《函數(shù)奇偶性》教學設(shè)計

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1、《函數(shù)奇偶性》教學設(shè)計 教材分析： 在學習函數(shù)奇偶性之前，已經(jīng)學習了函數(shù)的概念及函數(shù)的圖像，使得學生具備了利用函數(shù)解析式研究數(shù)形性質(zhì)的基本知識，同時聯(lián)系初中所學的圖形中心對稱和軸對稱。但只是從圖象上直觀觀察圖象的對稱,而現(xiàn)在要求把它上升到理論的高度,用準確的數(shù)學語言去刻畫它.這種由形到數(shù)的翻譯,從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學生來說是比較困難的,因此要在概念的形成上重點下功夫.奇偶性的證明是學生在函數(shù)內(nèi)容中接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容,學生在代數(shù)論證推理方面的能力是比較弱的,還沒有意識到它的重要性,所以奇偶性的證明自然就是教學中的難點. 學情分析： 學生在初中學習了二次函數(shù)和反比例函數(shù),學生已

2、經(jīng)知道這兩個圖象的對稱性,而且有了前面函數(shù)的概念及表示法,為準確描述自變量互為相反數(shù)時對應(yīng)的函數(shù)值的關(guān)系掃清了障礙，可順利得出函數(shù)奇偶性的定義。該班的學生較活躍，課堂上發(fā)言積極，并且學生已經(jīng)學習了函數(shù)的概念、圖像和對稱的概念，大部分學生都能在教師的誘導下發(fā)現(xiàn)規(guī)律，達到掌握的目的。 一、教學目標： 知識與技能：結(jié)合具體函數(shù)了解奇偶性的含義，能利用函數(shù)的圖像理解奇函數(shù)、偶函數(shù)；能判斷一些簡單函數(shù)的奇偶性。 過程與方法：體驗奇函數(shù)、偶函數(shù)概念形成的過程，體會由形及數(shù)、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，并學會由特殊到一般的歸納推理的思維方法。 情感、態(tài)度、價值觀：通過繪制和展示優(yōu)美的函數(shù)圖像，可以陶冶

3、我們的情操，通過概念的形成過程，培養(yǎng)我們探究、推理的思維能力。 二、教學重點、難點： 重點 ： 奇偶性概念的理解及應(yīng)用。 難點 ： 奇偶性的判斷與應(yīng)用。 三、教學方法：探究式、啟發(fā)式。 四、課堂類型：新授課 五、教學媒體使用：多媒體（計算機、實物投影） 六、教學過程： 教學環(huán)節(jié) 教學內(nèi)容 師生互動 設(shè)計意圖 問題引領(lǐng) 復習在初中學習的軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義 教師提出問題，學生回答. 為學生認識奇、偶函數(shù)的圖象特征做好準備. 自主探究 1．要求學生同桌兩人分別畫出函數(shù)f (x) =x3與g (x) = x2的圖象. 2．多媒體屏幕上展示函數(shù)f (x)

4、=x3和函數(shù)g (x) = x2的圖象，并讓學生分別求出x =3，x =2，x =，… 的函數(shù)值，同時令兩個函數(shù)圖象上對應(yīng)的點在兩個函數(shù)圖象上閃現(xiàn)，讓學生發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)的對稱性反映到函數(shù)值上具有的特性： f (–x) = – f (x)，g (–x) = g (x). 然后通過解析式給出證明，進一步說明這兩個特性對定義域內(nèi)的任意一個x都成立. 3．奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義： 奇函數(shù)：設(shè)函數(shù)y = f (x)的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x，都有 f (–x) = – f (x)， 則這個函數(shù)叫奇函數(shù). 偶函數(shù)：設(shè)函數(shù)y = g (x)的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x，都有 g

5、(– x) = – g (x)， 則這個函數(shù)叫做偶函數(shù). 1．教師指導，學生作圖，學生作完圖后教師提問：觀察我們畫出的兩個函數(shù)的圖象，分別具有怎樣的對稱性？ 學生回答：f (x) =x3關(guān)于原點成中心對稱圖形；g (x) = x2關(guān)于y軸成軸對稱圖形. 2．老師邊讓學生計算相應(yīng)的函數(shù)值，邊操作課件，引導學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)規(guī)律，然后要求學生給出證明；學生通過觀察和運算逐步發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)具有的不同特征： f (–x) = – f (x)， g (–x) = – g (x). 3.教師引導歸納：這時我們稱函數(shù)f (x) = x3這樣的函數(shù)為奇函數(shù)，像函數(shù)g (x) = x2這樣的函數(shù)為偶

