13、b1＋b2＋…＋bn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)＝.
即數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝.
熱點四 數(shù)列的實際應(yīng)用
例4 自從祖國大陸允許臺灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來，在11個省區(qū)設(shè)立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗區(qū)和臺灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園，臺灣農(nóng)民在那里申辦個體工商戶可以享受“綠色通道”的申請、受理、審批一站式服務(wù)，某臺商第一年年初到大陸就創(chuàng)辦了一座120萬元的蔬菜加工廠M，M的價值在使用過程中逐年減少，從第二年到第六年，每年年初M的價值比上年年初減少10萬元，從第七年開始，每年年初M的價值為上年年初的75%.
(1)求第n年年初M的價值an的表達(dá)式；
(2)設(shè)An＝，若An大于80萬元，則M繼續(xù)使用，
14、否則須在第n年年初對M更新，證明：必須在第九年年初對M更新．
思維啟迪 (1)根據(jù)題意，當(dāng)n≤6時，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，當(dāng)n≥7時，數(shù)列{an}是等比數(shù)列，分別寫出其通項公式，然后進(jìn)行合并即可；(2)先對n進(jìn)行分類，表示出An，利用數(shù)列的單調(diào)性質(zhì)確定其最佳項，并與80比較大小，確定n的值．
(1)解 當(dāng)n≤6時，數(shù)列{an}是首項為120，公差為－10的等差數(shù)列，故an＝120－10(n－1)＝130－10n，
當(dāng)n≥7時，數(shù)列{an}從a6開始的項構(gòu)成一個以a6＝130－60＝70為首項，以為公比的等比數(shù)列，故an＝70×()n－6，
所以第n年年初M的價值an＝
(2)證明
15、設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，得
當(dāng)1≤n≤6時，Sn＝120n－5n(n－1)，
An＝＝120－5(n－1)＝125－5n≥95>80，
當(dāng)n≥7時，由于S6＝570，
故Sn＝570＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70××4×[1－()n－6]＝780－210×()n－6.
因為{an}是遞減數(shù)列，所以{An}是遞減數(shù)列．
因為An＝＝，
A8＝≈82.734>80，
A9＝≈76.823<80，
所以必須在第九年年初對M更新．
思維升華 解答數(shù)列應(yīng)用題，與函數(shù)應(yīng)用題的求解過程類似，一般要經(jīng)過三步：(1)建模，首先要認(rèn)真審題，理
16、解實際背景，理清數(shù)學(xué)關(guān)系，把應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題；(2)解模，利用所學(xué)的數(shù)列知識，解決數(shù)列模型中的相關(guān)問題；(3)釋模，把已解決的數(shù)列模型中的問題返回到實際問題中去，與實際問題相對應(yīng)，確定問題的結(jié)果．
設(shè)某商品一次性付款的金額為a元，以分期付款的形式等額地分成n次付清，若每期利率r保持不變，按復(fù)利計算，則每期期末所付款是( )
A.(1＋r)n元 B.元
C.(1＋r)n－1元 D.元
答案 B
解析 設(shè)每期期末所付款是x元，則各次付款的本利和為x(1＋r)n－1＋x(1＋r)n－2＋x(1＋r)n－3＋…＋x(1＋r)＋x＝a(1＋r)n，
即x·＝a(1＋r)n，
故x
17、＝.
