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1、新編人教版精品教學(xué)資料
1.3.2 奇偶性
學(xué)習(xí)目標 1.結(jié)合具體函數(shù),了解函數(shù)奇偶性的含義(難點).2.掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法,了解奇偶性與函數(shù)圖象對稱性之間的關(guān)系(重點).3.會利用函數(shù)的奇偶性解決簡單問題(重點).
預(yù)習(xí)教材P33-P35,完成下面問題:
知識點 函數(shù)的奇偶性
函數(shù)的奇偶性
奇偶性
定義
圖象特點
偶函數(shù)
如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)
關(guān)于y軸對稱
奇函數(shù)
如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)
關(guān)于原點對稱
【預(yù)
2、習(xí)評價】 (正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)對于函數(shù)y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),則函數(shù)y=f(x)一定是奇函數(shù).( )
(2)不存在既是奇函數(shù),又是偶函數(shù)的函數(shù).( )
(3)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱,則這個函數(shù)不是奇函數(shù),就是偶函數(shù).( )
提示 (1)× 反例:f(x)=x2,存在x=0,f(-0)=-f(0)=0,但函數(shù)f(x)=x2不是奇函數(shù);
(2)× 存在f(x)=0,x∈R既是奇函數(shù),又是偶函數(shù);
(3)× 函數(shù)f(x)=x2-2x,x∈R的定義域關(guān)于原點對稱,但它既不是奇函數(shù),又不是偶函數(shù).
題型一 函數(shù)奇偶性的判斷
【
3、例1】 判斷下列函數(shù)的奇偶性:
(1)f(x)=2-|x|;
(2)f(x)=+;
(3)f(x)=;
(4)f(x)=
解 (1)∵函數(shù)f(x)的定義域為R,關(guān)于原點對稱,又f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x),
∴f(x)為偶函數(shù).
(2)∵函數(shù)f(x)的定義域為{-1,1},關(guān)于原點對稱,且f(x)=0,
又∵f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),
∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).
(3)∵函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠1},不關(guān)于原點對稱,
∴f(x)是非奇非偶函數(shù).
(4)f(x)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞),關(guān)于原點對稱.
當x
4、>0時,-x<0,
f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x);
當x<0時,-x>0,
f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x).
綜上可知,對于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=f(x),f(x)為偶函數(shù).
規(guī)律方法 判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法:
(1)定義法:
(2)圖象法:
【訓(xùn)練1】 判斷下列函數(shù)的奇偶性:
(1)f(x)=x3+x5;
(2)f(x)=|x+1|+|x-1|;
(3)f(x)=.
解 (1)函數(shù)的定義域為R.∵f(-x)=(-x)3+(-x)5=-(x3+x5)=-f(x),
∴f(x)是奇函數(shù).
(2)f(x)的定
5、義域是R.∵f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x),∴f(x)是偶函數(shù).
(3)函數(shù)f(x)的定義域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不關(guān)于原點對稱,∴f(x)是非奇非偶函數(shù).
題型二 奇、偶函數(shù)的圖象問題
【例2】 已知奇函數(shù)f(x)的定義域為[-5,5],且在區(qū)間[0,5]上的圖象如圖所示.
(1)畫出在區(qū)間[-5,0]上的圖象.
(2)寫出使f(x)<0的x的取值集合.
解 (1)因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù),所以y=f(x)在[-5,5]上的圖象關(guān)于原點對稱.由y=f(x)在[0,5]上的圖象,可知它在[-5,0]上的圖象,如圖所示.
6、
(2)由圖象知,使函數(shù)值f(x)<0的x的取值集合為(-2,0)∪(2,5).
規(guī)律方法 1.巧用奇偶性作函數(shù)圖象的步驟
(1)確定函數(shù)的奇偶性.
(2)作出函數(shù)在[0,+∞)(或(-∞,0])上對應(yīng)的圖象.
(3)根據(jù)奇(偶)函數(shù)關(guān)于原點(y軸)對稱得出在(-∞,0](或[0,+∞))上對應(yīng)的函數(shù)圖象.