6、函數(shù)，請同學們根據(jù)對奇函數(shù)和偶函數(shù)的初步認識加以推廣，給奇函數(shù)和偶函數(shù)分別下一個定義. 學生討論后回答，然后老師引導使定義完善. 在屏幕展示奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義. 老師：根據(jù)定義，哪些同學能舉出另外一些奇函數(shù)和偶函數(shù)的例子？ 學生：f (x) = ， f (x) = –x6 – 4x4，…. 1．要求學生動手作圖以鍛煉學生的動手實踐能力，為下一步問題的提出做好準備. 并通過問題來引導學生從形的角度認識兩個函數(shù)各自的特征. 2．通過特殊值讓學生認識兩個函數(shù)各自對稱性實質(zhì)：是自變量互為相反數(shù)時，函數(shù)值互為相反數(shù)和相等這兩種關(guān)系. 3．通過引例使學生對奇函數(shù)和偶函數(shù)的形和數(shù)的特征有了初

7、步的認識，此時再讓學生給奇函數(shù)和偶函數(shù)下定義應(yīng)是水到渠成. 合作交流 （1）強調(diào)定義中“任意”二字，說明函數(shù)的奇偶性在定義域上的一個整體性質(zhì)，它不同于函數(shù)的單調(diào)性. （2）奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域的特征是關(guān)于原點對稱. （3）奇函數(shù)與偶函數(shù)圖象的對稱性： 如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形. 反之，如果一個函數(shù)的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù). 如果一個函數(shù)是偶函數(shù)，則它的圖形是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù). 教師設(shè)計以下問題組織學生討論思考回答. 問題

8、1：奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義中有“任意”二字，說明函數(shù)的奇偶性是怎樣的一個性質(zhì)？與單調(diào)性有何區(qū)別？ 問題2：–x與x在幾何上有何關(guān)系？具有奇偶性的函數(shù)的定義域有何特征？ 問題3：結(jié)合函數(shù)f (x) =x3的圖象回答以下問題： （1）對于任意一個奇函數(shù)f (x)，圖象上的點P (x，f (x))關(guān)于原點對稱點P′的坐標是什么？點P′是否也在函數(shù)f (x)的圖象上？由此可得到怎樣的結(jié)論. （2）如果一個函數(shù)的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形，能否判斷它的奇偶性？ 學生通過回答問題3 可以把奇函數(shù)圖象的性質(zhì)總結(jié)出來，然后老師讓學生自己研究一下偶函數(shù)圖象的性質(zhì). 通過對三個問題的探討，

9、引導學生認識到：（1）函數(shù)的奇偶性 是函數(shù)在定義域上的一個整體性質(zhì)，它不同于單調(diào)性.（2）函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是一個函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件. （3）奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱. 成果展示 例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性； （1）f (x) = x + x3 +x5；（2）f (x) = x2 +1； （3）f (x) = x + 1；（4）f (x) = 0. 學生練習： 判斷下列函數(shù)的是否具有奇偶性： (1) f (x) = x + x3； (2) f (x) = – x2； (3) h (x) = x3 +1； (4) f (x) =

10、(x + 1) (x – 1)； 例2 研究函數(shù)y =的性質(zhì)并作出它的圖象. 學生練習： 1．判斷下列論斷是否正確： （1） 如果一個函數(shù)的定義域關(guān)于坐標原點對原對稱，則這個函數(shù)關(guān)于原點對稱；則這個函數(shù)為奇函數(shù)； （2）如果一個函數(shù)為偶函數(shù)，則它的定義關(guān)于坐標原點對稱， （3）如果一個函數(shù)定義域關(guān)于坐標原點對稱，則這個函數(shù)為偶函數(shù)； （4）如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則這個函數(shù)為偶函數(shù). 2．如果f (0) = a≠0，函數(shù)f (x)可以是奇函數(shù)嗎？可以是偶函數(shù)嗎？為什么？ 3.如果函數(shù)f (x)、g (x)為定義域相同的偶函數(shù)，試問F (x) =f (x) + g (x

11、)是不是偶函數(shù)？是不是奇函數(shù)？為什么？ 4．如圖，給出了奇函數(shù)y = f (x)的局x y O 4 2 總圖象，求f (– 4). 5．如圖，給出了偶函數(shù)y = f (x)的局部圖象，試比較f (1)與 f (3) 的大小. x y O – 3 2 – 1 1．選例1的第（1）小題板書來示范解題的步驟，其他例題讓幾個學生板演，其余學生在下面自己完成，針對板演的同學所出現(xiàn)的步驟上的問題進行學生做好總結(jié)歸納. 2．例2可讓學生來設(shè)計如何研究函數(shù)的性質(zhì)和圖象的方案，并根據(jù)學生提供的方案，點評方案的可行性，并比較哪種方案簡單. 3．做完例

