新編高中數學人教版A版必修一學案：第一單元 1.3.2 奇偶性 含答案

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1、新編人教版精品教學資料 1.3.2　奇偶性 學習目標　1.結合具體函數，了解函數奇偶性的含義(難點).2.掌握判斷函數奇偶性的方法，了解奇偶性與函數圖象對稱性之間的關系(重點).3.會利用函數的奇偶性解決簡單問題(重點)． 預習教材P33－P35，完成下面問題： 知識點　函數的奇偶性 函數的奇偶性 奇偶性 定義 圖象特點 偶函數 如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)是偶函數 關于y軸對稱 奇函數 如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)是奇函數 關于原點對稱 【預

2、習評價】　(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)對于函數y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，則函數y＝f(x)一定是奇函數．(　　) (2)不存在既是奇函數，又是偶函數的函數．(　　) (3)若函數的定義域關于原點對稱，則這個函數不是奇函數，就是偶函數．(　　) 提示　(1)×　反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函數f(x)＝x2不是奇函數； (2)×　存在f(x)＝0，x∈R既是奇函數，又是偶函數； (3)×　函數f(x)＝x2－2x，x∈R的定義域關于原點對稱，但它既不是奇函數，又不是偶函數． 題型一　函數奇偶性的判斷 【

3、例1】　判斷下列函數的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝ 解　(1)∵函數f(x)的定義域為R，關于原點對稱，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)， ∴f(x)為偶函數． (2)∵函數f(x)的定義域為{－1,1}，關于原點對稱，且f(x)＝0， 又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x)既是奇函數又是偶函數． (3)∵函數f(x)的定義域為{x|x≠1}，不關于原點對稱， ∴f(x)是非奇非偶函數． (4)f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱． 當x

4、>0時，－x<0， f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 當x<0時，－x>0， f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)． 綜上可知，對于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)為偶函數． 規(guī)律方法　判斷函數奇偶性的兩種方法： (1)定義法： (2)圖象法： 【訓練1】　判斷下列函數的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋x5； (2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|； (3)f(x)＝. 解　(1)函數的定義域為R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)， ∴f(x)是奇函數． (2)f(x)的定

5、義域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函數． (3)函數f(x)的定義域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不關于原點對稱，∴f(x)是非奇非偶函數． 題型二　奇、偶函數的圖象問題 【例2】　已知奇函數f(x)的定義域為[－5,5]，且在區(qū)間[0,5]上的圖象如圖所示． (1)畫出在區(qū)間[－5,0]上的圖象． (2)寫出使f(x)<0的x的取值集合． 解　(1)因為函數f(x)是奇函數，所以y＝f(x)在[－5,5]上的圖象關于原點對稱．由y＝f(x)在[0,5]上的圖象，可知它在[－5,0]上的圖象，如圖所示．

6、 (2)由圖象知，使函數值f(x)<0的x的取值集合為(－2,0)∪(2,5)． 規(guī)律方法　1.巧用奇偶性作函數圖象的步驟 (1)確定函數的奇偶性． (2)作出函數在[0，＋∞)(或(－∞，0])上對應的圖象． (3)根據奇(偶)函數關于原點(y軸)對稱得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上對應的函數圖象． 2．奇偶函數圖象的應用類型及處理策略 (1)類型：利用奇偶函數的圖象可以解決求值、比較大小及解不等式問題． (2)策略：利用函數的奇偶性作出相應函數的圖象，根據圖象直接觀察． 【訓練2】　已知偶函數f(x)的一部分圖象如圖，試畫出該函數在y軸另一側的圖象，并比較f(2)，f

7、(4)的大?。? 解　f(x)為偶函數，其圖象關于y軸對稱，如圖， 由圖象知，f(2)

8、－3)＝－G(3)， 即f(－3)＋8＝－f(3)－8.又f(－3)＝10， ∴f(3)＝－f(－3)－16＝－10－16＝－26. 法二　由已知條件，得 ①＋②得f(3)＋f(－3)＝－16， 又f(－3)＝10，∴f(3)＝－26. 答案　D 方向2　利用奇偶性求參數值 【例3－2】　若函數f(x)＝為奇函數，則a＝________. 解析　∵f(x)是奇函數，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，顯然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，解得a＝－1. 答案?。? 方向3　利用奇偶性求函數的解析式 【例3－3】　已知函數f(x

9、)(x∈R)是奇函數，且當x＞0時，f(x)＝2x－1，求函數f(x)的解析式． 解　當x＜0，－x＞0， ∴f(－x)＝2(－x)－1＝－2x－1. 又∵f(x)是奇函數，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝2x＋1.又f(x)(x∈R)是奇函數， ∴f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0. ∴所求函數的解析式為f(x)＝ 規(guī)律方法　1.利用函數的奇偶性求函數值或參數值的方法：利用函數的奇偶性的定義f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)可求函數值，比較f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)的系數可求參數值． 2．利用函數奇偶性求函數解析式的步驟 (1)“求誰

10、設誰”，即在哪個區(qū)間上求解析式，x就應在哪個區(qū)間上設； (2)轉化到已知區(qū)間上，代入已知的解析式； (3)利用f(x)的奇偶性寫出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x)． 課堂達標 1．下列函數是偶函數的是(　　) A．y＝x　　　 B．y＝2x2－3 C．y＝　　 D．y＝x2，x∈(－1,1] 解析　對于A，f(－x)＝－x＝－f(x)，是奇函數；對于B，定義域為R，滿足f(x)＝f(－x)，是偶函數；對于C和D，定義域不關于原點對稱，則不是偶函數，故選B． 答案　B 2．若函數f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)為偶函數，則m的值是(　　)

11、 A．1　　　 B．2 C．3　　 D．4 解析　f(－x)＝(m－1)x2－(m－2)x＋(m2－7m＋12)，f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，由f(－x)＝f(x)，得m－2＝0，即m＝2. 答案　B 3．已知函數f(x)為奇函數，且當x>0時，f(x)＝－x2＋－1，則f(－2)＝________. 解析　f(2)＝－22＋－1＝－，又f(x)是奇函數，故f(－2)＝－f(2)＝. 答案　 4．如圖，已知偶函數f(x)的定義域為{x|x≠0，x∈R}，且f(3)＝0，則不等式f(x)<0的解集為________． 解析　由條件利用偶函數的性

12、質，畫出函數f(x)在R上的簡圖：數形結合可得不等式f(x)<0的解集為(－3,0)∪(0,3)． 答案　(－3,0)∪(0,3) 5．已知f(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時，f(x)＝x＋1，求f(x)的解析式． 解　當x<0時，－x>0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(－x)＝－f(x)，故f(x)＝x－1， 又f(0)＝0，所以f(x)＝ 課堂小結 1．定義域在數軸上關于原點對稱是函數f(x)為奇函數或偶函數的一個必要條件，f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定義域上的恒等式． 2．奇偶函數的定義是判斷函數奇偶性的主要依據．為了便于判斷函數的奇偶性，有時需要先將函數進行化簡，或應用定義的等價形式：f(－x)＝±f(x)?f(－x)?f(x)＝0?＝±1(f(x)≠0)． 3．應用函數的奇偶性求值、參數或函數的解析式，要根據函數奇偶性的定義，f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)對函數值及函數解析式進行轉換．