1．?dāng)?shù)列綜合問題一般先求數(shù)列的通項公式，這是做好該類題的關(guān)鍵．若是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則直接運用公式求解，否則常用下列方法求解：
(1)an＝
(2)遞推關(guān)系形如an＋1－an＝f(n)，常用累加法求通項．
(3)遞推關(guān)系形如＝f(n)，常用累乘法求通項．
(4)遞推關(guān)系形如“an＋1＝pan＋q(p、q是常數(shù)，且p≠1，q≠0)”的數(shù)列求通項，常用待定系數(shù)法．可設(shè)an＋1＋λ＝p(an＋λ)，經(jīng)過比較，求得λ，則數(shù)列{an＋λ}是一個等比數(shù)列．
(5)遞推關(guān)系形如“an＋1＝pan＋qn(q，p為常數(shù)，且p≠1，q≠0)”的數(shù)列求通項，此類型可以將關(guān)系式兩邊同除以qn轉(zhuǎn)
18、化為類型(4)，或同除以pn＋1轉(zhuǎn)為用迭加法求解．
2．?dāng)?shù)列求和中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：
(1)錯位相減法求和時，將問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和問題求解．
(2)并項求和時，將問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和．
(3)分組求和時，將問題轉(zhuǎn)化為能用公式法或錯位相減法或裂項相消法或并項法求和的幾個數(shù)列的和求解．
提醒：運用錯位相減法求和時，相減后，要注意右邊的n＋1項中的前n項，哪些項構(gòu)成等比數(shù)列，以及兩邊需除以代數(shù)式時注意要討論代數(shù)式是否為零．
3．?dāng)?shù)列應(yīng)用題主要考查應(yīng)用所學(xué)知識分析和解析問題的能力．其中，建立數(shù)列模型是解決這類問題的核心，在解題中的主要思路：①首先構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列模
19、型，然后用相應(yīng)的通項公式與求和公式求解；②通過歸納得到結(jié)論，再用數(shù)列知識求解.
真題感悟
1．(2013·湖南)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝(－1)nan－，n∈N*，則：
(1)a3＝________；
(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.
答案 (1)－ (2)
解析 ∵an＝Sn－Sn－1
＝(－1)nan－－(－1)n－1an－1＋(n≥2)，
∴an＝(－1)nan－(－1)n－1an－1＋(n≥2)．
當(dāng)n為偶數(shù)時，an－1＝－(n≥2)，
當(dāng)n為奇數(shù)時，2an＋an－1＝(n≥2)，
∴當(dāng)n＝4時，a3＝－＝－.
根據(jù)以上{an
20、}的關(guān)系式及遞推式可求．
a1＝－，a3＝－，a5＝－，a7＝－，…，
a2＝，a4＝，a6＝，a8＝，….
∴a2－a1＝，a4－a3＝，a6－a5＝，…，
∴S1＋S2＋…＋S100＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a100－a99)－
＝－
＝.
2．(2014·課標(biāo)全國Ⅱ)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(1)證明{an＋}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；
(2)證明＋＋…＋<.
證明 (1)由an＋1＝3an＋1，
得an＋1＋＝3(an＋)．
又a1＋＝，
所以{an＋}是首項為，公比為3的等比數(shù)列．
an＋＝，因此{(lán)an
21、}的通項公式為an＝.
(2)由(1)知＝.
因為當(dāng)n≥1時，3n－1≥2×3n－1，
所以≤.
于是＋＋…＋≤1＋＋…＋
＝(1－)<.
所以＋＋…＋<.
押題精練
1．如圖，一個類似楊輝三角的數(shù)陣，則第n(n≥2)行的第2個數(shù)為________．
答案 n2－2n＋3
解析 由題意可知：圖中每行的第二個數(shù)分別為3,6,11,18，…，即a2＝3，a3＝6，a4＝11，a5＝18，…，
∴a3－a2＝3，a4－a3＝5，a5－a4＝7，…，an－an－1＝2n－3，
∴累加得：an－a2＝3＋5＋7＋…＋(2n－3)，
∴an＝n2－2n＋3.
2．秋末冬初，
22、流感盛行，特別是甲型H1N1流感．某醫(yī)院近30天每天入院治療甲流的人數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，則該醫(yī)院30天入院治療甲流共有________人．
答案 255
解析 由于an＋2－an＝1＋(－1)n，
所以a1＝a3＝…＝a29＝1，
a2，a4，…，a30構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，
所以a1＋a2＋…＋a29＋a30
＝15＋15×2＋×2＝255.
故該醫(yī)院30天入院治療甲流的人數(shù)為255.
3．已知數(shù)列{bn}滿足3(n＋1)bn＝nbn＋1，且b1＝3.
(1)求數(shù)列{bn}的通項公式；
(2)已知
23、＝，求證：≤＋＋…＋<1.
(1)解 因為3(n＋1)bn＝nbn＋1，所以＝.
則＝3×，＝3×，＝3×，…，＝3×，
累乘，可得＝3n－1×n，因為b1＝3，所以bn＝n·3n，
即數(shù)列{bn}的通項公式bn＝n·3n.
