數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何章末課 蘇教版選修2-1

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1、第3章空間向量與立體幾何章末復(fù)習(xí)課學(xué)習(xí)目標1.理解空間向量的概念,掌握空間向量的運算法則及運算律.2.掌握空間向量數(shù)量積的運算及其應(yīng)用,會用數(shù)量積解決垂直問題、夾角問題.3.理解空間向量基本定理,掌握空間向量的坐標表示.4.會用基向量法、坐標法表示空間向量.5.會用向量法解決立體幾何問題.題型探究知識梳理內(nèi)容索引當堂訓(xùn)練知識梳理知識點一空間中點、線、面位置關(guān)系的向量表示設(shè)直線l,m的方向向量分別為a,b,平面,的法向量分別為,v,則線線平行l(wèi)mabakb,kR線面平行l(wèi) _面面平行v_線線垂直lm _線面垂直laak,kR面面垂直v_v0aa0kv,kRabab0線線夾角l,m的夾角為(0 )

2、,cos _線面夾角l,的夾角為(0 ),sin _面面夾角,的夾角為(0 ),cos _知識點二用坐標法解決立體幾何問題步驟如下:(1)建立適當?shù)目臻g直角坐標系;(2)寫出相關(guān)點的坐標及向量的坐標;(3)進行相關(guān)坐標的運算;(4)寫出幾何意義下的結(jié)論.關(guān)鍵點如下:(1)選擇恰當?shù)淖鴺讼?坐標系的選取很重要,恰當?shù)淖鴺讼悼梢允沟命c的坐標、向量的坐標易求且簡單,簡化運算過程.(2)點的坐標、向量的坐標的確定.將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的問題,必須確定點的坐標、直線的方向向量、平面的法向量,這是最核心的問題.(3)幾何問題與向量問題的轉(zhuǎn)化.平行、垂直、夾角問題都可以通過向量計算來解決,如何轉(zhuǎn)化也是這類問

3、題解決的關(guān)鍵.題型探究其中正確結(jié)論的序號是_.類型一空間向量及其運算例例1如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是邊長為1的正方形,S到A、B、C、D的距離都等于2.給出以下結(jié)論:答案解析向量的表示與運算的關(guān)鍵是熟練掌握向量加減運算的平行四邊形法則、三角形法則及各運算公式,理解向量運算法則、運算律及其幾何意義.反思與感悟解答由已知ABCD是平行四邊形,類型二利用空間向量解決位置關(guān)系問題例例2四棱錐PABCD中,PD平面ABCD,ABCD是正方形,E是PA的中點,求證:(1)PC平面EBD.證明如圖,以D為坐標原點,分別以DC,DA,DP所在的直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系.設(shè)DC

4、a,PDb,設(shè)平面EBD的一個法向量為n(x,y,z),(2)平面PBC平面PCD.證明設(shè)平面PBC的一個法向量為m(x1,y1,z1),(1)證明兩條直線平行,只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量.(2)證明線面平行的方法證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.能夠在平面內(nèi)找到一個向量與已知直線的方向向量共線.利用共面向量定理,即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線向量是共面向量.(3)證明面面平行的方法轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行處理.證明這兩個平面的法向量是共線向量.反思與感悟(4)證明兩條直線垂直,只需證明這兩條直線的方向向量垂直.(5)證明線面垂直的方法證明直線的方向向量與平面的法向量

5、是共線向量.證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線的向量互相垂直.(6)證明面面垂直的方法轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.證明兩個平面的法向量互相垂直.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2正方體ABCDA1B1C1D1中,E、F分別是BB1、CD的中點,求證:平面AED平面A1FD1.證明如圖,建立空間直角坐標系Dxyz.設(shè)正方體棱長為1,則設(shè)m(x1,y1,z1),n(x2,y2,z2)分別是平面AED和平面A1FD1的一個法向量,令y11,得m(0,1,2).令z21,得n(0,2,1).mn(0,1,2)(0,2,1)0,mn,故平面AED平面A1FD1.類型三利用空間向量求角例例3如圖所示,長方體ABCDA1B1C

