新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第9章學(xué)案45

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第九章 解析幾何 學(xué)案45 直線與方程 導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.在平面直角坐標(biāo)系中,結(jié)合具體圖形,確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念,掌握過兩點的直線斜率的計算公式.3.掌握確定直線位置的幾何要素,掌握直線方程的幾種形式,了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系. 自主梳理 1.直線的傾斜角與斜率 (1)在平面直角坐標(biāo)系中,對于一條與x軸相交的直線,把x軸所在的直線繞著交點按__________方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)過的____________稱為這條直線的傾斜角.當(dāng)直線l與x軸平行或重合時,規(guī)定它的傾斜角為__________. (2)

2、傾斜角的范圍為________________. (3)傾斜角與斜率的關(guān)系:α≠90°時,k=________,傾斜角是90°的直線斜率________. (4)過兩點的直線的斜率公式: 經(jīng)過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2) (x1≠x2)的直線的斜率公式為k=_____________________. 2.直線方程的五種基本形式 名稱 方程 適用范圍 點斜式 不含直線x=x0 斜截式 不含垂直于x軸的直線 兩點式 不含直線x=x1 (x1≠x2)和直線y=y(tǒng)1(y1≠y2) 截距式 不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點的直線 一般式 平面

3、直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用 自我檢測 1.若A(-2,3),B(3,-2),C三點共線,則m的值為________. 2.直線l與兩條直線x-y-7=0,y=1分別交于P、Q兩點,線段PQ的中點為(1,-1),則直線l的斜率為_______________________________________________________. 3.下列四個命題中,假命題是________(填序號). ①經(jīng)過定點P(x0,y0)的直線不一定都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示; ②經(jīng)過兩個不同的點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直線都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x

4、-x1)(y2-y1)來表示; ③與兩條坐標(biāo)軸都相交的直線不一定可以用方程+=1表示; ④經(jīng)過點Q(0,b)的直線都可以表示為y=kx+b. 4.如果A·C<0,且B·C<0,那么直線Ax+By+C=0不通過第________象限. 5.已知直線l的方向向量與向量a=(1,2)垂直,且直線l過點A(1,1),則直線l的方程為______________. 探究點一 傾斜角與斜率 例1 已知兩點A(-1,-5)、B(3,-2),直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半,求l的斜率. 變式遷移1 直線xsin α-y+1=0的傾斜角的變

5、化范圍是______________. 探究點二 直線的方程 例2 過點M(0,1)作直線,使它被兩直線l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0所截得的線段恰好被M所平分,求此直線方程. 變式遷移2 求適合下列條件的直線方程: (1)經(jīng)過點P(3,2)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等; (2)經(jīng)過點A(-1,-3),傾斜角等于直線y=3x的傾斜角的2倍. 探究點三 直線方程的應(yīng)用 例3 過點P(2,1)的直線l交x軸、y軸正半軸于A、B兩點,求使:(1)△AOB面積最小時l的方程; (2

6、)PA·PB最小時l的方程. 變式遷移3 為了綠化城市,擬在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)建一個矩形草坪(如圖),另外△EFA內(nèi)部有一文物保護(hù)區(qū)不能占用,經(jīng)測量AB=100 m,BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,應(yīng)如何設(shè)計才能使草坪面積最大? 數(shù)形結(jié)合思想 例 (14分)已知實數(shù)x,y滿足y=x2-2x+2(-1≤x≤1). 試求的最大值與最小值. 【答題模板】 解 由的幾何意義可知,它表示經(jīng)過定點P(-2,-3)與曲線段AB上任一點(x,y)的直線的斜率k,[4分] 由圖可知: kPA≤

