高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第7章學(xué)案36
《高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第7章學(xué)案36》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第7章學(xué)案36(9頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 精品資料 學(xué)案36 直接證明與間接證明 導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過(guò)程及特點(diǎn).2.了解間接證明的一種基本方法——反證法,了解反證法的思考過(guò)程及特點(diǎn). 自主梳理 1.直接證明 (1)綜合法 ①定義:從已知條件出發(fā),以______________________為依據(jù),逐步下推,直到推出所要證明的結(jié)論為止,這種證明方法叫做綜合法. ②框圖表示:→→→…→(其中P表示已知條件,Q表示要證的結(jié)論). (2)分析法 ①定義:從問(wèn)題的結(jié)論出發(fā),追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的
2、條件,逐步上溯,直到使________________和______________________為止.這種證明方法叫做分析法. ②框圖表示:→→→…→. 2.間接證明 反證法:假設(shè)原命題________(即在原命題的條件下,結(jié)論不成立),經(jīng)過(guò)正確的推理,最后得出________,因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明了原命題成立,這樣的證明方法叫做反證法. 自我檢測(cè) 1.分析法是從要證的結(jié)論出發(fā),尋求使它成立的________條件.(填“充分”、“必要”或“充要”) 2.(2010揭陽(yáng)高三統(tǒng)考)用反證法證明“如果a>b,那么>”的假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是__________________. 3.設(shè)
3、a、b、c是互不相等的正數(shù),則下列不等式中不恒成立的是________.(填序號(hào)). ①|(zhì)a-c|≤|a-b|+|c-b|; ②a2+≥a+; ③-<-; ④|a-b|+≥2. 4.已知a+b>0,則+與+的大小關(guān)系為_(kāi)___________________. 5.(2010東北三省四市聯(lián)考)設(shè)x、y、z∈R+,a=x+,b=y(tǒng)+,c=z+,證明a,b,c中至少有一個(gè)不小于2. 探究點(diǎn)一 綜合法 例1 已知a,b,c都是實(shí)數(shù),求證:a2+b2+c2≥(a+b+c)2≥ab+bc+ca. 變式遷移1 設(shè)a,b,c>0,證明
4、: ++≥a+b+c. 探究點(diǎn)二 分析法 例2 若a,b,c是不全相等的正數(shù),求證: lg +lg +lg >lg a+lg b+lg c. 變式遷移2 已知a>0,求證: -≥a+-2. 探究點(diǎn)三 反證法 例3 若x,y都是正實(shí)數(shù),且x+y>2, 求證:<2與<2中至少有一個(gè)成立. 式遷移3 若a,b,c均為實(shí)數(shù),且a=x2-2y+,b=y(tǒng)2-2z+,c=z2-2x+.求證:a,b,c中至少有一個(gè)大于0. 轉(zhuǎn)化與化歸思想 例 (14分)(2
5、010上海改編)若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x-m|>|y-m|,則稱x比y遠(yuǎn)離m. (1)若x2-1比1遠(yuǎn)離0,求x的取值范圍. (2)對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b,證明:a3+b3比a2b+ab2遠(yuǎn)離2ab. 多角度審題 (1)本題屬新定義題,根據(jù)“遠(yuǎn)離”的含義列出不等式,然后加以求解.(2)第(2)小題,實(shí)質(zhì)是證明不等式|a3+b3-2ab|>|a2b+ab2-2ab|成立.證明時(shí)注意提取公因式及配方法的運(yùn)用. 【答題模板】 (1)解 由題意得>1, 即x2-1>1或x2-1<-1.[2分] 由x2-1>1,得x2>2,即x<-或x>; 由x2-1<-1,得x∈?. 綜上可知
6、x的取值范圍為(-∞,-)∪(,+∞).[4分] (2)證明 由題意知即證>成立.[8分] ∵a≠b,且a、b都為正數(shù), ∴===(a-b)2, = =ab(-)2=(a-b)2,[10分] 即證(a-b)2-(a-b)2>0, 即證(a-b-a+b)(a-b+a-b)>0, 需證>0,[12分] 即證(a+b)(a-b)2>0,∵a、b都為正數(shù)且a≠b, ∴上式成立.故原命題成立.[14分] 【突破思維障礙】 1.準(zhǔn)確理解題意,提煉出相應(yīng)不等式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵. 2.代數(shù)式|a3+b3-2ab|與|a2b+ab2-2ab|中的絕對(duì)值符號(hào)去掉為后續(xù)等價(jià)變形提供了方便.
