＝πR3＝π×3＝. 7．在三棱錐S－ABC中，側(cè)棱SA⊥

25、底面ABC，AB＝5，BC＝8，∠ABC＝60°，SA＝2，則該三棱錐的外接球的表面積為(　　) A.π B.π C.π D.π 答案　B 解析　由題意知，AB＝5，BC＝8，∠ABC＝60°， 則根據(jù)余弦定理可得 AC2＝AB2＋BC2－2×AB×BC×cos∠ABC， 解得AC＝7， 設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，則 △ABC的外接圓直徑2r＝＝，∴r＝， 又∵側(cè)棱SA⊥底面ABC， ∴三棱錐的外接球的球心到平面ABC的距離d＝SA＝，則外接球的半徑R＝ ＝，則該三棱錐的外接球的表面積為S＝4πR2＝π. 8．(2018·北京海淀區(qū)模擬)某幾何體的正(主)視圖

26、和俯視圖如圖所示，在下列圖形中，可能是該幾何體側(cè)(左)視圖的圖形是________．(寫出所有可能的序號) 答案?、佗冖? 解析　如圖a三棱錐C－ABD，正(主)視圖與俯視圖符合題意，側(cè)(左)視圖為①； 如圖b四棱錐P－ABCD，正(主)視圖與俯視圖符合題意，側(cè)(左)視圖為②； 如圖c三棱錐P－BCD，正(主)視圖與俯視圖符合題意，側(cè)(左)視圖為③. 9．(2018·安徽省“皖南八校”聯(lián)考)如圖1所示是一種生活中常見的容器，其結(jié)構(gòu)如圖2，其中ABCD是矩形，ABFE和CDEF都是等腰梯形，且AD⊥平面CDEF，現(xiàn)測得AB＝20 cm，AD＝15 cm，EF＝30 cm，AB

27、與EF間的距離為25 cm，則幾何體EF－ABCD的體積為________cm3. 答案　3 500 解析　在EF上，取兩點(diǎn)M，N(圖略)，分別滿足EM＝NF＝5，連接DM，AM，BN，CN，則該幾何體就被分割成兩個(gè)棱錐和一個(gè)棱柱，根據(jù)柱、錐體的體積公式以及題中所給的相關(guān)量，可以求得V＝×20×15×20＋2×××20×15×5＝3 500. 10．(2018·全國Ⅲ改編)設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐D－ABC體積的最大值為________． 答案　18 解析　由等邊△ABC的面積為9，可得AB2＝9， 所以AB＝

28、6， 所以等邊△ABC的外接圓的半徑為r＝AB＝2. 設(shè)球的半徑為R，球心到等邊△ABC的外接圓圓心的距離為d，則d＝＝＝2. 所以三棱錐D－ABC高的最大值為2＋4＝6， 所以三棱錐D－ABC體積的最大值為×9×6＝18. 11．(2018·全國Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°，若△SAB的面積為5，則該圓錐的側(cè)面積為________． 答案　40π 解析　如圖， ∵SA與底面所成角為45°， ∴△SAO為等腰直角三角形． 設(shè)OA＝r，則SO＝r，SA＝SB＝r. 在△SAB中，cos∠ASB＝， ∴sin∠AS

29、B＝， ∴S△SAB＝SA·SB·sin∠ASB ＝(r)2·＝5， 解得r＝2， ∴SA＝r＝4，即母線長l＝4， ∴S圓錐側(cè)＝πr·l＝π×2×4＝40π. 12．(2018·華大新高考聯(lián)盟質(zhì)檢)已知二面角α－l－β的大小為，點(diǎn)P∈α，點(diǎn)P在β 內(nèi)的正投影為點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥l，垂足為點(diǎn)B，點(diǎn)C∈l，BC＝2，PA＝2，點(diǎn)D∈β，且四邊形ABCD滿足∠BCD＋∠DAB＝π.若四面體PACD的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為________． 答案　8π 解析　∵∠BCD＋∠DAB＝π， ∴A，B，C，D四點(diǎn)共圓，直徑為AC. ∵PA⊥平面β，AB⊥l， ∴由三

