新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第9章學(xué)案45

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第九章　解析幾何 學(xué)案45　直線與方程 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.3.掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系． 自主梳理 1．直線的傾斜角與斜率 (1)在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與x軸相交的直線，把x軸所在的直線繞著交點按__________方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)過的____________稱為這條直線的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為__________． (2)

2、傾斜角的范圍為________________． (3)傾斜角與斜率的關(guān)系：α≠90°時，k＝________，傾斜角是90°的直線斜率________． (4)過兩點的直線的斜率公式： 經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝_____________________. 2．直線方程的五種基本形式 名稱 方程 適用范圍 點斜式 不含直線x＝x0 斜截式 不含垂直于x軸的直線 兩點式 不含直線x＝x1 (x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2) 截距式 不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點的直線 一般式 平面

3、直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用 自我檢測 1．若A(－2,3)，B(3，－2)，C三點共線，則m的值為________． 2．直線l與兩條直線x－y－7＝0，y＝1分別交于P、Q兩點，線段PQ的中點為(1，－1)，則直線l的斜率為_______________________________________________________． 3．下列四個命題中，假命題是________(填序號)． ①經(jīng)過定點P(x0，y0)的直線不一定都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示； ②經(jīng)過兩個不同的點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x

4、－x1)(y2－y1)來表示； ③與兩條坐標(biāo)軸都相交的直線不一定可以用方程＋＝1表示； ④經(jīng)過點Q(0，b)的直線都可以表示為y＝kx＋b. 4．如果A·C<0，且B·C<0，那么直線Ax＋By＋C＝0不通過第________象限． 5．已知直線l的方向向量與向量a＝(1,2)垂直，且直線l過點A(1,1)，則直線l的方程為______________． 探究點一　傾斜角與斜率 例1　已知兩點A(－1，－5)、B(3，－2)，直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，求l的斜率． 變式遷移1　直線xsin α－y＋1＝0的傾斜角的變

5、化范圍是______________． 探究點二　直線的方程 例2　過點M(0,1)作直線，使它被兩直線l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的線段恰好被M所平分，求此直線方程． 變式遷移2　求適合下列條件的直線方程： (1)經(jīng)過點P(3,2)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等； (2)經(jīng)過點A(－1，－3)，傾斜角等于直線y＝3x的傾斜角的2倍． 探究點三　直線方程的應(yīng)用 例3　過點P(2,1)的直線l交x軸、y軸正半軸于A、B兩點，求使：(1)△AOB面積最小時l的方程； (2

6、)PA·PB最小時l的方程． 變式遷移3　為了綠化城市，擬在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)建一個矩形草坪(如圖)，另外△EFA內(nèi)部有一文物保護區(qū)不能占用，經(jīng)測量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，應(yīng)如何設(shè)計才能使草坪面積最大？ 數(shù)形結(jié)合思想 例　(14分)已知實數(shù)x，y滿足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)． 試求的最大值與最小值． 【答題模板】 解　由的幾何意義可知，它表示經(jīng)過定點P(－2，－3)與曲線段AB上任一點(x，y)的直線的斜率k，[4分] 由圖可知： kPA≤

7、k≤kPB，由已知可得：A(1,1)，B(－1,5)， ∴≤k≤8，[10分] 故的最大值為8，最小值為.[14分] 【突破思維障礙】 解決這類問題的關(guān)鍵是弄清楚所求代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合，將求最值問題轉(zhuǎn)化為求斜率取值范圍問題，簡化了運算過程，收到事半功倍的效果． 1．要正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的范圍為0°≤α<180°，熟記斜率公式k＝，該公式與兩點順序無關(guān)．已知兩點坐標(biāo)(x1≠x2)，根據(jù)該公式可以求出經(jīng)過兩點的直線斜率，而x1＝x2，y1≠y2時，直線斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°. 2．當(dāng)直線沒有斜率(x1＝x2)或斜率為0(y1＝y(tǒng)2)時

8、，不能用兩點式＝求直線方程，但都可以寫成(x2－ x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式．直線方程的點斜式、斜截式、兩點式、截距式都可以化成一般式，但是有些直線的一般式方程不能化成點斜式、斜截式、兩點式或截距式． 3．使用直線方程時，一定要注意限制條件以免解題過程中丟解，如點斜式的使用條件是直線必須有斜率，截距式的使用條件是截距存在且不為零，兩點式的使用條件是直線不與坐標(biāo)軸垂直． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．已知直線l經(jīng)過A(2,1)、B(1，m2) (m∈R)兩點，那么直線l的傾斜角的取值范圍是________________

9、__． 2．若直線l：y＝kx－與直線2x＋3y－6＝0的交點位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是________． 3．點P(x，y)在經(jīng)過A(3,0)，B(1,1)兩點的直線上，那么2x＋4y的最小值是________． 4．(2011·淮安期末)點A(a＋b，ab)在第一象限內(nèi)，則直線bx＋ay－ab＝0一定不經(jīng)過第________象限． 5．經(jīng)過點P(2，－1)，且在y軸上的截距等于它在x軸上的截距的2倍的直線l的方程為________． 6．過兩點A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2,2m)的直線l的傾斜角為45°，則m＝________. 7．過點P(－1,