7、 【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】 1.推理論證能力較差,絕對(duì)值符號(hào)不會(huì)去. 2.運(yùn)用能力較差,不能有效地進(jìn)行式子的等價(jià)變形或中間變形出錯(cuò). 1.綜合法是從條件推導(dǎo)到結(jié)論的思維方法,它是從已知條件出發(fā),經(jīng)過(guò)逐步的推理,最后達(dá)到待證的結(jié)論.即由因?qū)Ч? 2.分析法是從待證結(jié)論出發(fā),一步一步地尋求結(jié)論成立的充分條件,最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí).即執(zhí)果索因,用分析法尋找解題思路,再用綜合法書(shū)寫(xiě),這樣比較有條理,叫分析綜合法. 3.用反證法證明問(wèn)題的一般步驟: (1)反設(shè):假設(shè)命題的結(jié)論不成立,即假定原結(jié)論的反面為真;(否定結(jié)論) (2)歸謬:從反設(shè)和已知條件出發(fā),經(jīng)過(guò)一系列正確的邏
8、輯推理,得出矛盾結(jié)果;(推導(dǎo)矛盾) (3)存真:由矛盾結(jié)果斷定反設(shè)不真,從而肯定原結(jié)論成立.(結(jié)論成立) (滿分:90分) 一、填空題(每小題6分,共48分) 1.用反證法證明命題“若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有有理數(shù)根,那么a、b、c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”.假設(shè)內(nèi)容應(yīng)為_(kāi)___________________________________. 2.(2010無(wú)錫模擬)設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),給出下列條件: (1)a+b>1;(2)a+b=2;(3)a+b>2; (4)a2+b2>2;(5)ab>1. 其中能推出:“a,b中至少有一個(gè)大于1”的條件是
9、______.(填序號(hào)) 3.設(shè)a、b、c∈(0,+∞),P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,則“PQR>0”是“P、Q、R同時(shí)大于零”的________條件. 4.(2010安徽)若a>0,b>0,a+b=2,則下列不等式對(duì)一切滿足條件的a,b恒成立的是________(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)). ①ab≤1;②+≤;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3; ⑤+≥2. 5.如果△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值,則△A2B2C2是________三角形(填“銳角”“鈍角”或“直角”). 6.(2010江蘇前黃高級(jí)中學(xué)模擬)某同學(xué)準(zhǔn)備
10、用反證法證明如下一個(gè)問(wèn)題:函數(shù)f(x)在[0,1]上有意義,且f(0)=f(1),如果對(duì)于不同的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求證:|f(x1)-f(x2)|<.那么他的反設(shè)應(yīng)該是__________________________________________________ ________________________________________________________________________. 7.對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b定義運(yùn)算a*b=(a+1)(b+1)-1,給出以下結(jié)論: ①對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,c,有a*(b+c)
11、=(a*b)+(a*c); ②對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,c,有a*(b*c)=(a*b)*c; ③對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,有a*0=a.則以上結(jié)論正確的是________.(寫(xiě)出你認(rèn)為正確的結(jié)論的所有序號(hào)) 8.(2011天津)已知log2a+log2b≥1,則3a+9b的最小值為_(kāi)_______. 二、解答題(共42分) 9.(14分)已知非零向量a、b,a⊥b,求證:≤. 10.(14分)已知a、b、c>0,求證:a3+b3+c3≥(a2+b2+c2)(a+b+c). 11.(14分)已知a、b、c∈(0,1),求證:(1-a)b,(
12、1-b)c,(1-c)a不能同時(shí)大于. 學(xué)案36 直接證明與間接證明 答案 自主梳理 1.(1)①已知的定義、公理、定理 (2)①結(jié)論成立的條件 已知條件或已知事實(shí)吻合 2.不成立 矛盾 自我檢測(cè) 1.充分 解析 由分析法的定義可知. 2.≤ 解析 >的否定是≤. 3.④ 解析?、苓x項(xiàng)成立時(shí)需得證a-b>0.①中|a-b|+|c-b|≥|(a-b)-(c-b)|=|a-c|,②作差可證; ③移項(xiàng)平方可證. 4.+≥+ 解析?。剑? =(a-b)=. ∵a+b>0,(a-b)2≥0,∴≥0. ∴+≥+. 5.證明 假設(shè)a,b,