7、k≤kPB,由已知可得:A(1,1),B(-1,5), ∴≤k≤8,[10分] 故的最大值為8,最小值為.[14分] 【突破思維障礙】 解決這類問題的關(guān)鍵是弄清楚所求代數(shù)式的幾何意義,借助數(shù)形結(jié)合,將求最值問題轉(zhuǎn)化為求斜率取值范圍問題,簡化了運算過程,收到事半功倍的效果. 1.要正確理解傾斜角的定義,明確傾斜角的范圍為0°≤α<180°,熟記斜率公式k=,該公式與兩點順序無關(guān).已知兩點坐標(biāo)(x1≠x2),根據(jù)該公式可以求出經(jīng)過兩點的直線斜率,而x1=x2,y1≠y2時,直線斜率不存在,此時直線的傾斜角為90°. 2.當(dāng)直線沒有斜率(x1=x2)或斜率為0(y1=y(tǒng)2)時

8、,不能用兩點式=求直線方程,但都可以寫成(x2- x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)的形式.直線方程的點斜式、斜截式、兩點式、截距式都可以化成一般式,但是有些直線的一般式方程不能化成點斜式、斜截式、兩點式或截距式. 3.使用直線方程時,一定要注意限制條件以免解題過程中丟解,如點斜式的使用條件是直線必須有斜率,截距式的使用條件是截距存在且不為零,兩點式的使用條件是直線不與坐標(biāo)軸垂直. (滿分:90分) 一、填空題(每小題6分,共48分) 1.已知直線l經(jīng)過A(2,1)、B(1,m2) (m∈R)兩點,那么直線l的傾斜角的取值范圍是________________

9、__. 2.若直線l:y=kx-與直線2x+3y-6=0的交點位于第一象限,則直線l的傾斜角的取值范圍是________. 3.點P(x,y)在經(jīng)過A(3,0),B(1,1)兩點的直線上,那么2x+4y的最小值是________. 4.(2011·淮安期末)點A(a+b,ab)在第一象限內(nèi),則直線bx+ay-ab=0一定不經(jīng)過第________象限. 5.經(jīng)過點P(2,-1),且在y軸上的截距等于它在x軸上的截距的2倍的直線l的方程為________. 6.過兩點A(m2+2,m2-3),B(3-m-m2,2m)的直線l的傾斜角為45°,則m=________. 7.過點P(-1,

10、2),且方向向量為a=(-1,2)的直線方程為______________. 8.設(shè)A、B是x軸上的兩點,點P的橫坐標(biāo)為2,且PA=PB,若直線PA的方程為x-y+1=0,則直線PB的方程是________. 二、解答題(共42分) 9.(14分)已知兩點A(-1,2),B(m,3),求: (1)直線AB的斜率k; (2)求直線AB的方程; (3)已知實數(shù)m∈,求直線AB的傾斜角α的范圍. 10.(14分)已知線段PQ兩端點的坐標(biāo)分別為(-1,1)、(2,2),若直線l:x+my+m=0與線段PQ有交點,求m的范圍.

11、 11.(14分)已知直線l:kx-y+1+2k=0 (k∈R). (1)證明:直線l過定點; (2)若直線不經(jīng)過第四象限,求k的取值范圍; (3)若直線l交x軸負(fù)半軸于A,交y軸正半軸于B,△AOB的面積為S,求S的最小值并求此時直線l的方程. 學(xué)案45 直線與方程 答案 自主梳理 1.(1)逆時針 最小正角 0° (2)0°≤α<180° (3)tan α 不存在 (4) 2.y-y0=k(x-x0) y=kx+b =?。? Ax+By+C=0(A、B不全為0) 自我檢測 1. 2.- 3.④

12、 4.三 5.x+2y-3=0 課堂活動區(qū) 例1 解題導(dǎo)引 斜率與傾斜角常與三角函數(shù)聯(lián)系,本題需要挖掘隱含條件,判斷角的范圍.關(guān)鍵是熟練掌握好根據(jù)三角函數(shù)值確定角的范圍這一類題型. 解 設(shè)直線l的傾斜角為α,則直線AB的傾斜角為2α, 由題意可知:tan 2α==,∴=. 整理得3tan2α+8tan α-3=0. 解得tan α=或tan α=-3,∵tan 2α=>0, ∴0°<2α<90°,∴0°<α<45°,∴tan α>0, 故直線l的斜率為. 變式遷移1 ∪ 解析 直線xsin α-y+1=0的斜率是k=sin α, 又∵-1≤sin α≤1,∴-1≤k≤1.