30、垂線定理得PB⊥l， 即∠PBA為二面角α－l－β的平面角， 即∠PBA＝， ∵PA＝2，∴BA＝2， ∵BC＝2，∴AC＝2. 設(shè)球的半徑為R，則2－＝， ∴R＝，V＝()3＝8π. B組　能力提高 13．若四棱錐P－ABCD的三視圖如圖所示，則該四棱錐的外接球的表面積為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根據(jù)三視圖還原幾何體為一個(gè)四棱錐P－ABCD，如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD， 由于△PAD為等腰三角形，PA＝PD＝3，AD＝4，四邊形ABCD為矩形，CD＝2，過△PAD的外心F作平面PAD的垂線，過矩形ABCD的中心H作平面

31、ABCD的垂線，兩條垂線交于一點(diǎn)O，則O為四棱錐外接球的球心，在△PAD中，cos∠APD＝＝，則sin∠APD＝， 2PF＝＝＝，PF＝， PE＝＝，OH＝EF＝－＝， BH＝＝， OB＝＝ ＝， 所以S＝4π×＝. 14．(2018·龍巖質(zhì)檢)如圖所示，正方形ABCD的邊長為2，切去陰影部分圍成一個(gè)正四棱錐，則正四棱錐側(cè)面積的取值范圍為(　　) A．(1,2) B．(1,2] C．(0,2] D．(0,2) 答案　D 解析　設(shè)四棱錐一個(gè)側(cè)面為△APQ，∠APQ＝x，過點(diǎn)A作AH⊥PQ， 則AH＝PQ×tan x＝＝ ＝－PQ， ∴PQ＝，AH＝，

32、 ∴S＝4××PQ×AH＝2×PQ×AH ＝2××＝，x∈， ∵S＝＝ ＝≤＝2， ， 而tan x>0，故S>0， ∵S＝2時(shí)，△APQ是等腰直角三角形， 頂角∠PAQ＝90°，陰影部分不存在，折疊后A與O重合，構(gòu)不成棱錐， ∴S的取值范圍為(0,2)，故選D. 15．已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是頂角為120°的等腰三角形，側(cè)(左)視圖為直角三角形，則該三棱錐的表面積為________，該三棱錐的外接球的體積為________． 答案　4＋＋　π 解析　由三視圖得幾何體的直觀圖如圖所示， ∴S表＝2××2×2＋×2×＋×2×1 ＝4＋＋.

33、以D為原點(diǎn)，DB所在直線為x軸，DE所在直線為y軸，DA所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz， 則D(0,0,0)，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(－1，，0)， 設(shè)球心坐標(biāo)為(x，y，z)， ∵(x－2)2＋y2＋z2＝x2＋y2＋z2，① x2＋y2＋(z－2)2＝x2＋y2＋z2，② (x＋1)2＋(y－)2＋z2＝x2＋y2＋z2，③ ∴x＝1，y＝，z＝1， ∴球心坐標(biāo)是(1，，1)， ∴球的半徑是＝. ∴球的體積是π×3＝π. 16.如圖所示，三棱錐P－ABC中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，D是線段AB的中點(diǎn)，DE∩PB＝E，且DE⊥AB，若

34、∠EDC＝120°，PA＝，PB＝，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為________． 答案　13π 解析　在三棱錐P－ABC中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，設(shè)△ABC的外心為O1，外接圓的半徑O1A＝＝，在△PAB中，PA＝，PB＝，AB＝3，滿足PA2＋PB2＝AB2，所以△PAB為直角三角形，△PAB的外接圓的圓心為D，由于CD⊥AB，ED⊥AB，∠EDC＝120°為二面角P－AB－C的平面角，分別過兩個(gè)三角形的外心O1，D作兩個(gè)半平面的垂線交于點(diǎn)O，則O為三棱錐P－ABC的外接球的球心， 在Rt△OO1D中，∠ODO1＝30°，DO1＝， 則cos 30°＝＝，OD＝1，連接OA，設(shè)OA＝R， 則R2＝AD2＋OD2＝2＋12＝， S球＝4πR2＝4π×＝13π.