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1、 精品資料
學(xué)案37 數(shù)學(xué)歸納法
導(dǎo)學(xué)目標： 1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題．
自主梳理
1．歸納法
由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法叫歸納法．根據(jù)推理過程中考查的對象是涉及事物的全體或部分可分為完全歸納法和不完全歸納法．
2．數(shù)學(xué)歸納法
設(shè){Pn}是一個與正整數(shù)相關(guān)的命題集合，如果：(1)證明起始命題P1(或P0)成立；(2)在假設(shè)Pk成立的前提下，推出Pk＋1也成立，那么可以斷定{Pn}對一切正整數(shù)成立．
3．數(shù)學(xué)歸納法公理
(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值_
2、_________時命題成立．
(2)(歸納遞推)假設(shè)______________________時命題成立，證明當________時命題也成立．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．
自我檢測
1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝ (a≠1)”在驗證n＝1時，左端計算所得的項為_______________________________________________________________．
2．如果命題P(n)對于n＝k (k∈N*)時成立，則它對n＝k＋2也成立，又若P(n)對于n＝2時成立，則下列結(jié)論中正確的序號有___
3、_____．
①P(n)對所有正整數(shù)n成立；
②P(n)對所有正偶數(shù)n成立；
③P(n)對所有正奇數(shù)n成立；
④P(n)對所有大于1的正整數(shù)n成立．
3．證明<1＋＋＋＋…＋1)，當n＝2時，中間式子等于______________．
4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n2＋1對于n>n0的正整數(shù)n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取________．
5．在數(shù)列{an}中，a1＝1，且Sn，Sn＋1,2S1成等差數(shù)列(Sn表示數(shù)列{an}的前n項和)，則S2，S3，S4分別為______________；由此猜想Sn＝__________.
探究點一 用數(shù)
4、學(xué)歸納法證明等式
例1 對于n∈N*，用數(shù)學(xué)歸納法證明：
1n＋2(n－1)＋3(n－2)＋…＋(n－1)2＋n1
＝n(n＋1)(n＋2)．
變式遷移1 用數(shù)學(xué)歸納法證明：
對任意的n∈N*,1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.
探究點二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
例2 用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)，不等式…>均成立．
變式遷移2 已知m為正整數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：當x>－1時，(1＋x)m≥1＋mx.
探究點三 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題
例3 用數(shù)學(xué)歸納法證明：當n∈N*時，
5、an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．
變式遷移3 用數(shù)學(xué)歸納法證明：當n為正整數(shù)時，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．
從特殊到一般的思想
例 (14分)已知等差數(shù)列{an}的公差d大于0，且a2、a5是方程x2－12x＋27＝0的兩根，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，且Tn＝1－bn.
(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，試比較與Sn＋1的大小，并說明理由．
【答題模板】
解 (1)由已知得，又∵{an}的公差大于0，
∴a5>a2，∴a2＝3，a5＝9.
6、
∴d＝＝＝2，a1＝1，
∴an＝1＋(n－1)2＝2n－1.[2分]
∵Tn＝1－bn，∴b1＝，當n≥2時，Tn－1＝1－bn－1，
∴bn＝Tn－Tn－1＝1－bn－，
化簡，得bn＝bn－1，[4分]
∴{bn}是首項為，公比為的等比數(shù)列，即bn＝n－1＝，
∴an＝2n－1，bn＝.[6分]
(2)∵Sn＝n＝n2，∴Sn＋1＝(n＋1)2，＝.
以下比較與Sn＋1的大?。?