6、1D1中,AB16,BC10,AA18,點E,F(xiàn)分別在A1B1,D1C1上,A1ED1F4.過點E,F(xiàn)的平面與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形.(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由);解答交線圍成的正方形EHGF如圖所示,(2)求直線AF與平面所成角的正弦值.解答作EMAB,垂足為M,則AMA1E4,EMAA18.因為EHGF為正方形,所以EHEFBC10.設(shè)n(x,y,z)是平面EHGF的法向量,用向量法求空間角的注意點(1)異面直線所成角:兩異面直線所成角范圍為090,需找到兩異面直線的方向向量,借助方向向量所成角求解.(2)直線與平面所成的角:要求直線a與平面所成的角,先求

7、這個平面的法向量n與直線a的方向向量a的夾角的余弦cosn,a,再利用公式sin |cosn,a|,求.(3)二面角:如圖,有兩個平面與,分別作這兩個平面的法向量n1與n2,則平面與所成的角跟法向量n1與n2所成的角相等或互補,所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3如圖,在幾何體ABCDE中,四邊形ABCD是矩形,AB平面BEC,BEEC,ABBEEC2,G,F(xiàn)分別是線段BE,DC的中點.(1)求證:GF平面ADE;證明方法一如圖,取AE的中點H,連結(jié)HG,HD,由四邊形ABCD是矩形,得ABCD,ABCD,所以GHDF,且GHDF,從而四邊形HGFD是平行四邊形,

8、所以GFDH.又DH平面ADE,GF 平面ADE,所以GF平面ADE.方法二如圖,取AB中點M,連結(jié)MG,MF.又G是BE的中點,可知GMAE.又AE平面ADE,GM 平面ADE,所以GM平面ADE.在矩形ABCD中,由M,F(xiàn)分別是AB,CD的中點得MFAD.又AD平面ADE,MF 平面ADE.所以MF平面ADE.又因為GMMFM,GM平面GMF,MF平面GMF,所以平面GMF平面ADE.又因為GF平面GMF,所以GF平面ADE.(2)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值.解答方法一如圖,在平面BEC內(nèi),過B點作BQEC.因為BECE,所以BQBE.又因為AB平面BEC,所以ABBE,

9、ABBQ.以B為原點,分別以 的方向為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系,則A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(xiàn)(2,2,1).因為AB平面BEC,所以 (0,0,2)為平面BEC的法向量.設(shè)n(x,y,z)為平面AEF的法向量.方法二同方法一.取z2,得n(2,1,2).當堂訓(xùn)練23451連結(jié)AG,BG,在BCD中,因為點G是CD的中點,答案解析234512.若a(0,1,1),b(1,1,0),且(ab)a,則實數(shù)的值是_.ab(,1,1).由(ab)a,知(ab)a0,0(1)1(1)(1)0,解得2.答案解析2234513.已知向量a(42m,m1,m1)與

10、b(4,22m,22m)平行,則m_.1或3當22m0,即m1時,a(2,0,0),b(4,0,0),滿足ab;當22m0,即m1時,綜上可知,m3或m1.答案解析234514.已知平面經(jīng)過點O(0,0,0),且e(1,1,1)是的一個法向量,M(x,y,z)是平面內(nèi)任意一點,則x,y,z滿足的關(guān)系式是_.xyz0答案解析m1,c(2,1,2)或c(2,1,2).解答23451a(1,1,0),b(1,0,2),ab(1,1,0)(1,0,2)1.23451(2)求向量a與向量b的夾角的余弦值.解答規(guī)律與方法解決立體幾何中的問題,可用三種方法:幾何法、基向量法、坐標法.幾何法以邏輯推理作為工具解決問題;基向量法利用向量的概念及其運算解決問題;坐標法利用數(shù)及其運算來解決問題.坐標方法經(jīng)常與向量運算結(jié)合起來使用.本課結(jié)束

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