【志鴻優(yōu)化設(shè)計】（山東專用）2014屆高考數(shù)學一輪復(fù)習 第二章函數(shù)2.4一次函數(shù)、二次函數(shù)教學案 理 新人教A版

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1、 2.4　一次函數(shù)、二次函數(shù) 考綱要求 1．理解并掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì)． 2．會求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值． 3．能用二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式之間的聯(lián)系去解決有關(guān)問題． 1．一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義及性質(zhì) 函數(shù) 名稱 一次函數(shù) 二次函數(shù) 解析式 y＝kx＋b(k≠0) y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 圖象 k＞0 k＜0 a＞0 a＜0 定義域 __________ __________ 值域 __________ __________ __________ 單調(diào)性 在(－∞，＋∞)

2、上是______ 在(－∞，＋∞)上是______ 在________上是減函數(shù)； 在________上是增函數(shù) 在________上是增函數(shù)； 在________上是減函數(shù) 奇偶性 當b≠0時，__________； 當b＝0時，______ 當b≠0時，__________； 當b＝0時，______ 周期性 非周期函數(shù) 非周期函數(shù) 頂點 ____________ 對稱性 過原點時，關(guān)于____對稱 k＝0時，關(guān)于____對稱 圖象關(guān)于直線________成軸對稱圖形 2．二次函數(shù)的解析式 (1)一般式：f(x)＝______________

3、； (2)頂點式：若二次函數(shù)的頂點坐標為(h，k)，則其解析式為：f(x)＝______________； (3)兩根式：若相應(yīng)一元二次方程的兩根為x1，x2，則其解析式為f(x)＝______________. 1．在同一坐標系內(nèi)，函數(shù)y＝xa(a＜0)和y＝ax＋的圖象可能是如圖中的(　　)． 2．“a＜0”是“方程ax2＋1＝0有一個負數(shù)根”的(　　)． A．必要不充分條件 B．充分必要條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件 3．函數(shù)f(x)＝4x2－mx＋5在區(qū)間[－2，＋∞)上是增函數(shù)，則f(1)的取值范圍是__________． 4．已知函數(shù)

4、f(x)＝x2－2x＋2的定義域和值域均為[1，b]，則b＝__________. 5．如果函數(shù)f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則函數(shù)f(x)的最小值為__________． 一、一次函數(shù)的概念與性質(zhì)的應(yīng)用 【例1－1】已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，則函數(shù)f(x)＝__________. 【例1－2】已知函數(shù)y＝(2m－1)x＋1－3m，m為何值時， (1)這個函數(shù)為正比例函數(shù)； (2)這個函數(shù)為一次函數(shù)； (3)函數(shù)值y隨x的增大而減小． 方法提煉 一次函數(shù)y＝kx＋b中斜率k與截距

5、b的認識：一次函數(shù)y＝kx＋b中的k滿足k≠0這一條件，當k＝0時，函數(shù)y＝b，它不再是一次函數(shù)，通常稱為常數(shù)函數(shù)，它的圖象是一條與x軸平行或重合的直線． 請做演練鞏固提升3 二、求二次函數(shù)的解析式 【例2】已知二次函數(shù)f(x)同時滿足條件： (1)f(1＋x)＝f(1－x)； (2)f(x)的最大值為15； (3)f(x)＝0的兩根立方和等于17. 求f(x)的解析式． 方法提煉 在求二次函數(shù)解析式時，要靈活地選擇二次函數(shù)解析式的表達形式： (1)已知三個點的坐標，應(yīng)選擇一般形式； (2)已知頂點坐標或?qū)ΨQ軸或最值，應(yīng)選擇頂點式； (3)已知函數(shù)圖象與x軸的交點坐標，

6、應(yīng)選擇兩根式． 提醒：求二次函數(shù)的解析式時，如果選用的形式不當，引入的系數(shù)過多，會加大運算量，易出錯． 請做演練鞏固提升2 三、二次函數(shù)的綜合應(yīng)用 【例3－1】設(shè)函數(shù)f(x)＝x|x|＋bx＋c，給出下列四個命題： ①c＝0時，f(x)是奇函數(shù)； ②b＝0，c＞0時，方程f(x)＝0只有一個實根； ③f(x)的圖象關(guān)于(0，c)對稱； ④方程f(x)＝0至多有兩個實根． 其中正確的命題是(　　)． A．①④ B．①③ C．①②③ D．②④ 【例3－2】(2012北京高考)已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若?x∈R，f(

