數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何章末課 蘇教版選修2-1

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1、第3章空間向量與立體幾何章末復(fù)習(xí)課學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解空間向量的概念，掌握空間向量的運(yùn)算法則及運(yùn)算律.2.掌握空間向量數(shù)量積的運(yùn)算及其應(yīng)用，會(huì)用數(shù)量積解決垂直問題、夾角問題.3.理解空間向量基本定理，掌握空間向量的坐標(biāo)表示.4.會(huì)用基向量法、坐標(biāo)法表示空間向量.5.會(huì)用向量法解決立體幾何問題.題型探究知識(shí)梳理內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的向量表示設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面，的法向量分別為，v，則線線平行l(wèi)mabakb，kR線面平行l(wèi) _面面平行v_線線垂直lm _線面垂直laak，kR面面垂直v_v0aa0kv，kRabab0線線夾角l，m的夾角為(0 )

2、，cos _線面夾角l，的夾角為(0 )，sin _面面夾角，的夾角為(0 )，cos _知識(shí)點(diǎn)二用坐標(biāo)法解決立體幾何問題步驟如下：(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)；(3)進(jìn)行相關(guān)坐標(biāo)的運(yùn)算；(4)寫出幾何意義下的結(jié)論.關(guān)鍵點(diǎn)如下：(1)選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.坐標(biāo)系的選取很重要，恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可以使得點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)易求且簡(jiǎn)單，簡(jiǎn)化運(yùn)算過程.(2)點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)的確定.將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的問題，必須確定點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的方向向量、平面的法向量，這是最核心的問題.(3)幾何問題與向量問題的轉(zhuǎn)化.平行、垂直、夾角問題都可以通過向量計(jì)算來解決，如何轉(zhuǎn)化也是這類問

3、題解決的關(guān)鍵.題型探究其中正確結(jié)論的序號(hào)是_.類型一空間向量及其運(yùn)算例例1如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，S到A、B、C、D的距離都等于2.給出以下結(jié)論：答案解析向量的表示與運(yùn)算的關(guān)鍵是熟練掌握向量加減運(yùn)算的平行四邊形法則、三角形法則及各運(yùn)算公式，理解向量運(yùn)算法則、運(yùn)算律及其幾何意義.反思與感悟解答由已知ABCD是平行四邊形，類型二利用空間向量解決位置關(guān)系問題例例2四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點(diǎn)，求證：(1)PC平面EBD.證明如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DC，DA，DP所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)DC

4、a，PDb，設(shè)平面EBD的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，(2)平面PBC平面PCD.證明設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為m(x1，y1，z1)，(1)證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量.(2)證明線面平行的方法證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.能夠在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與已知直線的方向向量共線.利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量是共面向量.(3)證明面面平行的方法轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行處理.證明這兩個(gè)平面的法向量是共線向量.反思與感悟(4)證明兩條直線垂直，只需證明這兩條直線的方向向量垂直.(5)證明線面垂直的方法證明直線的方向向量與平面的法向量

5、是共線向量.證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量互相垂直.(6)證明面面垂直的方法轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn)，求證：平面AED平面A1FD1.證明如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則設(shè)m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分別是平面AED和平面A1FD1的一個(gè)法向量，令y11，得m(0,1，2).令z21，得n(0,2,1).mn(0,1，2)(0,2,1)0，mn，故平面AED平面A1FD1.類型三利用空間向量求角例例3如圖所示，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C

6、1D1中，AB16，BC10，AA18，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.過點(diǎn)E，F(xiàn)的平面與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由)；解答交線圍成的正方形EHGF如圖所示，(2)求直線AF與平面所成角的正弦值.解答作EMAB，垂足為M，則AMA1E4，EMAA18.因?yàn)镋HGF為正方形，所以EHEFBC10.設(shè)n(x，y，z)是平面EHGF的法向量，用向量法求空間角的注意點(diǎn)(1)異面直線所成角：兩異面直線所成角范圍為090，需找到兩異面直線的方向向量，借助方向向量所成角求解.(2)直線與平面所成的角：要求直線a與平面所成的角，先求

7、這個(gè)平面的法向量n與直線a的方向向量a的夾角的余弦cosn，a，再利用公式sin |cosn，a|，求.(3)二面角：如圖，有兩個(gè)平面與，分別作這兩個(gè)平面的法向量n1與n2，則平面與所成的角跟法向量n1與n2所成的角相等或互補(bǔ)，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，ABBEEC2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點(diǎn).(1)求證：GF平面ADE；證明方法一如圖，取AE的中點(diǎn)H，連結(jié)HG，HD，由四邊形ABCD是矩形，得ABCD，ABCD，所以GHDF，且GHDF，從而四邊形HGFD是平行四邊形，

8、所以GFDH.又DH平面ADE，GF 平面ADE，所以GF平面ADE.方法二如圖，取AB中點(diǎn)M，連結(jié)MG，MF.又G是BE的中點(diǎn)，可知GMAE.又AE平面ADE，GM 平面ADE，所以GM平面ADE.在矩形ABCD中，由M，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)得MFAD.又AD平面ADE，MF 平面ADE.所以MF平面ADE.又因?yàn)镚MMFM，GM平面GMF，MF平面GMF，所以平面GMF平面ADE.又因?yàn)镚F平面GMF，所以GF平面ADE.(2)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值.解答方法一如圖，在平面BEC內(nèi)，過B點(diǎn)作BQEC.因?yàn)锽ECE，所以BQBE.又因?yàn)锳B平面BEC，所以ABBE，

9、ABBQ.以B為原點(diǎn)，分別以 的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(xiàn)(2,2,1).因?yàn)锳B平面BEC，所以 (0,0,2)為平面BEC的法向量.設(shè)n(x，y，z)為平面AEF的法向量.方法二同方法一.取z2，得n(2，1,2).當(dāng)堂訓(xùn)練23451連結(jié)AG，BG，在BCD中，因?yàn)辄c(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，答案解析234512.若a(0,1，1)，b(1,1,0)，且(ab)a，則實(shí)數(shù)的值是_.ab(，1，1).由(ab)a，知(ab)a0，0(1)1(1)(1)0，解得2.答案解析2234513.已知向量a(42m，m1，m1)與

10、b(4,22m，22m)平行，則m_.1或3當(dāng)22m0，即m1時(shí)，a(2,0,0)，b(4,0,0)，滿足ab；當(dāng)22m0，即m1時(shí)，綜上可知，m3或m1.答案解析234514.已知平面經(jīng)過點(diǎn)O(0,0,0)，且e(1,1,1)是的一個(gè)法向量，M(x，y，z)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則x，y，z滿足的關(guān)系式是_.xyz0答案解析m1，c(2，1,2)或c(2,1，2).解答23451a(1,1,0)，b(1,0,2)，ab(1,1,0)(1,0,2)1.23451(2)求向量a與向量b的夾角的余弦值.解答規(guī)律與方法解決立體幾何中的問題，可用三種方法：幾何法、基向量法、坐標(biāo)法.幾何法以邏輯推理作為工具解決問題；基向量法利用向量的概念及其運(yùn)算解決問題；坐標(biāo)法利用數(shù)及其運(yùn)算來解決問題.坐標(biāo)方法經(jīng)常與向量運(yùn)算結(jié)合起來使用.本課結(jié)束