【志鴻優(yōu)化設計】(山東專用)2014屆高考數(shù)學一輪復習 第二章函數(shù)2.4一次函數(shù)、二次函數(shù)教學案 理 新人教A版

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1、 2.4 一次函數(shù)、二次函數(shù) 考綱要求 1.理解并掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì). 2.會求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值. 3.能用二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式之間的聯(lián)系去解決有關問題. 1.一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義及性質(zhì) 函數(shù) 名稱 一次函數(shù) 二次函數(shù) 解析式 y=kx+b(k≠0) y=ax2+bx+c(a≠0) 圖象 k>0 k<0 a>0 a<0 定義域 __________ __________ 值域 __________ __________ __________ 單調(diào)性 在(-∞,+∞)

2、上是______ 在(-∞,+∞)上是______ 在________上是減函數(shù); 在________上是增函數(shù) 在________上是增函數(shù); 在________上是減函數(shù) 奇偶性 當b≠0時,__________; 當b=0時,______ 當b≠0時,__________; 當b=0時,______ 周期性 非周期函數(shù) 非周期函數(shù) 頂點 ____________ 對稱性 過原點時,關于____對稱 k=0時,關于____對稱 圖象關于直線________成軸對稱圖形 2.二次函數(shù)的解析式 (1)一般式:f(x)=______________

3、; (2)頂點式:若二次函數(shù)的頂點坐標為(h,k),則其解析式為:f(x)=______________; (3)兩根式:若相應一元二次方程的兩根為x1,x2,則其解析式為f(x)=______________. 1.在同一坐標系內(nèi),函數(shù)y=xa(a<0)和y=ax+的圖象可能是如圖中的(  ). 2.“a<0”是“方程ax2+1=0有一個負數(shù)根”的(  ). A.必要不充分條件 B.充分必要條件 C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件 3.函數(shù)f(x)=4x2-mx+5在區(qū)間[-2,+∞)上是增函數(shù),則f(1)的取值范圍是__________. 4.已知函數(shù)

4、f(x)=x2-2x+2的定義域和值域均為[1,b],則b=__________. 5.如果函數(shù)f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的圖象關于直線x=1對稱,則函數(shù)f(x)的最小值為__________. 一、一次函數(shù)的概念與性質(zhì)的應用 【例1-1】已知f(x)是一次函數(shù),且滿足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,則函數(shù)f(x)=__________. 【例1-2】已知函數(shù)y=(2m-1)x+1-3m,m為何值時, (1)這個函數(shù)為正比例函數(shù); (2)這個函數(shù)為一次函數(shù); (3)函數(shù)值y隨x的增大而減?。? 方法提煉 一次函數(shù)y=kx+b中斜率k與截距

5、b的認識:一次函數(shù)y=kx+b中的k滿足k≠0這一條件,當k=0時,函數(shù)y=b,它不再是一次函數(shù),通常稱為常數(shù)函數(shù),它的圖象是一條與x軸平行或重合的直線. 請做演練鞏固提升3 二、求二次函數(shù)的解析式 【例2】已知二次函數(shù)f(x)同時滿足條件: (1)f(1+x)=f(1-x); (2)f(x)的最大值為15; (3)f(x)=0的兩根立方和等于17. 求f(x)的解析式. 方法提煉 在求二次函數(shù)解析式時,要靈活地選擇二次函數(shù)解析式的表達形式: (1)已知三個點的坐標,應選擇一般形式; (2)已知頂點坐標或?qū)ΨQ軸或最值,應選擇頂點式; (3)已知函數(shù)圖象與x軸的交點坐標,

6、應選擇兩根式. 提醒:求二次函數(shù)的解析式時,如果選用的形式不當,引入的系數(shù)過多,會加大運算量,易出錯. 請做演練鞏固提升2 三、二次函數(shù)的綜合應用 【例3-1】設函數(shù)f(x)=x|x|+bx+c,給出下列四個命題: ①c=0時,f(x)是奇函數(shù); ②b=0,c>0時,方程f(x)=0只有一個實根; ③f(x)的圖象關于(0,c)對稱; ④方程f(x)=0至多有兩個實根. 其中正確的命題是(  ). A.①④ B.①③ C.①②③ D.②④ 【例3-2】(2012北京高考)已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2.若?x∈R,f(