13、c均小于2,則a+b+c<6. ① 又a+b+c=x++y++z+ =(x+)+(y+)+(z+)≥6, 這與①式相矛盾,∴假設(shè)不正確. ∴a,b,c至少有一個(gè)不小于2. 課堂活動(dòng)區(qū) 例1 解題導(dǎo)引 綜合法證明不等式,要特別注意基本不等式的運(yùn)用和對(duì)題設(shè)條件的運(yùn)用.這里可從基本不等式相加的角度先證得a2+b2+c2≥ab+bc+ca成立,再進(jìn)一步得出結(jié)論. 證明 ∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca, 三式相加得a2+b2+c2≥ab+bc+ca, ∴3a2+3b2+3c2≥(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca) =(a+b+c)2. ∴a
14、2+b2+c2≥(a+b+c)2; ∵a2+b2+c2≥ab+bc+ca, ∴a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥ab+bc+ca+2(ab+bc+ca), ∴(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca). ∴原命題得證. 變式遷移1 證明 ∵a,b,c>0,根據(jù)基本不等式, 有+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c. 三式相加:+++a+b+c≥2(a+b+c). 即++≥a+b+c. 例2 解題導(dǎo)引 當(dāng)所給的條件簡(jiǎn)單,而所證的結(jié)論復(fù)雜,一般采用分析法.含有根號(hào)、對(duì)數(shù)符號(hào)、絕對(duì)值的不等式,若從題設(shè)不易推導(dǎo)時(shí),可以考慮分析法. 證明 要證lg+lg+lg>lg a+lg b+
15、lg c, 只需證lg>lg(abc), 只需證>abc.(中間結(jié)果) 因?yàn)閍,b,c是不全相等的正數(shù), 則≥>0,≥>0,≥>0. 且上述三式中的等號(hào)不全成立, 所以>abc.(中間結(jié)果) 所以lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c. 變式遷移2 證明 要證 -≥a+-2, 只要證 +2≥a++. ∵a>0,故只要證 2≥2, 即a2++4 +4 ≥a2+2++2+2, 從而只要證2≥, 只要證4≥2, 即a2+≥2,而該不等式顯然成立,故原不等式成立. 例3 解題導(dǎo)引 (1)當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”、“至少”、“惟一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí),宜用反證
16、法來(lái)證,反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾,矛盾可以是①與已知條件矛盾,②與假設(shè)矛盾,③與定義、公理、定理矛盾,④與事實(shí)矛盾等方面,反證法常常是解決某些“疑難”問(wèn)題的有力工具,是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器. (2)利用反證法證明問(wèn)題時(shí),要注意與之矛盾的定理不能是用本題的結(jié)論證明的定理,否則,將出現(xiàn)循環(huán)論證的錯(cuò)誤. 證明 假設(shè)<2和<2都不成立, 則有≥2和≥2同時(shí)成立, 因?yàn)閤>0且y>0, 所以1+x≥2y,且1+y≥2x, 兩式相加,得2+x+y≥2x+2y, 所以x+y≤2,這與已知條件x+y>2相矛盾, 因此<2與<2中至少有一個(gè)成立. 變式遷移3 證明 假設(shè)a,b,
17、c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0. ∵a=x2-2y+,b=y(tǒng)2-2z+,c=z2-2x+, ∴x2-2y++y2-2z++z2-2x+ =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+(π-3)≤0, ① 又∵(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0,π-3>0, ∴(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+(π-3)>0. ② ①式與②式矛盾, ∴假設(shè)不成立, 即a,b,c中至少有一個(gè)大于0. 課后練習(xí)區(qū) 1.假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù) 2.(3) 解析 若a=,b=,則a+b>1, 但a<1,b<1,故(1)推不出; 若a=b=1,則a+b=2,故(2
18、)推不出; 若a=-2,b=-3,則a2+b2>2,故(4)推不出; 若a=-2,b=-3,則ab>1,故(5)推不出; 對(duì)于(3),即a+b>2,則a,b中至少有一個(gè)大于1, 反證法:假設(shè)a≤1且b≤1, 則a+b≤2與a+b>2矛盾, 因此假設(shè)不成立,故a,b中至少有一個(gè)大于1. 3.充要 解析 必要性是顯然成立的,當(dāng)PQR>0時(shí),若P、Q、R不同時(shí)大于零,則其中兩個(gè)為負(fù),一個(gè)為正,不妨設(shè)P>0,Q<0,R<0,則Q+R=2c<0,這與c>0矛盾,即充分性也成立. 4.①③⑤ 解析?、賏b≤()2=1,成立. ②欲證+≤, 即證a+b+2≤2,即2≤0,顯然不成立.