2.奇偶函數(shù)圖象的應(yīng)用類型及處理策略
(1)類型:利用奇偶函數(shù)的圖象可以解決求值、比較大小及解不等式問題.
(2)策略:利用函數(shù)的奇偶性作出相應(yīng)函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象直接觀察.
【訓(xùn)練2】 已知偶函數(shù)f(x)的一部分圖象如圖,試畫出該函數(shù)在y軸另一側(cè)的圖象,并比較f(2),f
7、(4)的大?。?
解 f(x)為偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對稱,如圖,
由圖象知,f(2)
8、-3)=-G(3),
即f(-3)+8=-f(3)-8.又f(-3)=10,
∴f(3)=-f(-3)-16=-10-16=-26.
法二 由已知條件,得
①+②得f(3)+f(-3)=-16,
又f(-3)=10,∴f(3)=-26.
答案 D
方向2 利用奇偶性求參數(shù)值
【例3-2】 若函數(shù)f(x)=為奇函數(shù),則a=________.
解析 ∵f(x)是奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x),即=-,顯然x≠0,整理得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a,故a+1=0,解得a=-1.
答案?。?
方向3 利用奇偶性求函數(shù)的解析式
【例3-3】 已知函數(shù)f(x
9、)(x∈R)是奇函數(shù),且當x>0時,f(x)=2x-1,求函數(shù)f(x)的解析式.
解 當x<0,-x>0,
∴f(-x)=2(-x)-1=-2x-1.
又∵f(x)是奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)=2x+1.又f(x)(x∈R)是奇函數(shù),
∴f(-0)=-f(0),即f(0)=0.
∴所求函數(shù)的解析式為f(x)=
規(guī)律方法 1.利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值或參數(shù)值的方法:利用函數(shù)的奇偶性的定義f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)可求函數(shù)值,比較f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)的系數(shù)可求參數(shù)值.
2.利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的步驟
(1)“求誰
10、設(shè)誰”,即在哪個區(qū)間上求解析式,x就應(yīng)在哪個區(qū)間上設(shè);
(2)轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,代入已知的解析式;
(3)利用f(x)的奇偶性寫出-f(x)或f(-x),從而解出f(x).
課堂達標
1.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是( )
A.y=x B.y=2x2-3 C.y= D.y=x2,x∈(-1,1]
解析 對于A,f(-x)=-x=-f(x),是奇函數(shù);對于B,定義域為R,滿足f(x)=f(-x),是偶函數(shù);對于C和D,定義域不關(guān)于原點對稱,則不是偶函數(shù),故選B.
答案 B
2.若函數(shù)f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)為偶函數(shù),則m的值是( )
11、
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 f(-x)=(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12),f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12),由f(-x)=f(x),得m-2=0,即m=2.
答案 B
3.已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且當x>0時,f(x)=-x2+-1,則f(-2)=________.
解析 f(2)=-22+-1=-,又f(x)是奇函數(shù),故f(-2)=-f(2)=.
答案
4.如圖,已知偶函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0,x∈R},且f(3)=0,則不等式f(x)<0的解集為________.
解析 由條件利用偶函數(shù)的性
12、質(zhì),畫出函數(shù)f(x)在R上的簡圖:數(shù)形結(jié)合可得不等式f(x)<0的解集為(-3,0)∪(0,3).
答案 (-3,0)∪(0,3)
5.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x>0時,f(x)=x+1,求f(x)的解析式.
解 當x<0時,-x>0,∴f(-x)=-x+1,又f(-x)=-f(x),故f(x)=x-1,
又f(0)=0,所以f(x)=
課堂小結(jié)
1.定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的一個必要條件,f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.
2.奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù).為了便于判斷函數(shù)的奇偶性,有時需要先將函數(shù)進行化簡,或應(yīng)用定義的等價形式:f(-x)=±f(x)?f(-x)?f(x)=0?=±1(f(x)≠0).
3.應(yīng)用函數(shù)的奇偶性求值、參數(shù)或函數(shù)的解析式,要根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義,f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)對函數(shù)值及函數(shù)解析式進行轉(zhuǎn)換.