《函數(shù)奇偶性》教學(xué)設(shè)計(jì)
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1、《函數(shù)奇偶性》教學(xué)設(shè)計(jì) 教材分析: 在學(xué)習(xí)函數(shù)奇偶性之前,已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念及函數(shù)的圖像,使得學(xué)生具備了利用函數(shù)解析式研究數(shù)形性質(zhì)的基本知識(shí),同時(shí)聯(lián)系初中所學(xué)的圖形中心對(duì)稱和軸對(duì)稱。但只是從圖象上直觀觀察圖象的對(duì)稱,而現(xiàn)在要求把它上升到理論的高度,用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言去刻畫(huà)它.這種由形到數(shù)的翻譯,從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對(duì)高一的學(xué)生來(lái)說(shuō)是比較困難的,因此要在概念的形成上重點(diǎn)下功夫.奇偶性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容,學(xué)生在代數(shù)論證推理方面的能力是比較弱的,還沒(méi)有意識(shí)到它的重要性,所以奇偶性的證明自然就是教學(xué)中的難點(diǎn). 學(xué)情分析: 學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了二次函數(shù)和反比例函數(shù),學(xué)生已
2、經(jīng)知道這兩個(gè)圖象的對(duì)稱性,而且有了前面函數(shù)的概念及表示法,為準(zhǔn)確描述自變量互為相反數(shù)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的關(guān)系掃清了障礙,可順利得出函數(shù)奇偶性的定義。該班的學(xué)生較活躍,課堂上發(fā)言積極,并且學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、圖像和對(duì)稱的概念,大部分學(xué)生都能在教師的誘導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)規(guī)律,達(dá)到掌握的目的。 一、教學(xué)目標(biāo): 知識(shí)與技能:結(jié)合具體函數(shù)了解奇偶性的含義,能利用函數(shù)的圖像理解奇函數(shù)、偶函數(shù);能判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的奇偶性。 過(guò)程與方法:體驗(yàn)奇函數(shù)、偶函數(shù)概念形成的過(guò)程,體會(huì)由形及數(shù)、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,并學(xué)會(huì)由特殊到一般的歸納推理的思維方法。 情感、態(tài)度、價(jià)值觀:通過(guò)繪制和展示優(yōu)美的函數(shù)圖像,可以陶冶
3、我們的情操,通過(guò)概念的形成過(guò)程,培養(yǎng)我們探究、推理的思維能力。 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn): 重點(diǎn) : 奇偶性概念的理解及應(yīng)用。 難點(diǎn) : 奇偶性的判斷與應(yīng)用。 三、教學(xué)方法:探究式、啟發(fā)式。 四、課堂類型:新授課 五、教學(xué)媒體使用:多媒體(計(jì)算機(jī)、實(shí)物投影) 六、教學(xué)過(guò)程: 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 師生互動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 問(wèn)題引領(lǐng) 復(fù)習(xí)在初中學(xué)習(xí)的軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義 教師提出問(wèn)題,學(xué)生回答. 為學(xué)生認(rèn)識(shí)奇、偶函數(shù)的圖象特征做好準(zhǔn)備. 自主探究 1.要求學(xué)生同桌兩人分別畫(huà)出函數(shù)f (x) =x3與g (x) = x2的圖象. 2.多媒體屏幕上展示函數(shù)f (x)
4、=x3和函數(shù)g (x) = x2的圖象,并讓學(xué)生分別求出x =3,x =2,x =,… 的函數(shù)值,同時(shí)令兩個(gè)函數(shù)圖象上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在兩個(gè)函數(shù)圖象上閃現(xiàn),讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性反映到函數(shù)值上具有的特性: f (–x) = – f (x),g (–x) = g (x). 然后通過(guò)解析式給出證明,進(jìn)一步說(shuō)明這兩個(gè)特性對(duì)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x都成立. 3.奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義: 奇函數(shù):設(shè)函數(shù)y = f (x)的定義域?yàn)镈,如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x,都有 f (–x) = – f (x), 則這個(gè)函數(shù)叫奇函數(shù). 偶函數(shù):設(shè)函數(shù)y = g (x)的定義域?yàn)镈,如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x,都有 g