12、1和例2后要求學生做練習，及時鞏固. 在學生練習過程中，教師做好巡視指導. 例1 解答案 （1）奇函數(shù) （2）偶函數(shù) （3）非奇非偶函數(shù) （4）既奇又偶函數(shù) 學生練習答案 （1）奇函數(shù) （2）偶函數(shù) （3）非奇非偶函數(shù) （4）偶函數(shù) 例2 偶函數(shù)（圖略） 學生練習 1．（1）錯 （2）錯 （3）錯 （4）對 2．不能為奇函數(shù)但可以是偶函數(shù) 3．偶函數(shù) ∵f (–x ) = f (x) g (–x) = g (x) ∴F (–x) = F (x) 4．f (–4) = – f (4) = –2. 5．∵f (–3)＞f (–1) 又f (–3) =

13、 f (3) f (–1) = f (1) ∴f (3)＞f (1) 1．通過例1解決如下問題： ①根據(jù)定義判斷一個函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)的方法和步驟是：第一步先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱；第二步判斷f (–x) = f (x)還是判斷f (–x) = – f (x). ②通過例1中的第（3）小題說明判斷函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). ③ 例1中的第（4）小題說明判斷函數(shù)的奇偶性先要看一下定義域是否關(guān)于原點對稱. ④ f (x) = 0既不奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)是函數(shù)值為0的常值函數(shù). 前提是定義域關(guān)于原點對稱. ⑤總結(jié)：對于一個函數(shù)來說，它的奇偶性有四種可能：是奇函數(shù)但

14、不是偶函數(shù)；是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)；既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). 2．對于例2主要讓學生體會學習了函數(shù)的奇偶性后為研究函數(shù)的性質(zhì)帶來的方便. 在此問題的處理上要先求一下函數(shù)的定義域，這是研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)，然后判斷函數(shù)圖象的對稱性，再根據(jù)奇、偶函數(shù)在y軸一側(cè)的圖象和性質(zhì)就可以知道在另一側(cè)的圖象和性質(zhì). 拓展延伸 設(shè)函數(shù)f (x)是定義在(–∞，0)∪(0，+∞)上的奇函數(shù)，又f (x)在(0，+∞)上是減函數(shù)，且f (x)＜0，試判斷函數(shù)F (x) =在(–∞，0)上的單調(diào)性，并給出證明. 證明：F (x)在（–∞，0）是中增函數(shù)，以下進行證明： 設(shè)x1，x2(–

15、∞，0)，且x1＜x2. ∵f (x)在（0，+∞）上是減函數(shù)，∴f (–x2) – f (–x1)＞0 ① 又∵f (x)在 (–∞，0)∪(0，+∞)上是奇函數(shù)，∴f (–x1) = – f (x1)，f (–x2) = – f (x2)， 由①式得 – f (x2) + f (x1) ＞0， 即f (x1) – f (x2)＞0. 當x1＜x2＜0時，F(xiàn) (x2) – F (x1) =， 又∵f (x)在(0，+∞)上總小于0， ∴f (x1) = – f (–x1)＞0，f (x2) = – f (–x2)＞0，f (x1)f (x2)＞0， 又f (x1) – f

16、 (x2)＞0，∴F (x2) – F (x1)＞0且△x = x2 – x1＞0， 故F (x) =在(–∞，0)上是增函數(shù). 聯(lián)系單調(diào)性的知識，進一步加深對奇偶性的理解。 歸納總結(jié) 從知識、方法兩個方面來對本節(jié)課的內(nèi)容進行歸納總結(jié). 讓學生談本節(jié)課的收獲，并進行反思. 關(guān)注學生的自主體驗，反思和發(fā)表本堂課的體驗和收獲. 布置作業(yè) 1.3習題 學生獨立完成 通過分層作業(yè)使學生進一步鞏固本節(jié)課所學內(nèi)容. 并為學有余力和學習興趣濃厚的學生提供進一步學習的機會. 七、板書設(shè)計 函數(shù)的奇偶性 問題引領(lǐng) 自主探究 合作交流 成果展示 拓展延伸 歸納總結(jié) 作業(yè)布置 八、設(shè)計反思：根據(jù)課程改革的目標，實現(xiàn)以人的全面發(fā)展為本的教學理念，并根據(jù)誘思探究學科教學論，改變傳統(tǒng)教學過于注重傳授知識的傾向，讓學生在課堂上真正動起來，切實實現(xiàn)學生的主體地位。但是函數(shù)奇偶性這節(jié)內(nèi)容較為抽象，對學生分析問題解決問題的能力要求比較高，所以創(chuàng)設(shè)情景時聯(lián)系函數(shù)與圖像產(chǎn)生一一對應(yīng)的關(guān)系，環(huán)環(huán)相扣，并讓學生小組合作、研究探索、互相補充、發(fā)現(xiàn)共性、找出規(guī)律。