13、 當(dāng)0≤k≤1時,傾斜角的范圍是, 當(dāng)-1≤k<0時,傾斜角的范圍是. 例2 解題導(dǎo)引 (1)對直線問題,要特別注意斜率不存在的情況. (2)求直線方程常用方法——待定系數(shù)法. 待定系數(shù)法就是根據(jù)所求的具體直線設(shè)出方程,然后按照它們滿足的條件求出參數(shù). 解 方法一 過點M且與x軸垂直的直線是y軸,它和兩已知直線的交點分別是和(0,8), 顯然不滿足中點是點M(0,1)的條件. 故可設(shè)所求直線方程為y=kx+1,與兩已知直線l1、l2分別交于A、B兩點,聯(lián)立方程組 ① ② 由①解得xA=,由②解得xB=. ∵點M平分線段AB,∴xA+xB=2xM, 即+=0,

14、解得k=-. 故所求直線方程為x+4y-4=0. 方法二 設(shè)所求直線與已知直線l1、l2分別交于A、B兩點. ∵點B在直線l2:2x+y-8=0上,故可設(shè)B(t,8-2t). 又M(0,1)是AB的中點, 由中點坐標(biāo)公式,得A(-t,2t-6). ∵A點在直線l1:x-3y+10=0上, ∴(-t)-3(2t-6)+10=0,解得t=4. ∴B(4,0),A(-4,2), 故所求直線方程為x+4y-4=0. 變式遷移2 解 (1)方法一 設(shè)直線l在x,y軸上的截距均為a, 若a=0,即l過點(0,0)和(3,2), ∴l(xiāng)的方程為y=x,即2x-3y=0. 若a≠0,則

15、設(shè)l的方程為+=1, ∵l過點(3,2),∴+=1, ∴a=5,∴l(xiāng)的方程為x+y-5=0, 綜上可知,直線l的方程為2x-3y=0或x+y-5=0. 方法二 由題意知,所求直線的斜率k存在且k≠0,設(shè)直線方程為y-2=k(x-3), 令y=0,得x=3-,令x=0,得y=2-3k, 由已知3-=2-3k, 解得k=-1或k=, ∴直線l的方程為:y-2=-(x-3)或y-2=(x-3), 即x+y-5=0或2x-3y=0. (2)由已知:設(shè)直線y=3x的傾斜角為α, 則所求直線的傾斜角為2α. ∵tan α=3,∴tan 2α==-. 又直線經(jīng)過點A(-1,-3),

16、 因此所求直線方程為y+3=-(x+1), 即3x+4y+15=0. 例3 解題導(dǎo)引 先設(shè)出A、B所在的直線方程,再求出A、B兩點的坐標(biāo),表示出△ABO的面積,然后利用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識求最值. 確定直線方程可分為兩個類型:一是根據(jù)題目條件確定點和斜率或確定兩點,進(jìn)而套用直線方程的幾種形式,寫出方程,此法稱直接法;二是利用直線在題目中具有的某些性質(zhì),先設(shè)出方程(含參數(shù)或待定系數(shù)),再確定參數(shù)值,然后寫出方程,這種方法稱為間接法. 解 設(shè)直線的方程為+=1 (a>2,b>1), 由已知可得+=1. (1)∵2 ≤+=1,∴ab≥8. ∴S△AOB=ab≥4. 當(dāng)且僅當(dāng)==, 即a

17、=4,b=2時,S△AOB取最小值4, 此時直線l的方程為+=1, 即x+2y-4=0. (2)由+=1,得ab-a-2b=0,變形得(a-2)(b-1)=2, PA·PB=· = ≥. 當(dāng)且僅當(dāng)a-2=1,b-1=2, 即a=3,b=3時,PA·PB取最小值4. 此時直線l的方程為x+y-3=0. 變式遷移3 解 如圖所示建立直角坐標(biāo)系,則E(30,0),F(xiàn)(0,20), ∴線段EF的方程為+=1(0≤x≤30). 在線段EF上取點P(m,n), 作PQ⊥BC于點Q,PR⊥CD于點R, 設(shè)矩形PQCR的面積為S, 則S=PQ·PR=(100-m)(80-n)