5、(– x) = – g (x), 則這個(gè)函數(shù)叫做偶函數(shù). 1.教師指導(dǎo),學(xué)生作圖,學(xué)生作完圖后教師提問(wèn):觀察我們畫(huà)出的兩個(gè)函數(shù)的圖象,分別具有怎樣的對(duì)稱性? 學(xué)生回答:f (x) =x3關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形;g (x) = x2關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形. 2.老師邊讓學(xué)生計(jì)算相應(yīng)的函數(shù)值,邊操作課件,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律,總結(jié)規(guī)律,然后要求學(xué)生給出證明;學(xué)生通過(guò)觀察和運(yùn)算逐步發(fā)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)具有的不同特征: f (–x) = – f (x), g (–x) = – g (x). 3.教師引導(dǎo)歸納:這時(shí)我們稱函數(shù)f (x) = x3這樣的函數(shù)為奇函數(shù),像函數(shù)g (x) = x2這樣的函數(shù)為偶
6、函數(shù),請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)對(duì)奇函數(shù)和偶函數(shù)的初步認(rèn)識(shí)加以推廣,給奇函數(shù)和偶函數(shù)分別下一個(gè)定義. 學(xué)生討論后回答,然后老師引導(dǎo)使定義完善. 在屏幕展示奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義. 老師:根據(jù)定義,哪些同學(xué)能舉出另外一些奇函數(shù)和偶函數(shù)的例子? 學(xué)生:f (x) = , f (x) = –x6 – 4x4,…. 1.要求學(xué)生動(dòng)手作圖以鍛煉學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力,為下一步問(wèn)題的提出做好準(zhǔn)備. 并通過(guò)問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生從形的角度認(rèn)識(shí)兩個(gè)函數(shù)各自的特征. 2.通過(guò)特殊值讓學(xué)生認(rèn)識(shí)兩個(gè)函數(shù)各自對(duì)稱性實(shí)質(zhì):是自變量互為相反數(shù)時(shí),函數(shù)值互為相反數(shù)和相等這兩種關(guān)系. 3.通過(guò)引例使學(xué)生對(duì)奇函數(shù)和偶函數(shù)的形和數(shù)的特征有了初
7、步的認(rèn)識(shí),此時(shí)再讓學(xué)生給奇函數(shù)和偶函數(shù)下定義應(yīng)是水到渠成. 合作交流 (1)強(qiáng)調(diào)定義中“任意”二字,說(shuō)明函數(shù)的奇偶性在定義域上的一個(gè)整體性質(zhì),它不同于函數(shù)的單調(diào)性. (2)奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域的特征是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. (3)奇函數(shù)與偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性: 如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù),則這個(gè)函數(shù)的圖象以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形. 反之,如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形,則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù). 如果一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù),則它的圖形是以y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形;反之,如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù). 教師設(shè)計(jì)以下問(wèn)題組織學(xué)生討論思考回答. 問(wèn)題
