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1、 精品資料
學(xué)案37 數(shù)學(xué)歸納法
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題．
自主梳理
1．歸納法
由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法叫歸納法．根據(jù)推理過(guò)程中考查的對(duì)象是涉及事物的全體或部分可分為完全歸納法和不完全歸納法．
2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法
設(shè){Pn}是一個(gè)與正整數(shù)相關(guān)的命題集合，如果：(1)證明起始命題P1(或P0)成立；(2)在假設(shè)Pk成立的前提下，推出Pk＋1也成立，那么可以斷定{Pn}對(duì)一切正整數(shù)成立．
3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法公理
(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值_
2、_________時(shí)命題成立．
(2)(歸納遞推)假設(shè)______________________時(shí)命題成立，證明當(dāng)________時(shí)命題也成立．只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立．
自我檢測(cè)
1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝ (a≠1)”在驗(yàn)證n＝1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為_(kāi)______________________________________________________________．
2．如果命題P(n)對(duì)于n＝k (k∈N*)時(shí)成立，則它對(duì)n＝k＋2也成立，又若P(n)對(duì)于n＝2時(shí)成立，則下列結(jié)論中正確的序號(hào)有___
3、_____．
①P(n)對(duì)所有正整數(shù)n成立；
②P(n)對(duì)所有正偶數(shù)n成立；
③P(n)對(duì)所有正奇數(shù)n成立；
④P(n)對(duì)所有大于1的正整數(shù)n成立．
3．證明<1＋＋＋＋…＋1)，當(dāng)n＝2時(shí)，中間式子等于______________．
4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n2＋1對(duì)于n>n0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取________．
5．在數(shù)列{an}中，a1＝1，且Sn，Sn＋1,2S1成等差數(shù)列(Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和)，則S2，S3，S4分別為_(kāi)_____________；由此猜想Sn＝__________.
探究點(diǎn)一 用數(shù)
4、學(xué)歸納法證明等式
例1 對(duì)于n∈N*，用數(shù)學(xué)歸納法證明：
1n＋2(n－1)＋3(n－2)＋…＋(n－1)2＋n1
＝n(n＋1)(n＋2)．
變式遷移1 用數(shù)學(xué)歸納法證明：
對(duì)任意的n∈N*,1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.
探究點(diǎn)二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
例2 用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)，不等式…>均成立．
變式遷移2 已知m為正整數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x>－1時(shí)，(1＋x)m≥1＋mx.
探究點(diǎn)三 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題
例3 用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n∈N*時(shí)，
5、an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．
變式遷移3 用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．
從特殊到一般的思想
例 (14分)已知等差數(shù)列{an}的公差d大于0，且a2、a5是方程x2－12x＋27＝0的兩根，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，且Tn＝1－bn.
(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，試比較與Sn＋1的大小，并說(shuō)明理由．
【答題模板】
解 (1)由已知得，又∵{an}的公差大于0，
∴a5>a2，∴a2＝3，a5＝9.
6、
∴d＝＝＝2，a1＝1，
∴an＝1＋(n－1)2＝2n－1.[2分]
∵Tn＝1－bn，∴b1＝，當(dāng)n≥2時(shí)，Tn－1＝1－bn－1，
∴bn＝Tn－Tn－1＝1－bn－，
化簡(jiǎn)，得bn＝bn－1，[4分]
∴{bn}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即bn＝n－1＝，
∴an＝2n－1，bn＝.[6分]
(2)∵Sn＝n＝n2，∴Sn＋1＝(n＋1)2，＝.
以下比較與Sn＋1的大?。?