7、x)＜0或g(x)＜0，則m的取值范圍是__________． 方法提煉 1．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與各系數(shù)間的關(guān)系： (1)a與拋物線的開口方向有關(guān)； (2)c與拋物線在y軸上的截距有關(guān)； (3)－與拋物線的對稱軸有關(guān)； (4)b2－4ac與拋物線與x軸交點的個數(shù)有關(guān)． 2．關(guān)于不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)在R上的恒成立問題： 解集為R?或 請做演練鞏固提升5 分類討論思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用 【典例】(12分)設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|. (1)若f(0)≥1，求a的取值范圍； (2)求f(x)的最小值

8、； (3)設(shè)函數(shù)h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式h(x)≥1的解集． 分析：(1)求a的取值范圍，是尋求關(guān)于a的不等式，解不等式即可．(2)求f(x)的最小值，由于f(x)可化為分段函數(shù)，分段函數(shù)的最值分段求，然后綜合在一起．(3)對a討論時，要找到恰當?shù)姆诸悩藴剩? 規(guī)范解答：(1)因為f(0)＝－a|－a|≥1，所以－a＞0， 即a＜0，由a2≥1知a≤－1， 因此，a的取值范圍為(－∞，－1]．(3分) (2)記f(x)的最小值為g(a)，則有 f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a| ＝ 當a≥0時，f(－a)＝－2a2， 由①②

9、知f(x)≥－2a2，此時g(a)＝－2a2. 當a＜0時，f＝a2，若x＞a， 則由①知f(x)≥a2. 若x≤a，由②知f(x)≥2a2＞a2. 此時g(a)＝a2， 綜上，得g(a)＝.(9分) (3)①當a∈∪時，解集為(a，＋∞)； ②當a∈時，解集為； ③當a∈時，解集為 ∪.(12分) 答題指導(dǎo)： 1．分類討論的思想是高考重點考查的數(shù)學思想方法之一，本題充分體現(xiàn)了分類討論的思想方法． 2．在解答本題時有兩點容易造成失分： 一是求實數(shù)a的值時，討論的過程中沒注意a自身的取值范圍，易出錯；二是求函數(shù)最值時，分類討論的結(jié)果不能寫在一起，不能得出最后的結(jié)論．

10、3．解決函數(shù)問題時，以下幾點容易造成失分： (1)含絕對值問題，去絕對值符號，易出現(xiàn)計算錯誤； (2)分段函數(shù)求最值時要分段求，最后寫在一起時，沒有比較大小或不會比較出大小關(guān)系； (3)解一元二次不等式時，不能與二次函數(shù)、一元二次方程聯(lián)系在一起，思路受阻． 4．對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)給定了定義域為一個區(qū)間[k1，k2]時，利用配方法求函數(shù)的最值是極其危險的，一般要討論函數(shù)圖象的對稱軸在區(qū)間外、內(nèi)的情況，有時要討論下列四種情況： ①－＜k1；②k1≤－＜；③≤－＜k2；④－≥k2.對于這種情況，也可以利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)在閉區(qū)間的最值方法求最值． 1．一次函數(shù)y＝

11、ax＋b與二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在同一坐標系中的圖象大致是(　　)． 2．若二次函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝1，則f(x)＝(　　)． A．x2＋x B．x2－x＋1 C．x2＋x－1 D．x2－x－1 3．已知一次函數(shù)f(x)滿足f[f(x)]＝3x＋2，則f(x)＝__________. 4．(2012重慶高考)若f(x)＝(x＋a)(x－4)為偶函數(shù)，則實數(shù)a＝__________. 5．函數(shù)f(x)＝ax2＋ax－1，若f(x)＜0在R上恒成立，則a的取值范圍是__________． 參考答案 基礎(chǔ)梳理自測

