《新編高中數(shù)學(xué)人教版A版必修一學(xué)案:第一單元 1.3.1 第1課時(shí) 函數(shù)的單調(diào)性 含答案》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新編高中數(shù)學(xué)人教版A版必修一學(xué)案:第一單元 1.3.1 第1課時(shí) 函數(shù)的單調(diào)性 含答案(6頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、新編人教版精品教學(xué)資料
§1.3 函數(shù)的基本性質(zhì)
1.3.1 單調(diào)性與最大(小值)
第1課時(shí) 函數(shù)的單調(diào)性
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性等概念,會(huì)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性(重點(diǎn)、難點(diǎn)).2.會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,判斷單調(diào)性(重點(diǎn)).
預(yù)習(xí)教材P27-P28,完成下面問(wèn)題:
知識(shí)點(diǎn)1 增函數(shù)與減函數(shù)
【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】 (正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)已知f(x)=,因?yàn)閒(-1)
2、區(qū)間(1,2]和(2,3)上均為增函數(shù),則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù).( )
提示 (1)× 由函數(shù)單調(diào)性的定義可知,要證明一個(gè)函數(shù)是增函數(shù),需對(duì)定義域內(nèi)的任意的自變量都滿足自變量越大,函數(shù)值也越大,而不是個(gè)別的自變量.
(2)× 不能改為“存在兩個(gè)自變量的值x1、x2”.
(3)× 反例:f(x)=
知識(shí)點(diǎn)2 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.
【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】
(1)函數(shù)f(x)=x2+2x-3的單調(diào)減區(qū)間是________.
(2)函數(shù)y=|x
3、|在區(qū)間[-2,-1]上( )
A.遞減 B.遞增 C.先減后增 D.先增后減
解析 (1)二次函數(shù)f(x)的圖象開口向上,對(duì)稱軸為x=-1,故其單調(diào)減區(qū)間是(-∞,-1).
(2)函數(shù)y=|x|的單減區(qū)間是(-∞,0),又[-2,-1]?(-∞,0),所以函數(shù)y=|x|在區(qū)間[-2,-1]上遞減.
答案 (1)(-∞,-1) (2)A
題型一 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【例1】 (1)如圖所示的是定義在區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)y=f(x)的圖象,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是________、________,在區(qū)間________、________上是增函數(shù).
(2)畫出
4、函數(shù)y=-x2+2|x|+1的圖象并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(1)解析 觀察圖象可知,y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有[-5,-2],[-2,1],[1,3],[3,5].其中y=f(x)在區(qū)間[-5,-2],[1,3]上是增函數(shù),在區(qū)間[-2,1],[3,5]上是減函數(shù).
答案 [-2,1] [3,5] [-5,-2] [1,3]
(2)解 y=
即y=
函數(shù)的大致圖象如圖所示,單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-1],[0,1],單調(diào)減區(qū)間為[-1,0],[1,+∞).
規(guī)律方法 根據(jù)函數(shù)的圖象求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法
(1)作出函數(shù)圖象;
(2)把函數(shù)圖象向x軸作正投影;
(3)圖象上升對(duì)應(yīng)增
5、區(qū)間,圖象下降對(duì)應(yīng)減區(qū)間.
【訓(xùn)練1】 函數(shù)y=的單調(diào)減區(qū)間是________.
解析 y=的圖象可由函數(shù)y=的圖象向右平移一個(gè)單位得到,如圖所示,其單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,1)和(1,+∞).
答案 (-∞,1),(1,+∞)
題型二 證明函數(shù)的單調(diào)性
【例2】 證明函數(shù)f(x)=x+在區(qū)間(2,+∞)上是增函數(shù).
證明 任取x1,x2∈(2,+∞),且x14,x1x2-4>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)
6、2).
所以函數(shù)f(x)=x+在(2,+∞)上是增函數(shù).