18、. 又+=1(0≤m≤30),∴n=20(1-). ∴S=(100-m)(80-20+m) =-(m-5)2+(0≤m≤30). ∴當(dāng)m=5時,S有最大值, 這時==5. 所以當(dāng)矩形草坪的兩邊在BC、CD上,一個頂點在線段EF上,且這個頂點分EF成5∶1時,草坪面積最大. 課后練習(xí)區(qū) 1.∪ 2. 3.4 4.三 解析 由已知得即a>0,b>0. 由bx+ay-ab=0知y=-x+b. ∴該直線的斜率k<0且在y軸上的截距b>0,故該直線一定不經(jīng)過第三象限. 5.2x+y-3=0或x+2y=0 解析 當(dāng)截距不等于零時,設(shè)l的方程+=1, ∵點P在l上,∴-=1,則

19、a=. ∴l(xiāng)的方程為2x+y=3.當(dāng)截距等于零時,設(shè)l的方程為y=kx,又點P在l上, ∴k=-.∴x+2y=0. 綜上,所求直線l的方程為2x+y=3或x+2y=0. 6.-2 解析 由題意得:=1, 解得:m=-2或m=-1. 又m2+2≠3-m-m2,∴m≠-1且m≠,∴m=-2. 7.2x+y=0 解析 由已知方向向量得直線斜率k=-2,∴由點斜式方程得2x+y=0. 8.x+y-5=0 解析 易知A(-1,0), ∵PA=PB, ∴P在AB的中垂線即x=2上. ∴B(5,0). ∵PA、PB關(guān)于直線x=2對稱, ∴kPB=-1. ∴l(xiāng)PB∶y-0=-

20、(x-5). ∴x+y-5=0. 9.解 (1)當(dāng)m=-1時, 直線AB的斜率不存在;(1分) 當(dāng)m≠-1時,k=.(3分) (2)當(dāng)m=-1時,AB的方程為x=-1,(5分) 當(dāng)m≠-1時,AB的方程為y-2=(x+1), 即y=+.(7分) ∴直線AB的方程為x=-1或y=+. (8分) (3)①當(dāng)m=-1時,α=;(10分) ②當(dāng)m≠-1時, ∵k=∈(-∞,-]∪, ∴α∈∪.(13分) 綜合①②,知直線AB的傾斜角 α∈.(14分) 10. 解 方法一 直線x+my+m=0恒過A(0,-1)點.(4分) kAP==-2, kAQ==,(8分)

21、 則-≥或-≤-2, ∴-≤m≤且m≠0.(12分) 又m=0時直線x+my+m=0與線段PQ有交點,(13分) ∴所求m的范圍是-≤m≤.(14分) 方法二 過P、Q兩點的直線方程為 y-1=(x+1).(5分) 即y=x+,代入x+my+m=0, 整理得:x=-,由已知-1≤-≤2,(12分) 解得:-≤m≤.(14分) 11.(1)證明 直線l的方程是:k(x+2)+(1-y)=0, 令,解之得, ∴無論k取何值,直線總經(jīng)過定點(-2,1).(4分) (2)解 由方程知,當(dāng)k≠0時直線在x軸上的截距為-,在y軸上的截距為1+2k,要使直線不經(jīng)過第四象限,則必須有,解之得k>0;(7分) 當(dāng)k=0時,直線為y=1,符合題意,故k≥0.(9分) (3)解 由l的方程,得A, B(0,1+2k).依題意得  解得k>0.(11分) ∵S=·OA·OB=··|1+2k| =·=≥×(2×2+4)=4, “=”成立的條件是k>0且4k=,即k=,∴Smin=4,此時l:x-2y+4=0.(14分)

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