19、 ③欲證a2+b2=(a+b)2-2ab≥2, 即證4-2ab≥2, 即ab≤1,由①知成立. ④a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)≥3 ?a2-ab+b2≥?(a+b)2-3ab≥ ?4-≥3ab?ab≤,由①知,ab≤不恒成立. ⑤欲證+≥2, 即證≥2,即ab≤1,由①知成立. 5.鈍角 解析 由條件知,△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0,則△A1B1C1是銳角三角形,假設(shè)△A2B2C2是銳角三角形, 由得 那么,A2+B2+C2=, 這與三角形內(nèi)角和為π相矛盾,所以假設(shè)不成立,所以△A2B2C2是鈍角三角形. 6.“?x1,x2∈[0,1],使
20、得|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,則|f(x1)-f(x2)|≥” 7.②③ 解析 按新定義,可以驗(yàn)證a*(b+c)≠(a*b)+(a*c); 所以①不成立;而a*(b*c)=(a*b)*c成立, a*0=(a+1)(0+1)-1=a.所以正確的結(jié)論是②③. 8.18 解析 由log2a+log2b≥1得log2(ab)≥1,即ab≥2, ∴3a+9b=3a+32b≥23(當(dāng)且僅當(dāng)3a=32b,即a=2b時(shí)“=”號(hào)成立). 又∵a+2b≥2≥4(當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)“=”成立), ∴3a+9b≥232=18. 即當(dāng)a=2b時(shí),3a+9b有最小值18. 9.證明
21、∵a⊥b,∴ab=0. (2分) 要證≤,只需證:|a|+|b|≤|a-b|, (6分) 平方得:|a|2+|b|2+2|a||b|≤2(|a|2+|b|2-2ab), (10分) 只需證:|a|2+|b|2-2|a||b|≥0, (12分) 即(|a|-|b|)2≥0,顯然成立.故原不等式得證. (14分) 10.證明 ∵a2+b2≥2ab,a、b、c>0, ∴(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b), (3分) ∴a3+b3+a2b+ab2≥2ab(a+b)=2a2b+2ab2, ∴a3+b3≥a2b+ab2.(7分) 同
22、理,b3+c3≥b2c+bc2,a3+c3≥a2c+ac2, 將三式相加得, 2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2.(10分) ∴3(a3+b3+c3)≥(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+(c3+c2a+c2b)=(a+b+c)(a2+b2+c2). ∴a3+b3+c3≥(a2+b2+c2)(a+b+c).(14分) 11.證明 方法一 假設(shè)三式同時(shí)大于, 即(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>,(3分) ∵a、b、c∈(0,1), ∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a>.(8分) 又(1-a)a≤2=,(10分) 同理(1-b)b≤,(1-c)c≤, ∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤,(12分) 這與假設(shè)矛盾,故原命題正確.(14分) 方法二 假設(shè)三式同時(shí)大于, ∵00,(2分) ≥ > =,(8分) 同理>,>,(10分) 三式相加得>,這是矛盾的,故假設(shè)錯(cuò)誤, ∴原命題正確.(14分)
- 溫馨提示:
1: 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
2: 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
3.本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
5. 裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 110中國(guó)人民警察節(jié)(筑牢忠誠(chéng)警魂感受別樣警彩)
- 2025正字當(dāng)頭廉字入心爭(zhēng)當(dāng)公安隊(duì)伍鐵軍
- XX國(guó)企干部警示教育片觀后感筑牢信仰之基堅(jiān)守廉潔底線
- 2025做擔(dān)當(dāng)時(shí)代大任的中國(guó)青年P(guān)PT青年思想教育微黨課
- 2025新年工作部署會(huì)圍繞六個(gè)干字提要求
- XX地區(qū)中小學(xué)期末考試經(jīng)驗(yàn)總結(jié)(認(rèn)真復(fù)習(xí)輕松應(yīng)考)
- 支部書(shū)記上黨課筑牢清廉信念為高質(zhì)量發(fā)展?fàn)I造風(fēng)清氣正的環(huán)境
- 冬季消防安全知識(shí)培訓(xùn)冬季用電防火安全
- 2025加強(qiáng)政治引領(lǐng)(政治引領(lǐng)是現(xiàn)代政黨的重要功能)
- 主播直播培訓(xùn)直播技巧與方法
- 2025六廉六進(jìn)持續(xù)涵養(yǎng)良好政治生態(tài)
- 員工職業(yè)生涯規(guī)劃方案制定個(gè)人職業(yè)生涯規(guī)劃
- 2024年XX地區(qū)黨建引領(lǐng)鄉(xiāng)村振興工作總結(jié)
- XX中小學(xué)期末考試經(jīng)驗(yàn)總結(jié)(認(rèn)真復(fù)習(xí)輕松應(yīng)考)
- 幼兒園期末家長(zhǎng)會(huì)長(zhǎng)長(zhǎng)的路慢慢地走