當n＝1時，＝，S2＝4，∴S5.[9分]
猜想：n≥4時，>Sn＋
7、1.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當n＝4時，已證．
②假設(shè)當n＝k (k∈N*，k≥4)時，>Sk＋1，
即>(k＋1)2.[11分]
那么，n＝k＋1時，＝＝3>3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1>[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1，∴n＝k＋1時，>Sn＋1也成立．
由①②可知n∈N*，n≥4時，>Sn＋1都成立．
綜上所述，當n＝1,2,3時，Sn＋1.[14分]
【突破思維障礙】
1．歸納——猜想——證明是高考重點考查的內(nèi)容之一，此類問題可分為歸納性問題和存在性問題，本例中歸納性問題需要從特殊情況入手，
8、通過觀察、分析、歸納、猜想，探索出一般規(guī)律．
2．數(shù)列是定義在N*上的函數(shù)，這與數(shù)學(xué)歸納法運用的范圍是一致的，并且數(shù)列的遞推公式與歸納原理實質(zhì)上是一致的，數(shù)列中有不少問題常用數(shù)學(xué)歸納法解決．
【易錯點剖析】
1．嚴格按照數(shù)學(xué)歸納法的三個步驟書寫，特別是對初始值的驗證不可省略，有時要取兩個(或兩個以上)初始值進行驗證；初始值的驗證是歸納假設(shè)的基礎(chǔ)．
2．在進行n＝k＋1命題證明時，一定要用n＝k時的命題，沒有用到該命題而推理證明的方法不是數(shù)學(xué)歸納法．
1．數(shù)學(xué)歸納法：先證明當n取第一個值n0時命題成立，然后假設(shè)當n＝k (k∈N*，k≥n0)時命題成立，并證明當n＝k＋1時命題
9、也成立，那么就證明了這個命題成立．這是因為第一步首先證明了n取第一個值n0時，命題成立，這樣假設(shè)就有了存在的基礎(chǔ)，至少k＝n0時命題成立，由假設(shè)合理推證出n＝k＋1時命題也成立，這實質(zhì)上是證明了一種循環(huán)，如驗證了n0＝1成立，又證明了n＝k＋1也成立，這就一定有n＝2成立，n＝2成立，則n＝3成立，n＝3成立，則n＝4也成立，如此反復(fù)以至無窮，對所有n≥n0的整數(shù)就都成立了．
2．(1)第①步驗證n＝n0使命題成立時n0不一定是1，是使命題成立的最小正整數(shù)．(2)第②步證明n＝k＋1時命題也成立的過程中一定要用到歸納遞推，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法．
(滿分：90分)
一、填空題(
10、每小題6分，共48分)
1．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當n是正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步時，正確的證法是________(填序號)．
①假設(shè)n＝k(k∈N*)時命題成立，證明n＝k＋1命題成立；
②假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))時命題成立，證明n＝k＋1命題成立；
③假設(shè)n＝2k＋1 (k∈N*)時命題成立，證明n＝k＋1命題成立；
④假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))時命題成立，證明n＝k＋2命題成立．
2．已知f(n)＝＋＋＋…＋，則f(n)中共有____________項；當n＝2時，f(2)＝____________.
3．如果命題P(n)對n＝k成立，則它對n＝k＋1也成
11、立，現(xiàn)已知P(n)對n＝4不成立，則下列結(jié)論正確的是________(填序號)．
①P(n)對n∈N*成立；
②P(n)對n>4且n∈N*成立；
③P(n)對n<4且n∈N*成立；
④P(n)對n≤4且n∈N*不成立．
4．(2010泰州模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當n＝k＋1時左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上
________________________________________________________________________.
5．(2010淮南調(diào)研)若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，則f(k＋1)與f(k)的遞推關(guān)系式是_
12、___________________．
6．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1＝n2 (n∈N*)”時，從n＝k到n＝k＋1時，該式左邊應(yīng)添加的代數(shù)式是________．
7．(2010南京模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋…＋>的過程中，由n＝k推導(dǎo)n＝k＋1時，不等式的左邊增加的式子是____________________．
8．凸n邊形有f(n)條對角線，凸n＋1邊形有f(n＋1)條對角線，則f(n＋1)＝f(n)＋________.
二、解答題(共42分)
9．(12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n (n∈N*)．
13、
10．(14分)數(shù)列{an}滿足an>0，Sn＝(an＋)，求S1，S2，猜想Sn，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．
11．(16分)(高考預(yù)測題)已知函數(shù)f(x)＝e－(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))．
(1)判斷f(x)的奇偶性；
(2)在(－∞，0)上求函數(shù)f(x)的極值；
(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當x>0時，對任意正整數(shù)n都有f()
14、有n＋2項，∴左端＝1＋a＋a2.
2．②
解析 由n＝2成立，根據(jù)遞推關(guān)系“P(n)對于n＝k時成立，則它對n＝k＋2也成立”，可以推出n＝4時成立，再推出n＝6時成立，…，依次類推，P(n)對所有正偶數(shù)n成立”．
3．1＋＋＋
解析 當n＝2時，中間的式子
1＋＋＋＝1＋＋＋.