當(dāng)n＝1時(shí)，＝，S2＝4，∴S5.[9分]
猜想：n≥4時(shí)，>Sn＋
7、1.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n＝4時(shí)，已證．
②假設(shè)當(dāng)n＝k (k∈N*，k≥4)時(shí)，>Sk＋1，
即>(k＋1)2.[11分]
那么，n＝k＋1時(shí)，＝＝3>3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1>[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1，∴n＝k＋1時(shí)，>Sn＋1也成立．
由①②可知n∈N*，n≥4時(shí)，>Sn＋1都成立．
綜上所述，當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，Sn＋1.[14分]
【突破思維障礙】
1．歸納——猜想——證明是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，此類問(wèn)題可分為歸納性問(wèn)題和存在性問(wèn)題，本例中歸納性問(wèn)題需要從特殊情況入手，
8、通過(guò)觀察、分析、歸納、猜想，探索出一般規(guī)律．
2．?dāng)?shù)列是定義在N*上的函數(shù)，這與數(shù)學(xué)歸納法運(yùn)用的范圍是一致的，并且數(shù)列的遞推公式與歸納原理實(shí)質(zhì)上是一致的，數(shù)列中有不少問(wèn)題常用數(shù)學(xué)歸納法解決．
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
1．嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法的三個(gè)步驟書寫，特別是對(duì)初始值的驗(yàn)證不可省略，有時(shí)要取兩個(gè)(或兩個(gè)以上)初始值進(jìn)行驗(yàn)證；初始值的驗(yàn)證是歸納假設(shè)的基礎(chǔ)．
2．在進(jìn)行n＝k＋1命題證明時(shí)，一定要用n＝k時(shí)的命題，沒(méi)有用到該命題而推理證明的方法不是數(shù)學(xué)歸納法．
1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法：先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立，然后假設(shè)當(dāng)n＝k (k∈N*，k≥n0)時(shí)命題成立，并證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題
9、也成立，那么就證明了這個(gè)命題成立．這是因?yàn)榈谝徊绞紫茸C明了n取第一個(gè)值n0時(shí)，命題成立，這樣假設(shè)就有了存在的基礎(chǔ)，至少k＝n0時(shí)命題成立，由假設(shè)合理推證出n＝k＋1時(shí)命題也成立，這實(shí)質(zhì)上是證明了一種循環(huán)，如驗(yàn)證了n0＝1成立，又證明了n＝k＋1也成立，這就一定有n＝2成立，n＝2成立，則n＝3成立，n＝3成立，則n＝4也成立，如此反復(fù)以至無(wú)窮，對(duì)所有n≥n0的整數(shù)就都成立了．
2．(1)第①步驗(yàn)證n＝n0使命題成立時(shí)n0不一定是1，是使命題成立的最小正整數(shù)．(2)第②步證明n＝k＋1時(shí)命題也成立的過(guò)程中一定要用到歸納遞推，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法．
(滿分：90分)
一、填空題(
10、每小題6分，共48分)
1．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步時(shí)，正確的證法是________(填序號(hào))．
①假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)命題成立，證明n＝k＋1命題成立；
②假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))時(shí)命題成立，證明n＝k＋1命題成立；
③假設(shè)n＝2k＋1 (k∈N*)時(shí)命題成立，證明n＝k＋1命題成立；
④假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))時(shí)命題成立，證明n＝k＋2命題成立．
2．已知f(n)＝＋＋＋…＋，則f(n)中共有____________項(xiàng)；當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝____________.
3．如果命題P(n)對(duì)n＝k成立，則它對(duì)n＝k＋1也成
11、立，現(xiàn)已知P(n)對(duì)n＝4不成立，則下列結(jié)論正確的是________(填序號(hào))．
①P(n)對(duì)n∈N*成立；
②P(n)對(duì)n>4且n∈N*成立；
③P(n)對(duì)n<4且n∈N*成立；
④P(n)對(duì)n≤4且n∈N*不成立．
4．(2010泰州模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上
________________________________________________________________________.
5．(2010淮南調(diào)研)若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，則f(k＋1)與f(k)的遞推關(guān)系式是_
12、___________________．
6．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1＝n2 (n∈N*)”時(shí)，從n＝k到n＝k＋1時(shí)，該式左邊應(yīng)添加的代數(shù)式是________．
7．(2010南京模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋…＋>的過(guò)程中，由n＝k推導(dǎo)n＝k＋1時(shí)，不等式的左邊增加的式子是____________________．
8．凸n邊形有f(n)條對(duì)角線，凸n＋1邊形有f(n＋1)條對(duì)角線，則f(n＋1)＝f(n)＋________.
二、解答題(共42分)
9．(12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n (n∈N*)．
13、
10．(14分)數(shù)列{an}滿足an>0，Sn＝(an＋)，求S1，S2，猜想Sn，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．
11．(16分)(高考預(yù)測(cè)題)已知函數(shù)f(x)＝e－(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．
(1)判斷f(x)的奇偶性；
(2)在(－∞，0)上求函數(shù)f(x)的極值；
(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x>0時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)n都有f()
14、有n＋2項(xiàng)，∴左端＝1＋a＋a2.