12、 知識梳理 1．R　R　R　　　增函數(shù)　減函數(shù)　　　　　非奇非偶函數(shù)　奇函數(shù)　非奇非偶函數(shù)　偶函數(shù)　　原點　y軸　x＝－ 2．(1)ax2＋bx＋c(a≠0)　(2)a(x－h(huán))2＋k(a≠0)　(3)a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 基礎(chǔ)自測 1．B　2．B 3．[25，＋∞)　解析：由題意知≤－2， ∴m≤－16，∴f(1)＝9－m≥25. 4．2　解析：∵f(x)＝(x－1)2＋1， ∴f(x)在[1，b]上是增函數(shù)， f(x)max＝f(b)， ∴f(b)＝b，即b2－2b＋2＝b. ∴b2－3b＋2＝0.∴b＝2或b＝1(舍)． 5．5　解析：由題意知－＝

13、1， 解得a＝－4，∴b＝6. 則f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5， 當x∈[－4,6]時，f(x)min＝5. 考點探究突破 【例1－1】　2x＋7　解析：設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0)，則 3f(x＋1)－2f(x－1) ＝3[k(x＋1)＋b]－2[k(x－1)＋b] ＝3k(x＋1)＋3b－2k(x－1)－2b ＝kx＋5k＋b， 由題意得，kx＋5k＋b＝2x＋17， ∴解得 ∴f(x)＝2x＋7. 【例1－2】　解：(1)當 即m＝時，函數(shù)為正比例函數(shù)． (2)當2m－1≠0，即m≠時，函數(shù)為一次函數(shù)． (3)當2m－1＜0，即m＜時，函數(shù)

14、為減函數(shù)，y隨x的增大而減?。? 【例2】　解：依條件，設(shè) f(x)＝a(x－1)2＋15(a＜0)， 即f(x)＝ax2－2ax＋a＋15. 令f(x)＝0，即ax2－2ax＋a＋15＝0， ∴x1＋x2＝2，x1x2＝1＋. 而x13＋x23＝(x1＋x2)3－3x1x2(x1＋x2) ＝23－32＝2－， ∴2－＝17，則a＝－6. ∴f(x)＝－6x2＋12x＋9. 【例3－1】　C　解析：c＝0時，f(－x)＝－x|－x|＋b(－x)＝－x|x|－bx＝－f(x)，故f(x)是奇函數(shù)，排除D； b＝0，c＞0時，f(x)＝x|x|＋c＝0， ∴x≥0時，x2＋c

15、＝0無解，x＜0時，f(x)＝－x2＋c＝0，∴x＝－，只有一個實數(shù)根，排除A，B，故選C. 【例3－2】　(－4,0)　解析：由題意可知，m≥0時不能保證對?x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0成立． (1)當m＝－1時，f(x)＝－(x＋2)2，g(x)＝2x－2，畫出圖象①，顯然滿足條件； (2)當－1＜m＜0時，2m＞－(m＋3)，要使其滿足條件，則需解得－1＜m＜0，如圖②； (3)當m＜－1時，－(m＋3)＞2m，要使其滿足條件，則需解得－4＜m＜－1，如圖②. 綜上可知，m的取值范圍為(－4,0)． 演練鞏固提升 1．C 2．B　解析：令f(x)＝ax2＋bx＋

16、1(a≠0)， ∵f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴2ax＋(a＋b)＝2x. ∴得 ∴f(x)＝x2－x＋1，故選B. 3．x＋－1或－x－－1 解析：令f(x)＝ax＋b， 則f[f(x)]＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝3x＋2. ∴∴或 ∴f(x)＝x＋－1或f(x)＝－x－－1. 4．4　解析：f(x)＝x2＋(a－4)x－4a.因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(－x)＝x2＋(4－a)x－4a＝x2＋(a－4)x－4a，a－4＝4－a，a＝4. 5．－4＜a≤0　解析：當a＝0時，f(x)＝－1＜0， 當a≠0時，若f(x)＜0在R上恒成立， 則有即－4＜a＜0. 綜上得－4＜a≤0. 6