(2)證明 因為＝，所以an＝·3n.
因為＝·
＝·＝(－)·
＝·－·，
所以＋＋…＋＝(1·－·)＋(·－·)＋…＋(·－·)
＝1－·.
因為n∈N*，所以0<·≤，所以≤1－·<1，
所以≤＋＋…＋<1.
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一、選擇題
1．?dāng)?shù)列{an}共有5項，其中a1＝0，a5＝2，且|ai＋1－ai|＝1，i＝1,2,
24、3,4，則滿足條件的不同數(shù)列的個數(shù)為( )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案 B
解析 設(shè)bi＝ai＋1－ai，i＝1,2,3,4，則bi等于1或－1，由a5＝(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＋(a2－a1)＝b4＋b3＋b2＋b1，知bi(i＝1,2,3,4)共有3個1,1個－1.
所以符合條件的{an}共有4個．
2．已知在數(shù)列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，則|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于( )
A．445 B．765
C．1 080 D．3 105
答案 B
解析 ∵an＋1＝an＋3，∴an＋1－
25、an＝3.
∴{an}是以－60為首項，3為公差的等差數(shù)列．
∴an＝－60＋3(n－1)＝3n－63.
令an≤0，得n≤21.
∴前20項都為負(fù)值．
∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|
＝－(a1＋a2＋…＋a20)＋a21＋…＋a30
＝－2S20＋S30.
∵Sn＝n＝×n，
∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝765.
3．在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2 013，其前n項和為Sn，若－＝2，則S2 013的值等于( )
A．－2 011 B．－2 012
C．－2 010 D．－2 013
答案 D
解析 根據(jù)等差數(shù)列的性
26、質(zhì)，得數(shù)列{}也是等差數(shù)列，
根據(jù)已知可得這個數(shù)列的首項＝a1＝－2 013，
公差d＝1，故＝－2 013＋(2 013－1)×1＝－1，
所以S2 013＝－2 013.
4．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝1，a2＝3，記Sn＝a1＋a2＋…＋an，則下列結(jié)論正確的是( )
A．a(chǎn)100＝－1，S100＝5 B．a(chǎn)100＝－3，S100＝5
C．a(chǎn)100＝－3，S100＝2 D．a(chǎn)100＝－1，S100＝2
答案 A
解析 由題意知，a1＝1，a2＝3，a3＝2，a4＝－1，a5＝－3，a6＝－2，a7＝1，由此可以得出數(shù)列{an}
27、是以6為一個周期，所以a100＝a4＝－1，S100＝a1＋a2＋a3＋a4＝5，故選A.
5．?dāng)?shù)列{an}的通項公式an＝ncos ，其前n項和為Sn，則S2 012等于( )
A．1 006 B．2 012 C．503 D．0
答案 A
解析 用歸納法求解．
∵an＝ncos ，∴a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4，a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，….
由此易知a4n－2＝－(4n－2)，a4n＝4n，
且a1＋a2＋a3＋a4＝－2＋4＝2，
a5＋a6＋a7＋a8＝－6＋8＝2，…，
a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n＝－(4n－2)＋
28、4n＝2.
又2 012＝4×503，
∴a1＋a2＋…＋a2 012＝2＋2＋…＋＝2×503＝1 006.
6．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，且對任意的m，n∈N*都有am＋n＝am＋an＋mn，則＋＋＋…＋等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 令m＝1，得an＋1＝an＋n＋1，即an＋1－an＝n＋1，
于是a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，
上述n－1個式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n，
所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝，
因此＝＝2，
所以＋＋＋…＋
＝2
＝2＝.
二、填空題
7．在數(shù)列{an}中，a1＝1，
29、an＋2＋(－1)nan＝1，記Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則S60＝________.
答案 480
解析 ∵an＋2＋(－1)nan＝1，∴a3－a1＝1，a5－a3＝1，a7－a5＝1，…，且a4＋a2＝1，a6＋a4＝1，a8＋a6＝1，…，∴{a2n－1}為等差數(shù)列，且a2n－1＝1＋(n－1)×1＝n，即a1＝1，a3＝2，a5＝3，a7＝4，
∴S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋1＋2＝4，S8－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＝3＋4＋1＝8，
S12－S8＝a9＋a10＋a11＋a12＝5＋6＋1＝12，…，
∴S60＝4×15＋×4＝480.