規(guī)律方法 利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟
【訓(xùn)練2】 證明函數(shù)f(x)=在(-∞,0)上是增函數(shù).
證明 設(shè)x1,x2是區(qū)間(-∞,0)上任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且x10,x1+x2<0,xx>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)
7、
解 由題知解得0
8、
【探究2】 已知函數(shù)y=x2+2ax+3在區(qū)間(-∞,1]上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
解析 函數(shù)y=x2+2ax+3的圖象開口向上,對(duì)稱軸為x=-a,要使其在區(qū)間(-∞,1]上是減函數(shù),則-a≥1,即a≤-1.
答案 (-∞,-1]
【探究3】 分別作出函數(shù)f(x)=和g(x)=的圖象,并根據(jù)其圖象的變化趨勢(shì)判斷它們?cè)?-∞,+∞)上的單調(diào)性.
解 函數(shù)f(x)的圖象如圖(1)所示,由其圖象可知f(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù);
函數(shù)g(x)的圖象如圖(2)所示,由其圖象可知g(x)在(-∞,+∞)上既不是增函數(shù),也不是減函數(shù).
【探究4】
9、已知函數(shù)f(x)=是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解 由題意得,要使f(x)是減函數(shù),需-2×1+5≥-2×1+a,即a≤5.
【探究5】 若函數(shù)f(x)=是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解 由題意可得解得-3≤a≤-1,
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-3,-1].
規(guī)律方法 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的關(guān)注點(diǎn)
(1)視參數(shù)為已知數(shù),依據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖象或函數(shù)的單調(diào)性的定義,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,與已知的單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù);
(2)分段函數(shù)的單調(diào)性,除注意各段的單調(diào)性外,還要注意銜接點(diǎn)的函數(shù)值的大小關(guān)系.
課堂達(dá)標(biāo)
1.下列函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上不是增函數(shù)的是(
10、)
A.y=2x+1 B.y=x2+1
C.y=3-x D.y=x2+2x+1
解析 函數(shù)y=3-x在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù).
答案 C
2.函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的單調(diào)減區(qū)間是( )
A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,2) D.(2,+∞)
解析 易知函數(shù)f(x)=-x2+2x+3是圖象開口向下的二次函數(shù),其對(duì)稱軸為x=1,所以其單調(diào)減區(qū)間是(1,+∞).
答案 B
3.若f(x)=(2k-3)x+2是R上的增函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.
解析 由題意得2k-3>0,即k>,故k的取值范圍是.
答案
11、
4.若函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù),且f(a-1)>f(2a),則a的取值范圍是________.
解析 由條件可知a-1<2a,解得a>-1.
答案 (-1,+∞)
5.證明f(x)=x2+x在(0,+∞)上是增函數(shù).
證明 設(shè)x1>x2>0,則f(x1)-f(x2)=x+x1-x-x2
=(x1-x2)(x1+x2)+(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2+1),
因?yàn)閤1>x2>0,所以x1-x2>0,x1+x2+1>0,所以f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),所以f(x)=x2+x在(0,+∞)上是增函數(shù).
課堂小結(jié)
1.對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解
12、
(1)單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念,一個(gè)函數(shù)在定義域的不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性.
(2)單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的“整體”性質(zhì),因此定義中的x1,x2有以下幾個(gè)特征:一是任意性,即任意取x1,x2,“任意”二字絕不能丟掉,證明單調(diào)性時(shí)更不可隨意以兩個(gè)特殊值替換;二是有大小,通常規(guī)定x1x2).
(4)并不是所有函數(shù)都具有單調(diào)性.若一個(gè)函數(shù)在定義區(qū)間上既有增區(qū)間又有減區(qū)間,則此函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上不存在單調(diào)性.
2.單調(diào)性的證明方法
證明f(x)在區(qū)間D上的單調(diào)性應(yīng)按以下步驟:
(1)設(shè)元:設(shè)x1,x2∈D且x1