4．5
解析 當n＝1時，21＝12＋1；
當n＝2時，22<22＋1；當n＝3時，23<32＋1；
當n＝4時，24<42＋1.而當n＝5時，25>52＋1，
∴n0＝5.
5.，，，
課堂活動區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的一些等式命題，關(guān)鍵在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律
15、：等式的兩邊各有多少項，由n＝k到n＝k＋1時，等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項．
證明 設(shè)f(n)＝1n＋2(n－1)＋3(n－2)＋…＋(n－1)2＋n1.
(1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝1，等式成立；
(2)假設(shè)當n＝k (k≥1且k∈N*)時等式成立，
即1k＋2(k－1)＋3(k－2)＋…＋(k－1)2＋k1
＝k(k＋1)(k＋2)，
則當n＝k＋1時，
f(k＋1)＝1(k＋1)＋2[(k＋1)－1]＋3[(k＋1)－2]＋…＋[(k＋1)－1]2＋(k＋1)1
＝f(k)＋1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)
＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋1＋1
16、)
＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)．
由(1)(2)可知當n∈N*時等式都成立．
變式遷移1 證明 (1)當n＝1時，
左邊＝1－＝＝＝右邊，
∴等式成立．
(2)假設(shè)當n＝k (k≥1，k∈N*)時，等式成立，即
1－＋－＋…＋－
＝＋＋…＋.
則當n＝k＋1時，
1－＋－＋…＋－＋－
＝＋＋…＋＋－
＝＋＋…＋＋＋
＝＋＋…＋＋＋，
即當n＝k＋1時，等式也成立，
所以由(1)(2)知對任意的n∈N*等式都成立．
例2 解題導(dǎo)引 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題時，從n＝k到n＝k＋1的推證過程中，證明不等式的常用方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等．
證明
17、 (1)當n＝2時，左邊＝1＋＝；右邊＝.
∵左邊>右邊，∴不等式成立．
(2)假設(shè)當n＝k (k≥2，且k∈N*)時不等式成立，
即…>.
則當n＝k＋1時，
…
>＝＝
>＝＝.
∴當n＝k＋1時，不等式也成立．
由(1)(2)知，對于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立．
變式遷移2 證明 (1)當m＝1時，原不等式成立；
當m＝2時，左邊＝1＋2x＋x2，右邊＝1＋2x，
因為x2≥0，所以左邊≥右邊，原不等式成立；
(2)假設(shè)當m＝k(k≥2，k∈N*)時，不等式成立，
即(1＋x)k≥1＋kx，則當m＝k＋1時，
∵x>－1，∴1＋x>0.
于是在不等
18、式(1＋x)k≥1＋kx兩邊同時乘以1＋x得，
(1＋x)k(1＋x)≥(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k＋1)x＋kx2
≥1＋(k＋1)x.
所以(1＋x)k＋1≥1＋(k＋1)x，
即當m＝k＋1時，不等式也成立．
綜合(1)(2)知，對一切正整數(shù)m，不等式都成立．
例3 解題導(dǎo)引 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題，由k過渡到k＋1時常使用“配湊法”．在證明n＝k＋1成立時，先將n＝k＋1時的原式進行分拆、重組或者添加項等方式進行整理，最終將其變成一個或多個部分的和，其中每個部分都能被約定的數(shù)(或式子)整除，從而由部分的整除性得出整體的整除性，最終證得n＝k＋1時也成立．
證明 (1
19、)當n＝1時，a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除．
(2)假設(shè)當n＝k (k≥1且k∈N*)時，
ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，
則當n＝k＋1時，
ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝aak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1
＝aak＋1＋a(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1
＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1，
由假設(shè)可知a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]能被a2＋a＋1整除，
∴ak＋2＋(a＋1)2k＋1也能被a2＋a＋1整除，
即n＝k＋1時命題也成立．
綜合(1)(2)知，
20、對任意的n∈N*命題都成立．
變式遷移3 證明 (1)當n＝1時，f(1)＝34－8－9＝64，
命題顯然成立．
(2)假設(shè)當n＝k (k≥1，k∈N*)時，
f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．則當n＝k＋1時，
32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋98k＋99－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)
即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)
∴n＝k＋1時命題也成立．
綜合(1)(2)可知，對任意的n∈N*，命題都成立．
課后練習區(qū)
1．④
解析?、?、②、③中，k＋1不一定表示奇數(shù)，只有④中k為奇數(shù)，k＋2
21、為奇數(shù)．
2．n2－n＋1 ＋＋
3．④
解析 由題意可知，P(n)對n＝3不成立(否則P(n)對n＝4也成立)．同理可推P(n)對n＝2，n＝1也不成立．
4．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
解析 ∵當n＝k時，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，
當n＝k＋1時，
左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，
∴當n＝k＋1時，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上
(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.