10、2)，且方向向量為a＝(－1,2)的直線方程為______________． 8．設(shè)A、B是x軸上的兩點，點P的橫坐標(biāo)為2，且PA＝PB，若直線PA的方程為x－y＋1＝0，則直線PB的方程是________． 二、解答題(共42分) 9．(14分)已知兩點A(－1,2)，B(m,3)，求： (1)直線AB的斜率k； (2)求直線AB的方程； (3)已知實數(shù)m∈，求直線AB的傾斜角α的范圍． 10．(14分)已知線段PQ兩端點的坐標(biāo)分別為(－1,1)、(2,2)，若直線l：x＋my＋m＝0與線段PQ有交點，求m的范圍．

11、 11．(14分)已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0 (k∈R)． (1)證明：直線l過定點； (2)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍； (3)若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S，求S的最小值并求此時直線l的方程． 學(xué)案45　直線與方程 答案 自主梳理 1．(1)逆時針　最小正角　0°　(2)0°≤α<180°　(3)tan α　不存在　(4)　2.y－y0＝k(x－x0)　y＝kx＋b?。健。?　Ax＋By＋C＝0(A、B不全為0) 自我檢測 1.　2.－　3.④

12、　4.三　5.x＋2y－3＝0 課堂活動區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　斜率與傾斜角常與三角函數(shù)聯(lián)系，本題需要挖掘隱含條件，判斷角的范圍．關(guān)鍵是熟練掌握好根據(jù)三角函數(shù)值確定角的范圍這一類題型． 解　設(shè)直線l的傾斜角為α，則直線AB的傾斜角為2α， 由題意可知：tan 2α＝＝，∴＝. 整理得3tan2α＋8tan α－3＝0. 解得tan α＝或tan α＝－3，∵tan 2α＝>0， ∴0°<2α<90°，∴0°<α<45°，∴tan α>0， 故直線l的斜率為. 變式遷移1　∪ 解析　直線xsin α－y＋1＝0的斜率是k＝sin α， 又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k≤1.

13、 當(dāng)0≤k≤1時，傾斜角的范圍是， 當(dāng)－1≤k<0時，傾斜角的范圍是. 例2　解題導(dǎo)引　(1)對直線問題，要特別注意斜率不存在的情況． (2)求直線方程常用方法——待定系數(shù)法． 待定系數(shù)法就是根據(jù)所求的具體直線設(shè)出方程，然后按照它們滿足的條件求出參數(shù)． 解　方法一　過點M且與x軸垂直的直線是y軸，它和兩已知直線的交點分別是和(0,8)， 顯然不滿足中點是點M(0,1)的條件． 故可設(shè)所求直線方程為y＝kx＋1，與兩已知直線l1、l2分別交于A、B兩點，聯(lián)立方程組 ① ② 由①解得xA＝，由②解得xB＝. ∵點M平分線段AB，∴xA＋xB＝2xM， 即＋＝0，

14、解得k＝－. 故所求直線方程為x＋4y－4＝0. 方法二　設(shè)所求直線與已知直線l1、l2分別交于A、B兩點． ∵點B在直線l2：2x＋y－8＝0上，故可設(shè)B(t,8－2t)． 又M(0,1)是AB的中點， 由中點坐標(biāo)公式，得A(－t,2t－6)． ∵A點在直線l1：x－3y＋10＝0上， ∴(－t)－3(2t－6)＋10＝0，解得t＝4. ∴B(4,0)，A(－4,2)， 故所求直線方程為x＋4y－4＝0. 變式遷移2　解　(1)方法一　設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a， 若a＝0，即l過點(0,0)和(3,2)， ∴l(xiāng)的方程為y＝x，即2x－3y＝0. 若a≠0，則

15、設(shè)l的方程為＋＝1， ∵l過點(3,2)，∴＋＝1， ∴a＝5，∴l(xiāng)的方程為x＋y－5＝0， 綜上可知，直線l的方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0. 方法二　由題意知，所求直線的斜率k存在且k≠0，設(shè)直線方程為y－2＝k(x－3)， 令y＝0，得x＝3－，令x＝0，得y＝2－3k， 由已知3－＝2－3k， 解得k＝－1或k＝， ∴直線l的方程為：y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)， 即x＋y－5＝0或2x－3y＝0. (2)由已知：設(shè)直線y＝3x的傾斜角為α， 則所求直線的傾斜角為2α. ∵tan α＝3，∴tan 2α＝＝－. 又直線經(jīng)過點A(－1，－3)，

16、 因此所求直線方程為y＋3＝－(x＋1)， 即3x＋4y＋15＝0. 例3　解題導(dǎo)引　先設(shè)出A、B所在的直線方程，再求出A、B兩點的坐標(biāo)，表示出△ABO的面積，然后利用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識求最值． 確定直線方程可分為兩個類型：一是根據(jù)題目條件確定點和斜率或確定兩點，進(jìn)而套用直線方程的幾種形式，寫出方程，此法稱直接法；二是利用直線在題目中具有的某些性質(zhì)，先設(shè)出方程(含參數(shù)或待定系數(shù))，再確定參數(shù)值，然后寫出方程，這種方法稱為間接法． 解　設(shè)直線的方程為＋＝1 (a>2，b>1)， 由已知可得＋＝1. (1)∵2 ≤＋＝1，∴ab≥8. ∴S△AOB＝ab≥4. 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝， 即a