7、x)<0或g(x)<0,則m的取值范圍是__________. 方法提煉 1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與各系數(shù)間的關系: (1)a與拋物線的開口方向有關; (2)c與拋物線在y軸上的截距有關; (3)-與拋物線的對稱軸有關; (4)b2-4ac與拋物線與x軸交點的個數(shù)有關. 2.關于不等式ax2+bx+c>0(<0)在R上的恒成立問題: 解集為R?或 請做演練鞏固提升5 分類討論思想在二次函數(shù)中的應用 【典例】(12分)設a為實數(shù),函數(shù)f(x)=2x2+(x-a)|x-a|. (1)若f(0)≥1,求a的取值范圍; (2)求f(x)的最小值

8、; (3)設函數(shù)h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接寫出(不需給出演算步驟)不等式h(x)≥1的解集. 分析:(1)求a的取值范圍,是尋求關于a的不等式,解不等式即可.(2)求f(x)的最小值,由于f(x)可化為分段函數(shù),分段函數(shù)的最值分段求,然后綜合在一起.(3)對a討論時,要找到恰當?shù)姆诸悩藴剩? 規(guī)范解答:(1)因為f(0)=-a|-a|≥1,所以-a>0, 即a<0,由a2≥1知a≤-1, 因此,a的取值范圍為(-∞,-1].(3分) (2)記f(x)的最小值為g(a),則有 f(x)=2x2+(x-a)|x-a| = 當a≥0時,f(-a)=-2a2, 由①②

9、知f(x)≥-2a2,此時g(a)=-2a2. 當a<0時,f=a2,若x>a, 則由①知f(x)≥a2. 若x≤a,由②知f(x)≥2a2>a2. 此時g(a)=a2, 綜上,得g(a)=.(9分) (3)①當a∈∪時,解集為(a,+∞); ②當a∈時,解集為; ③當a∈時,解集為 ∪.(12分) 答題指導: 1.分類討論的思想是高考重點考查的數(shù)學思想方法之一,本題充分體現(xiàn)了分類討論的思想方法. 2.在解答本題時有兩點容易造成失分: 一是求實數(shù)a的值時,討論的過程中沒注意a自身的取值范圍,易出錯;二是求函數(shù)最值時,分類討論的結(jié)果不能寫在一起,不能得出最后的結(jié)論.

10、3.解決函數(shù)問題時,以下幾點容易造成失分: (1)含絕對值問題,去絕對值符號,易出現(xiàn)計算錯誤; (2)分段函數(shù)求最值時要分段求,最后寫在一起時,沒有比較大小或不會比較出大小關系; (3)解一元二次不等式時,不能與二次函數(shù)、一元二次方程聯(lián)系在一起,思路受阻. 4.對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)給定了定義域為一個區(qū)間[k1,k2]時,利用配方法求函數(shù)的最值是極其危險的,一般要討論函數(shù)圖象的對稱軸在區(qū)間外、內(nèi)的情況,有時要討論下列四種情況: ①-<k1;②k1≤-<;③≤-<k2;④-≥k2.對于這種情況,也可以利用導數(shù)法求函數(shù)在閉區(qū)間的最值方法求最值. 1.一次函數(shù)y=

11、ax+b與二次函數(shù)y=ax2+bx+c在同一坐標系中的圖象大致是(  ). 2.若二次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)-f(x)=2x,f(0)=1,則f(x)=(  ). A.x2+x B.x2-x+1 C.x2+x-1 D.x2-x-1 3.已知一次函數(shù)f(x)滿足f[f(x)]=3x+2,則f(x)=__________. 4.(2012重慶高考)若f(x)=(x+a)(x-4)為偶函數(shù),則實數(shù)a=__________. 5.函數(shù)f(x)=ax2+ax-1,若f(x)<0在R上恒成立,則a的取值范圍是__________. 參考答案 基礎梳理自測