5．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
解析 ∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2
∴f(k＋
22、1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，
∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
6．2k＋1
解析 ∵當n＝k＋1時，
左邊＝1＋2＋…＋k＋(k＋1)＋k＋…＋2＋1，
∴從n＝k到n＝k＋1時，應(yīng)添加的代數(shù)式為(k＋1)＋k＝2k＋1.
7.
解析 不等式的左邊增加的式子是
＋－＝.
8．n－1
解析 ∵f(4)＝f(3)＋2，f(5)＝f(4)＋3，
f(6)＝f(5)＋4，…，∴f(n＋1)＝f(n)＋n－1.
9．證明 (1)當n＝1時，左邊＝1＋，右邊＝＋1，
∴≤1＋≤，命題成立．(2分)
當n＝2時，左
23、邊＝1＋＝2；右邊＝＋2＝，
∴2<1＋＋＋<，命題成立．(4分)
(2)假設(shè)當n＝k(k≥2，k∈N*)時命題成立，
即1＋<1＋＋＋…＋<＋k，(6分)
則當n＝k＋1時，
1＋＋＋…＋＋＋＋…＋>1＋＋2k＝1＋.(8分)
又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋<＋k＋2k＝＋(k＋1)，
即n＝k＋1時，命題也成立．(10分)
由(1)(2)可知，命題對所有n∈N*都成立．(12分)
10．解 ∵an>0，∴Sn>0，
由S1＝(a1＋)，變形整理得S＝1，
取正根得S1＝1.
由S2＝(a2＋)及a2＝S2－S1＝S2－1得
S2＝(S2－1＋)，
變形整理得S＝2，取
24、正根得S2＝.
同理可求得S3＝.由此猜想Sn＝.(6分)
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
(1)當n＝1時，上面已求出S1＝1，結(jié)論成立．(8分)
(2)假設(shè)當n＝k時，結(jié)論成立，即Sk＝.(9分)
那么，當n＝k＋1時，
Sk＋1＝(ak＋1＋)＝(Sk＋1－Sk＋)
＝(Sk＋1－＋)．
整理得S＝k＋1，取正根得Sk＋1＝.
故當n＝k＋1時，結(jié)論成立．(13分)
由(1)、(2)可知，對一切n∈N*，Sn＝都成立．
(14分)
11．(1)解 ∵函數(shù)f(x)定義域為{x∈R|x≠0}
且f(－x)＝e－＝e－＝f(x)，
∴f(x)是偶函數(shù)．(4分)
(2)解
25、當x<0時，f(x)＝e，
f′(x)＝e＋e(－)
＝－e(2x＋1)，(6分)
令f′(x)＝0有x＝－，
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，0)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
增
極大值
減
由表可知：當x＝－時，f(x)取極大值4e－2，
無極小值．(10分)
(3)證明 當x>0時f(x)＝e－，
∴f()＝x2e－x.
考慮到：x>0時，不等式f()
26、
①當n＝1時，設(shè)g(x)＝ex－x(x>0)，
∵x>0時，g′(x)＝ex－1>0，∴g(x)是增函數(shù)，
故g(x)>g(0)＝1>0，即ex>x(x>0)．
所以當n＝1時，不等式(ⅰ)成立．(13分)
②假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時，不等式(ⅰ)成立，
即xk0)，
h′(x)＝(k＋1)！ex－(k＋1)xk＝(k＋1)(k！ex－xk)>0，
故h(x)＝(k＋1)！ex－xk＋1(x>0)為增函數(shù)，
∴h(x)>h(0)＝(k＋1)！>0，∴xk＋1<(k＋1)！ex，
即n＝k＋1時，不等式(ⅰ)也成立，(15分)
由①②知不等式(ⅰ)對一切n∈N*都成立，
故當x>0時，原不等式對n∈N*都成立．(16分)
高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第7章學(xué)案37