17、＝4，b＝2時，S△AOB取最小值4， 此時直線l的方程為＋＝1， 即x＋2y－4＝0. (2)由＋＝1，得ab－a－2b＝0，變形得(a－2)(b－1)＝2， PA·PB＝· ＝ ≥. 當(dāng)且僅當(dāng)a－2＝1，b－1＝2， 即a＝3，b＝3時，PA·PB取最小值4. 此時直線l的方程為x＋y－3＝0. 變式遷移3　解　如圖所示建立直角坐標(biāo)系，則E(30,0)，F(xiàn)(0,20)， ∴線段EF的方程為＋＝1(0≤x≤30)． 在線段EF上取點P(m，n)， 作PQ⊥BC于點Q，PR⊥CD于點R， 設(shè)矩形PQCR的面積為S， 則S＝PQ·PR＝(100－m)(80－n)

18、． 又＋＝1(0≤m≤30)，∴n＝20(1－)． ∴S＝(100－m)(80－20＋m) ＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)． ∴當(dāng)m＝5時，S有最大值， 這時＝＝5. 所以當(dāng)矩形草坪的兩邊在BC、CD上，一個頂點在線段EF上，且這個頂點分EF成5∶1時，草坪面積最大． 課后練習(xí)區(qū) 1.∪　2.　3.4 4．三 解析　由已知得即a>0，b>0. 由bx＋ay－ab＝0知y＝－x＋b. ∴該直線的斜率k<0且在y軸上的截距b>0，故該直線一定不經(jīng)過第三象限． 5．2x＋y－3＝0或x＋2y＝0 解析　當(dāng)截距不等于零時，設(shè)l的方程＋＝1， ∵點P在l上，∴－＝1，則

19、a＝. ∴l(xiāng)的方程為2x＋y＝3.當(dāng)截距等于零時，設(shè)l的方程為y＝kx，又點P在l上， ∴k＝－.∴x＋2y＝0. 綜上，所求直線l的方程為2x＋y＝3或x＋2y＝0. 6．－2 解析　由題意得：＝1， 解得：m＝－2或m＝－1. 又m2＋2≠3－m－m2，∴m≠－1且m≠，∴m＝－2. 7．2x＋y＝0 解析　由已知方向向量得直線斜率k＝－2，∴由點斜式方程得2x＋y＝0. 8．x＋y－5＝0 解析　易知A(－1,0)， ∵PA＝PB， ∴P在AB的中垂線即x＝2上． ∴B(5,0)． ∵PA、PB關(guān)于直線x＝2對稱， ∴kPB＝－1. ∴l(xiāng)PB∶y－0＝－

20、(x－5)． ∴x＋y－5＝0. 9．解　(1)當(dāng)m＝－1時， 直線AB的斜率不存在；(1分) 當(dāng)m≠－1時，k＝.(3分) (2)當(dāng)m＝－1時，AB的方程為x＝－1，(5分) 當(dāng)m≠－1時，AB的方程為y－2＝(x＋1)， 即y＝＋.(7分) ∴直線AB的方程為x＝－1或y＝＋. (8分) (3)①當(dāng)m＝－1時，α＝；(10分) ②當(dāng)m≠－1時， ∵k＝∈(－∞，－]∪， ∴α∈∪.(13分) 綜合①②，知直線AB的傾斜角 α∈.(14分) 10. 解　方法一　直線x＋my＋m＝0恒過A(0，－1)點．(4分) kAP＝＝－2， kAQ＝＝，(8分)

21、 則－≥或－≤－2， ∴－≤m≤且m≠0.(12分) 又m＝0時直線x＋my＋m＝0與線段PQ有交點，(13分) ∴所求m的范圍是－≤m≤.(14分) 方法二　過P、Q兩點的直線方程為 y－1＝(x＋1)．(5分) 即y＝x＋，代入x＋my＋m＝0， 整理得：x＝－，由已知－1≤－≤2，(12分) 解得：－≤m≤.(14分) 11．(1)證明　直線l的方程是：k(x＋2)＋(1－y)＝0， 令，解之得， ∴無論k取何值，直線總經(jīng)過定點(－2,1)．(4分) (2)解　由方程知，當(dāng)k≠0時直線在x軸上的截距為－，在y軸上的截距為1＋2k，要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有，解之得k>0；(7分) 當(dāng)k＝0時，直線為y＝1，符合題意，故k≥0.(9分) (3)解　由l的方程，得A， B(0,1＋2k)．依題意得　 解得k>0.(11分) ∵S＝·OA·OB＝··|1＋2k| ＝·＝≥×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的條件是k>0且4k＝，即k＝，∴Smin＝4，此時l：x－2y＋4＝0.(14分)