12、 知識梳理 1.R R R   增函數(shù) 減函數(shù)     非奇非偶函數(shù) 奇函數(shù) 非奇非偶函數(shù) 偶函數(shù)  原點 y軸 x=- 2.(1)ax2+bx+c(a≠0) (2)a(x-h(huán))2+k(a≠0) (3)a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 基礎自測 1.B 2.B 3.[25,+∞) 解析:由題意知≤-2, ∴m≤-16,∴f(1)=9-m≥25. 4.2 解析:∵f(x)=(x-1)2+1, ∴f(x)在[1,b]上是增函數(shù), f(x)max=f(b), ∴f(b)=b,即b2-2b+2=b. ∴b2-3b+2=0.∴b=2或b=1(舍). 5.5 解析:由題意知-=

13、1, 解得a=-4,∴b=6. 則f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5, 當x∈[-4,6]時,f(x)min=5. 考點探究突破 【例1-1】 2x+7 解析:設f(x)=kx+b(k≠0),則 3f(x+1)-2f(x-1) =3[k(x+1)+b]-2[k(x-1)+b] =3k(x+1)+3b-2k(x-1)-2b =kx+5k+b, 由題意得,kx+5k+b=2x+17, ∴解得 ∴f(x)=2x+7. 【例1-2】 解:(1)當 即m=時,函數(shù)為正比例函數(shù). (2)當2m-1≠0,即m≠時,函數(shù)為一次函數(shù). (3)當2m-1<0,即m<時,函數(shù)

14、為減函數(shù),y隨x的增大而減小. 【例2】 解:依條件,設 f(x)=a(x-1)2+15(a<0), 即f(x)=ax2-2ax+a+15. 令f(x)=0,即ax2-2ax+a+15=0, ∴x1+x2=2,x1x2=1+. 而x13+x23=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2) =23-32=2-, ∴2-=17,則a=-6. ∴f(x)=-6x2+12x+9. 【例3-1】 C 解析:c=0時,f(-x)=-x|-x|+b(-x)=-x|x|-bx=-f(x),故f(x)是奇函數(shù),排除D; b=0,c>0時,f(x)=x|x|+c=0, ∴x≥0時,x2+c

15、=0無解,x<0時,f(x)=-x2+c=0,∴x=-,只有一個實數(shù)根,排除A,B,故選C. 【例3-2】 (-4,0) 解析:由題意可知,m≥0時不能保證對?x∈R,f(x)<0或g(x)<0成立. (1)當m=-1時,f(x)=-(x+2)2,g(x)=2x-2,畫出圖象①,顯然滿足條件; (2)當-1<m<0時,2m>-(m+3),要使其滿足條件,則需解得-1<m<0,如圖②; (3)當m<-1時,-(m+3)>2m,要使其滿足條件,則需解得-4<m<-1,如圖②. 綜上可知,m的取值范圍為(-4,0). 演練鞏固提升 1.C 2.B 解析:令f(x)=ax2+bx+

16、1(a≠0), ∵f(x+1)-f(x)=2x, ∴2ax+(a+b)=2x. ∴得 ∴f(x)=x2-x+1,故選B. 3.x+-1或-x--1 解析:令f(x)=ax+b, 則f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=3x+2. ∴∴或 ∴f(x)=x+-1或f(x)=-x--1. 4.4 解析:f(x)=x2+(a-4)x-4a.因為f(x)為偶函數(shù),所以f(-x)=x2+(4-a)x-4a=x2+(a-4)x-4a,a-4=4-a,a=4. 5.-4<a≤0 解析:當a=0時,f(x)=-1<0, 當a≠0時,若f(x)<0在R上恒成立, 則有即-4<a<0. 綜上得-4<a≤0. 6

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