2．②
解析 由n＝2成立，根據(jù)遞推關(guān)系“P(n)對(duì)于n＝k時(shí)成立，則它對(duì)n＝k＋2也成立”，可以推出n＝4時(shí)成立，再推出n＝6時(shí)成立，…，依次類推，P(n)對(duì)所有正偶數(shù)n成立”．
3．1＋＋＋
解析 當(dāng)n＝2時(shí)，中間的式子
1＋＋＋＝1＋＋＋.
4．5
解析 當(dāng)n＝1時(shí)，21＝12＋1；
當(dāng)n＝2時(shí)，22<22＋1；當(dāng)n＝3時(shí)，23<32＋1；
當(dāng)n＝4時(shí)，24<42＋1.而當(dāng)n＝5時(shí)，25>52＋1，
∴n0＝5.
5.，，，
課堂活動(dòng)區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的一些等式命題，關(guān)鍵在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律
15、：等式的兩邊各有多少項(xiàng)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)．
證明 設(shè)f(n)＝1n＋2(n－1)＋3(n－2)＋…＋(n－1)2＋n1.
(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝1，等式成立；
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k (k≥1且k∈N*)時(shí)等式成立，
即1k＋2(k－1)＋3(k－2)＋…＋(k－1)2＋k1
＝k(k＋1)(k＋2)，
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
f(k＋1)＝1(k＋1)＋2[(k＋1)－1]＋3[(k＋1)－2]＋…＋[(k＋1)－1]2＋(k＋1)1
＝f(k)＋1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)
＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋1＋1
16、)
＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)．
由(1)(2)可知當(dāng)n∈N*時(shí)等式都成立．
變式遷移1 證明 (1)當(dāng)n＝1時(shí)，
左邊＝1－＝＝＝右邊，
∴等式成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k (k≥1，k∈N*)時(shí)，等式成立，即
1－＋－＋…＋－
＝＋＋…＋.
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
1－＋－＋…＋－＋－
＝＋＋…＋＋－
＝＋＋…＋＋＋
＝＋＋…＋＋＋，
即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立，
所以由(1)(2)知對(duì)任意的n∈N*等式都成立．
例2 解題導(dǎo)引 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問(wèn)題時(shí)，從n＝k到n＝k＋1的推證過(guò)程中，證明不等式的常用方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等．
證明
17、 (1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1＋＝；右邊＝.
∵左邊>右邊，∴不等式成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k (k≥2，且k∈N*)時(shí)不等式成立，
即…>.
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
…
>＝＝
>＝＝.
∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立．
由(1)(2)知，對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立．
變式遷移2 證明 (1)當(dāng)m＝1時(shí)，原不等式成立；
當(dāng)m＝2時(shí)，左邊＝1＋2x＋x2，右邊＝1＋2x，
因?yàn)閤2≥0，所以左邊≥右邊，原不等式成立；
(2)假設(shè)當(dāng)m＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)，不等式成立，
即(1＋x)k≥1＋kx，則當(dāng)m＝k＋1時(shí)，
∵x>－1，∴1＋x>0.
于是在不等
18、式(1＋x)k≥1＋kx兩邊同時(shí)乘以1＋x得，
(1＋x)k(1＋x)≥(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k＋1)x＋kx2
≥1＋(k＋1)x.
所以(1＋x)k＋1≥1＋(k＋1)x，
即當(dāng)m＝k＋1時(shí)，不等式也成立．
綜合(1)(2)知，對(duì)一切正整數(shù)m，不等式都成立．
例3 解題導(dǎo)引 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題，由k過(guò)渡到k＋1時(shí)常使用“配湊法”．在證明n＝k＋1成立時(shí)，先將n＝k＋1時(shí)的原式進(jìn)行分拆、重組或者添加項(xiàng)等方式進(jìn)行整理，最終將其變成一個(gè)或多個(gè)部分的和，其中每個(gè)部分都能被約定的數(shù)(或式子)整除，從而由部分的整除性得出整體的整除性，最終證得n＝k＋1時(shí)也成立．
證明 (1
19、)當(dāng)n＝1時(shí)，a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k (k≥1且k∈N*)時(shí)，
ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝aak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1
＝aak＋1＋a(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1
＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1，
由假設(shè)可知a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]能被a2＋a＋1整除，
∴ak＋2＋(a＋1)2k＋1也能被a2＋a＋1整除，
即n＝k＋1時(shí)命題也成立．
綜合(1)(2)知，
20、對(duì)任意的n∈N*命題都成立．
變式遷移3 證明 (1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝34－8－9＝64，
命題顯然成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k (k≥1，k∈N*)時(shí)，
f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋98k＋99－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)
即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)
∴n＝k＋1時(shí)命題也成立．
綜合(1)(2)可知，對(duì)任意的n∈N*，命題都成立．
課后練習(xí)區(qū)
1．④
解析?、?、②、③中，k＋1不一定表示奇數(shù)，只有④中k為奇數(shù)，k＋2
21、為奇數(shù)．
2．n2－n＋1 ＋＋
3．④
解析 由題意可知，P(n)對(duì)n＝3不成立(否則P(n)對(duì)n＝4也成立)．同理可推P(n)對(duì)n＝2，n＝1也不成立．
4．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
解析 ∵當(dāng)n＝k時(shí)，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，
∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上
(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.