8、1:奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義中有“任意”二字,說(shuō)明函數(shù)的奇偶性是怎樣的一個(gè)性質(zhì)?與單調(diào)性有何區(qū)別? 問(wèn)題2:–x與x在幾何上有何關(guān)系?具有奇偶性的函數(shù)的定義域有何特征? 問(wèn)題3:結(jié)合函數(shù)f (x) =x3的圖象回答以下問(wèn)題: (1)對(duì)于任意一個(gè)奇函數(shù)f (x),圖象上的點(diǎn)P (x,f (x))關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)是什么?點(diǎn)P′是否也在函數(shù)f (x)的圖象上?由此可得到怎樣的結(jié)論. (2)如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形,能否判斷它的奇偶性? 學(xué)生通過(guò)回答問(wèn)題3 可以把奇函數(shù)圖象的性質(zhì)總結(jié)出來(lái),然后老師讓學(xué)生自己研究一下偶函數(shù)圖象的性質(zhì). 通過(guò)對(duì)三個(gè)問(wèn)題的探討,
9、引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到:(1)函數(shù)的奇偶性 是函數(shù)在定義域上的一個(gè)整體性質(zhì),它不同于單調(diào)性.(2)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件. (3)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱. 成果展示 例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性; (1)f (x) = x + x3 +x5;(2)f (x) = x2 +1; (3)f (x) = x + 1;(4)f (x) = 0. 學(xué)生練習(xí): 判斷下列函數(shù)的是否具有奇偶性: (1) f (x) = x + x3; (2) f (x) = – x2; (3) h (x) = x3 +1; (4) f (x) =
10、(x + 1) (x – 1); 例2 研究函數(shù)y =的性質(zhì)并作出它的圖象. 學(xué)生練習(xí): 1.判斷下列論斷是否正確: (1) 如果一個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)原對(duì)稱,則這個(gè)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;則這個(gè)函數(shù)為奇函數(shù); (2)如果一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù),則它的定義關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱, (3)如果一個(gè)函數(shù)定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,則這個(gè)函數(shù)為偶函數(shù); (4)如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則這個(gè)函數(shù)為偶函數(shù). 2.如果f (0) = a≠0,函數(shù)f (x)可以是奇函數(shù)嗎?可以是偶函數(shù)嗎?為什么? 3.如果函數(shù)f (x)、g (x)為定義域相同的偶函數(shù),試問(wèn)F (x) =f (x) + g (x
11、)是不是偶函數(shù)?是不是奇函數(shù)?為什么? 4.如圖,給出了奇函數(shù)y = f (x)的局x y O 4 2 總圖象,求f (– 4). 5.如圖,給出了偶函數(shù)y = f (x)的局部圖象,試比較f (1)與 f (3) 的大小. x y O – 3 2 – 1 1.選例1的第(1)小題板書(shū)來(lái)示范解題的步驟,其他例題讓幾個(gè)學(xué)生板演,其余學(xué)生在下面自己完成,針對(duì)板演的同學(xué)所出現(xiàn)的步驟上的問(wèn)題進(jìn)行學(xué)生做好總結(jié)歸納. 2.例2可讓學(xué)生來(lái)設(shè)計(jì)如何研究函數(shù)的性質(zhì)和圖象的方案,并根據(jù)學(xué)生提供的方案,點(diǎn)評(píng)方案的可行性,并比較哪種方案簡(jiǎn)單. 3.做完例
12、1和例2后要求學(xué)生做練習(xí),及時(shí)鞏固. 在學(xué)生練習(xí)過(guò)程中,教師做好巡視指導(dǎo). 例1 解答案 (1)奇函數(shù) (2)偶函數(shù) (3)非奇非偶函數(shù) (4)既奇又偶函數(shù) 學(xué)生練習(xí)答案 (1)奇函數(shù) (2)偶函數(shù) (3)非奇非偶函數(shù) (4)偶函數(shù) 例2 偶函數(shù)(圖略) 學(xué)生練習(xí) 1.(1)錯(cuò) (2)錯(cuò) (3)錯(cuò) (4)對(duì) 2.不能為奇函數(shù)但可以是偶函數(shù) 3.偶函數(shù) ∵f (–x ) = f (x) g (–x) = g (x) ∴F (–x) = F (x) 4.f (–4) = – f (4) = –2. 5.∵f (–3)>f (–1) 又f (–3) =
