新編高中數學人教版A版必修一學案：第一單元 1.3.1 第1課時 函數的單調性 含答案

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1、新編人教版精品教學資料 §1.3　函數的基本性質 1.3.1　單調性與最大(小值) 第1課時　函數的單調性 學習目標　1.理解單調區(qū)間、單調性等概念，會用定義證明函數的單調性(重點、難點).2.會求函數的單調區(qū)間，判斷單調性(重點)． 預習教材P27－P28，完成下面問題： 知識點1　增函數與減函數 【預習評價】　(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)已知f(x)＝，因為f(－1)

2、區(qū)間(1,2]和(2,3)上均為增函數，則函數f(x)在區(qū)間(1,3)上為增函數．(　　) 提示　(1)×　由函數單調性的定義可知，要證明一個函數是增函數，需對定義域內的任意的自變量都滿足自變量越大，函數值也越大，而不是個別的自變量． (2)×　不能改為“存在兩個自變量的值x1、x2”． (3)×　反例：f(x)＝ 知識點2　函數的單調區(qū)間 如果函數y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數或減函數，那么就說函數y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調區(qū)間． 【預習評價】 (1)函數f(x)＝x2＋2x－3的單調減區(qū)間是________． (2)函數y＝|x

3、|在區(qū)間[－2，－1]上(　　) A．遞減　　　 B．遞增 C．先減后增　　 D．先增后減 解析　(1)二次函數f(x)的圖象開口向上，對稱軸為x＝－1，故其單調減區(qū)間是(－∞，－1)． (2)函數y＝|x|的單減區(qū)間是(－∞，0)，又[－2，－1]?(－∞，0)，所以函數y＝|x|在區(qū)間[－2，－1]上遞減． 答案　(1)(－∞，－1)　(2)A 題型一　求函數的單調區(qū)間 【例1】　(1)如圖所示的是定義在區(qū)間[－5,5]上的函數y＝f(x)的圖象，則函數的單調遞減區(qū)間是________、________，在區(qū)間________、________上是增函數． (2)畫出

4、函數y＝－x2＋2|x|＋1的圖象并寫出函數的單調區(qū)間． (1)解析　觀察圖象可知，y＝f(x)的單調區(qū)間有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]．其中y＝f(x)在區(qū)間[－5，－2]，[1,3]上是增函數，在區(qū)間[－2,1]，[3,5]上是減函數． 答案　[－2,1]　[3,5]　[－5，－2]　[1,3] (2)解　y＝ 即y＝ 函數的大致圖象如圖所示，單調增區(qū)間為(－∞，－1]，[0,1]，單調減區(qū)間為[－1,0]，[1，＋∞)． 規(guī)律方法　根據函數的圖象求函數單調區(qū)間的方法 (1)作出函數圖象； (2)把函數圖象向x軸作正投影； (3)圖象上升對應增

5、區(qū)間，圖象下降對應減區(qū)間． 【訓練1】　函數y＝的單調減區(qū)間是________． 解析　y＝的圖象可由函數y＝的圖象向右平移一個單位得到，如圖所示，其單調遞減區(qū)間是(－∞，1)和(1，＋∞)． 答案　(－∞，1)，(1，＋∞) 題型二　證明函數的單調性 【例2】　證明函數f(x)＝x＋在區(qū)間(2，＋∞)上是增函數． 證明　任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x14，x1x2－4>0， 所以f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)

6、2)． 所以函數f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函數． 規(guī)律方法　利用定義證明函數單調性的步驟 【訓練2】　證明函數f(x)＝在(－∞，0)上是增函數． 證明　設x1，x2是區(qū)間(－∞，0)上任意兩個實數，且x10，x1＋x2<0，xx>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

7、 解　由題知解得0

8、 【探究2】　已知函數y＝x2＋2ax＋3在區(qū)間(－∞，1]上是減函數，則實數a的取值范圍是________． 解析　函數y＝x2＋2ax＋3的圖象開口向上，對稱軸為x＝－a，要使其在區(qū)間(－∞，1]上是減函數，則－a≥1，即a≤－1. 答案　(－∞，－1] 【探究3】　分別作出函數f(x)＝和g(x)＝的圖象，并根據其圖象的變化趨勢判斷它們在(－∞，＋∞)上的單調性． 解　函數f(x)的圖象如圖(1)所示，由其圖象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數； 函數g(x)的圖象如圖(2)所示，由其圖象可知g(x)在(－∞，＋∞)上既不是增函數，也不是減函數． 　　　 【探究4】　

9、已知函數f(x)＝是減函數，求實數a的取值范圍． 解　由題意得，要使f(x)是減函數，需－2×1＋5≥－2×1＋a，即a≤5. 【探究5】　若函數f(x)＝是減函數，求實數a的取值范圍． 解　由題意可得解得－3≤a≤－1， 則實數a的取值范圍是[－3，－1]． 規(guī)律方法　已知函數的單調性求參數的關注點 (1)視參數為已知數，依據基本初等函數的單調性、函數的圖象或函數的單調性的定義，確定函數的單調區(qū)間，與已知的單調區(qū)間比較求參數； (2)分段函數的單調性，除注意各段的單調性外，還要注意銜接點的函數值的大小關系． 課堂達標 1．下列函數在區(qū)間(0，＋∞)上不是增函數的是(　　

10、) A．y＝2x＋1　　　 B．y＝x2＋1 C．y＝3－x　　 D．y＝x2＋2x＋1 解析　函數y＝3－x在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數． 答案　C 2．函數f(x)＝－x2＋2x＋3的單調減區(qū)間是(　　) A．(－∞，1)　　　B．(1，＋∞)　　　 C．(－∞，2)　　 D．(2，＋∞) 解析　易知函數f(x)＝－x2＋2x＋3是圖象開口向下的二次函數，其對稱軸為x＝1，所以其單調減區(qū)間是(1，＋∞)． 答案　B 3．若f(x)＝(2k－3)x＋2是R上的增函數，則實數k的取值范圍是________． 解析　由題意得2k－3>0，即k>，故k的取值范圍是. 答案　

11、 4．若函數f(x)是R上的減函數，且f(a－1)>f(2a)，則a的取值范圍是________． 解析　由條件可知a－1<2a，解得a>－1. 答案　(－1，＋∞) 5．證明f(x)＝x2＋x在(0，＋∞)上是增函數． 證明　設x1>x2>0，則f(x1)－f(x2)＝x＋x1－x－x2 ＝(x1－x2)(x1＋x2)＋(x1－x2)＝(x1－x2)(x1＋x2＋1)， 因為x1>x2>0，所以x1－x2>0，x1＋x2＋1>0，所以f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)，所以f(x)＝x2＋x在(0，＋∞)上是增函數． 課堂小結 1．對函數單調性的理解

12、 (1)單調性是與“區(qū)間”緊密相關的概念，一個函數在定義域的不同的區(qū)間上可以有不同的單調性． (2)單調性是函數在某一區(qū)間上的“整體”性質，因此定義中的x1，x2有以下幾個特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字絕不能丟掉，證明單調性時更不可隨意以兩個特殊值替換；二是有大小，通常規(guī)定x1x2)． (4)并不是所有函數都具有單調性．若一個函數在定義區(qū)間上既有增區(qū)間又有減區(qū)間，則此函數在這個區(qū)間上不存在單調性． 2．單調性的證明方法 證明f(x)在區(qū)間D上的單調性應按以下步驟： (1)設元：設x1，x2∈D且x1