5．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
解析 ∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2
∴f(k＋
22、1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，
∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
6．2k＋1
解析 ∵當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
左邊＝1＋2＋…＋k＋(k＋1)＋k＋…＋2＋1，
∴從n＝k到n＝k＋1時(shí)，應(yīng)添加的代數(shù)式為(k＋1)＋k＝2k＋1.
7.
解析 不等式的左邊增加的式子是
＋－＝.
8．n－1
解析 ∵f(4)＝f(3)＋2，f(5)＝f(4)＋3，
f(6)＝f(5)＋4，…，∴f(n＋1)＝f(n)＋n－1.
9．證明 (1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1＋，右邊＝＋1，
∴≤1＋≤，命題成立．(2分)
當(dāng)n＝2時(shí)，左
23、邊＝1＋＝2；右邊＝＋2＝，
∴2<1＋＋＋<，命題成立．(4分)
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)命題成立，
即1＋<1＋＋＋…＋<＋k，(6分)
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
1＋＋＋…＋＋＋＋…＋>1＋＋2k＝1＋.(8分)
又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋<＋k＋2k＝＋(k＋1)，
即n＝k＋1時(shí)，命題也成立．(10分)
由(1)(2)可知，命題對(duì)所有n∈N*都成立．(12分)
10．解 ∵an>0，∴Sn>0，
由S1＝(a1＋)，變形整理得S＝1，
取正根得S1＝1.
由S2＝(a2＋)及a2＝S2－S1＝S2－1得
S2＝(S2－1＋)，
變形整理得S＝2，取
24、正根得S2＝.
同理可求得S3＝.由此猜想Sn＝.(6分)
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
(1)當(dāng)n＝1時(shí)，上面已求出S1＝1，結(jié)論成立．(8分)
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，結(jié)論成立，即Sk＝.(9分)
那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
Sk＋1＝(ak＋1＋)＝(Sk＋1－Sk＋)
＝(Sk＋1－＋)．
整理得S＝k＋1，取正根得Sk＋1＝.
故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立．(13分)
由(1)、(2)可知，對(duì)一切n∈N*，Sn＝都成立．
(14分)
11．(1)解 ∵函數(shù)f(x)定義域?yàn)閧x∈R|x≠0}
且f(－x)＝e－＝e－＝f(x)，
∴f(x)是偶函數(shù)．(4分)
(2)解
25、當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝e，
f′(x)＝e＋e(－)
＝－e(2x＋1)，(6分)
令f′(x)＝0有x＝－，
當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，0)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
增
極大值
減
由表可知：當(dāng)x＝－時(shí)，f(x)取極大值4e－2，
無(wú)極小值．(10分)
(3)證明 當(dāng)x>0時(shí)f(x)＝e－，
∴f()＝x2e－x.
考慮到：x>0時(shí)，不等式f()
26、
①當(dāng)n＝1時(shí)，設(shè)g(x)＝ex－x(x>0)，
∵x>0時(shí)，g′(x)＝ex－1>0，∴g(x)是增函數(shù)，
故g(x)>g(0)＝1>0，即ex>x(x>0)．
所以當(dāng)n＝1時(shí)，不等式(ⅰ)成立．(13分)
②假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，不等式(ⅰ)成立，
即xk0)，
h′(x)＝(k＋1)！ex－(k＋1)xk＝(k＋1)(k！ex－xk)>0，
故h(x)＝(k＋1)！ex－xk＋1(x>0)為增函數(shù)，
∴h(x)>h(0)＝(k＋1)！>0，∴xk＋1<(k＋1)！ex，
即n＝k＋1時(shí)，不等式(ⅰ)也成立，(15分)
由①②知不等式(ⅰ)對(duì)一切n∈N*都成立，
故當(dāng)x>0時(shí)，原不等式對(duì)n∈N*都成立．(16分)
高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第7章學(xué)案37