13、 f (3) f (–1) = f (1) ∴f (3)>f (1) 1.通過(guò)例1解決如下問(wèn)題: ①根據(jù)定義判斷一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)的方法和步驟是:第一步先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;第二步判斷f (–x) = f (x)還是判斷f (–x) = – f (x). ②通過(guò)例1中的第(3)小題說(shuō)明判斷函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). ③ 例1中的第(4)小題說(shuō)明判斷函數(shù)的奇偶性先要看一下定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. ④ f (x) = 0既不奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)是函數(shù)值為0的常值函數(shù). 前提是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. ⑤總結(jié):對(duì)于一個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō),它的奇偶性有四種可能:是奇函數(shù)但
14、不是偶函數(shù);是偶函數(shù)但不是奇函數(shù);既是奇函數(shù)又是偶函數(shù);既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). 2.對(duì)于例2主要讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)了函數(shù)的奇偶性后為研究函數(shù)的性質(zhì)帶來(lái)的方便. 在此問(wèn)題的處理上要先求一下函數(shù)的定義域,這是研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ),然后判斷函數(shù)圖象的對(duì)稱性,再根據(jù)奇、偶函數(shù)在y軸一側(cè)的圖象和性質(zhì)就可以知道在另一側(cè)的圖象和性質(zhì). 拓展延伸 設(shè)函數(shù)f (x)是定義在(–∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù),又f (x)在(0,+∞)上是減函數(shù),且f (x)<0,試判斷函數(shù)F (x) =在(–∞,0)上的單調(diào)性,并給出證明. 證明:F (x)在(–∞,0)是中增函數(shù),以下進(jìn)行證明: 設(shè)x1,x2(–
15、∞,0),且x1<x2. ∵f (x)在(0,+∞)上是減函數(shù),∴f (–x2) – f (–x1)>0 ① 又∵f (x)在 (–∞,0)∪(0,+∞)上是奇函數(shù),∴f (–x1) = – f (x1),f (–x2) = – f (x2), 由①式得 – f (x2) + f (x1) >0, 即f (x1) – f (x2)>0. 當(dāng)x1<x2<0時(shí),F(xiàn) (x2) – F (x1) =, 又∵f (x)在(0,+∞)上總小于0, ∴f (x1) = – f (–x1)>0,f (x2) = – f (–x2)>0,f (x1)f (x2)>0, 又f (x1) – f
16、 (x2)>0,∴F (x2) – F (x1)>0且△x = x2 – x1>0, 故F (x) =在(–∞,0)上是增函數(shù). 聯(lián)系單調(diào)性的知識(shí),進(jìn)一步加深對(duì)奇偶性的理解。 歸納總結(jié) 從知識(shí)、方法兩個(gè)方面來(lái)對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié). 讓學(xué)生談本節(jié)課的收獲,并進(jìn)行反思. 關(guān)注學(xué)生的自主體驗(yàn),反思和發(fā)表本堂課的體驗(yàn)和收獲. 布置作業(yè) 1.3習(xí)題 學(xué)生獨(dú)立完成 通過(guò)分層作業(yè)使學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容. 并為學(xué)有余力和學(xué)習(xí)興趣濃厚的學(xué)生提供進(jìn)一步學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì). 七、板書(shū)設(shè)計(jì) 函數(shù)的奇偶性 問(wèn)題引領(lǐng) 自主探究 合作交流 成果展示 拓展延伸 歸納總結(jié) 作業(yè)布置 八、設(shè)計(jì)反思:根據(jù)課程改革的目標(biāo),實(shí)現(xiàn)以人的全面發(fā)展為本的教學(xué)理念,并根據(jù)誘思探究學(xué)科教學(xué)論,改變傳統(tǒng)教學(xué)過(guò)于注重傳授知識(shí)的傾向,讓學(xué)生在課堂上真正動(dòng)起來(lái),切實(shí)實(shí)現(xiàn)學(xué)生的主體地位。但是函數(shù)奇偶性這節(jié)內(nèi)容較為抽象,對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力要求比較高,所以創(chuàng)設(shè)情景時(shí)聯(lián)系函數(shù)與圖像產(chǎn)生一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,環(huán)環(huán)相扣,并讓學(xué)生小組合作、研究探索、互相補(bǔ)充、發(fā)現(xiàn)共性、找出規(guī)律。
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