8．設(shè)Sn為數(shù)列{a
30、n}的前n項和，若(n∈N*)是非零常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和等比數(shù)列”；若數(shù)列{cn}是首項為2，公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，且數(shù)列{cn}是“和等比數(shù)列”，則d＝________.
答案 4
解析 由題意可知，數(shù)列{cn}的前n項和為Sn＝，前2n項和為S2n＝，所以＝＝2＋＝2＋.因為數(shù)列{cn}是“和等比數(shù)列”，即為非零常數(shù)，所以d＝4.
9．設(shè)Sn＝＋＋＋…＋(n∈N*)，且Sn＋1·Sn＋2＝，則n的值是________．
答案 5
解析 ∵Sn＋1＝＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－
＝，
∴Sn＋2＝.
∴Sn＋1·Sn＋2＝＝，解得n＝5.
10．已
31、知數(shù)列{an}的通項公式為an＝，前n項和為Sn，若對任意的正整數(shù)n，不等式S2n－Sn>恒成立，則常數(shù)m所能取得的最大整數(shù)為_______________．
答案 5
解析 要使S2n－Sn>恒成立，
只需(S2n－Sn)min>.
因為(S2(n＋1)－Sn＋1)－(S2n－Sn)
＝(S2n＋2－S2n)－(Sn＋1－Sn)
＝a2n＋1＋a2n＋2－an＋1
＝＋－
>＋－＝－>0，
所以S2n－Sn≥S2－S1＝，
所以0，n∈N*，且a3－a2＝8，又a1，a5的等比中項為1
32、6.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝log4an，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，是否存在正整數(shù)k，使得＋＋＋…＋
33、)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)令bn＝(－1)n－1，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
解 (1)因為S1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2，
S4＝4a1＋×2＝4a1＋12，
由題意，得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，
所以an＝2n－1.
(2)bn＝(－1)n－1＝(－1)n－1
＝(－1)n－1(＋)．
當(dāng)n為偶數(shù)時，
Tn＝(1＋)－(＋)＋…＋(＋)－(＋)＝1－＝.
當(dāng)n為奇數(shù)時，
Tn＝(1＋)－(＋)＋…－(＋)＋(＋)＝1＋＝.
所以Tn＝
(或Tn＝)
13．某產(chǎn)品在不做廣告宣傳且每千克獲利a元的前提下，可賣出b
34、千克．若做廣告宣傳，廣告費為n(n∈N*)千元時比廣告費為(n－1)千元時多賣出千克．
(1)當(dāng)廣告費分別為1千元和2千元時，用b表示銷售量S；
(2)試寫出銷售量S與n的函數(shù)關(guān)系式；
(3)當(dāng)a＝50，b＝200時，要使廠家獲利最大，銷售量S和廣告費n分別應(yīng)為多少？
解 (1)當(dāng)廣告費為1千元時，銷售量S＝b＋＝.
當(dāng)廣告費為2千元時，銷售量S＝b＋＋＝.
(2)設(shè)Sn(n∈N)表示廣告費為n千元時的銷售量，
由題意得S1－S0＝，
S2－S1＝，
……
Sn－Sn－1＝.
以上n個等式相加得，Sn－S0＝＋＋＋…＋，
即S＝Sn＝b＋＋＋＋…＋＝
＝b(2－)，n∈N.
(3)當(dāng)a＝50，b＝200時，設(shè)獲利為Tn，則有
Tn＝Sa－1 000n＝10 000×(2－)－1 000n
＝1 000×(20－－n)，
設(shè)bn＝20－－n，
則bn＋1－bn＝20－－n－1－20＋＋n＝－1，
當(dāng)n≤2時，bn＋1－bn>0；當(dāng)n≥3時，bn＋1－bn<0.
所以當(dāng)n＝3時，bn取得最大值，
即Tn取得最大值，此時S＝375，
即該廠家獲利最大時，銷售量和廣告費分別為375千克和3千元．
專題四 第2講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用
