13、b1＋b2＋…＋bn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)＝.
即數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝.
熱點四 數(shù)列的實際應用
例4 自從祖國大陸允許臺灣農民到大陸創(chuàng)業(yè)以來，在11個省區(qū)設立了海峽兩岸農業(yè)合作試驗區(qū)和臺灣農民創(chuàng)業(yè)園，臺灣農民在那里申辦個體工商戶可以享受“綠色通道”的申請、受理、審批一站式服務，某臺商第一年年初到大陸就創(chuàng)辦了一座120萬元的蔬菜加工廠M，M的價值在使用過程中逐年減少，從第二年到第六年，每年年初M的價值比上年年初減少10萬元，從第七年開始，每年年初M的價值為上年年初的75%.
(1)求第n年年初M的價值an的表達式；
(2)設An＝，若An大于80萬元，則M繼續(xù)使用，
14、否則須在第n年年初對M更新，證明：必須在第九年年初對M更新．
思維啟迪 (1)根據(jù)題意，當n≤6時，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，當n≥7時，數(shù)列{an}是等比數(shù)列，分別寫出其通項公式，然后進行合并即可；(2)先對n進行分類，表示出An，利用數(shù)列的單調性質確定其最佳項，并與80比較大小，確定n的值．
(1)解 當n≤6時，數(shù)列{an}是首項為120，公差為－10的等差數(shù)列，故an＝120－10(n－1)＝130－10n，
當n≥7時，數(shù)列{an}從a6開始的項構成一個以a6＝130－60＝70為首項，以為公比的等比數(shù)列，故an＝70×()n－6，
所以第n年年初M的價值an＝
(2)證明
15、設Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，得
當1≤n≤6時，Sn＝120n－5n(n－1)，
An＝＝120－5(n－1)＝125－5n≥95>80，
當n≥7時，由于S6＝570，
故Sn＝570＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70××4×[1－()n－6]＝780－210×()n－6.
因為{an}是遞減數(shù)列，所以{An}是遞減數(shù)列．
因為An＝＝，
A8＝≈82.734>80，
A9＝≈76.823<80，
所以必須在第九年年初對M更新．
思維升華 解答數(shù)列應用題，與函數(shù)應用題的求解過程類似，一般要經(jīng)過三步：(1)建模，首先要認真審題，理
16、解實際背景，理清數(shù)學關系，把應用問題轉化為數(shù)列問題；(2)解模，利用所學的數(shù)列知識，解決數(shù)列模型中的相關問題；(3)釋模，把已解決的數(shù)列模型中的問題返回到實際問題中去，與實際問題相對應，確定問題的結果．
設某商品一次性付款的金額為a元，以分期付款的形式等額地分成n次付清，若每期利率r保持不變，按復利計算，則每期期末所付款是( )
A.(1＋r)n元 B.元
C.(1＋r)n－1元 D.元
答案 B
解析 設每期期末所付款是x元，則各次付款的本利和為x(1＋r)n－1＋x(1＋r)n－2＋x(1＋r)n－3＋…＋x(1＋r)＋x＝a(1＋r)n，
即x·＝a(1＋r)n，
故x
17、＝.
1．數(shù)列綜合問題一般先求數(shù)列的通項公式，這是做好該類題的關鍵．若是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則直接運用公式求解，否則常用下列方法求解：
(1)an＝
(2)遞推關系形如an＋1－an＝f(n)，常用累加法求通項．
(3)遞推關系形如＝f(n)，常用累乘法求通項．
(4)遞推關系形如“an＋1＝pan＋q(p、q是常數(shù)，且p≠1，q≠0)”的數(shù)列求通項，常用待定系數(shù)法．可設an＋1＋λ＝p(an＋λ)，經(jīng)過比較，求得λ，則數(shù)列{an＋λ}是一個等比數(shù)列．
(5)遞推關系形如“an＋1＝pan＋qn(q，p為常數(shù)，且p≠1，q≠0)”的數(shù)列求通項，此類型可以將關系式兩邊同除以qn轉
18、化為類型(4)，或同除以pn＋1轉為用迭加法求解．
2．數(shù)列求和中應用轉化與化歸思想的常見類型：
(1)錯位相減法求和時，將問題轉化為等比數(shù)列的求和問題求解．
(2)并項求和時，將問題轉化為等差數(shù)列求和．
(3)分組求和時，將問題轉化為能用公式法或錯位相減法或裂項相消法或并項法求和的幾個數(shù)列的和求解．
提醒：運用錯位相減法求和時，相減后，要注意右邊的n＋1項中的前n項，哪些項構成等比數(shù)列，以及兩邊需除以代數(shù)式時注意要討論代數(shù)式是否為零．
3．數(shù)列應用題主要考查應用所學知識分析和解析問題的能力．其中，建立數(shù)列模型是解決這類問題的核心，在解題中的主要思路：①首先構造等差數(shù)列或等比數(shù)列模
19、型，然后用相應的通項公式與求和公式求解；②通過歸納得到結論，再用數(shù)列知識求解.
真題感悟
1．(2013·湖南)設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝(－1)nan－，n∈N*，則：
(1)a3＝________；
(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.
答案 (1)－ (2)
解析 ∵an＝Sn－Sn－1
＝(－1)nan－－(－1)n－1an－1＋(n≥2)，
∴an＝(－1)nan－(－1)n－1an－1＋(n≥2)．
當n為偶數(shù)時，an－1＝－(n≥2)，
當n為奇數(shù)時，2an＋an－1＝(n≥2)，
∴當n＝4時，a3＝－＝－.
根據(jù)以上{an
20、}的關系式及遞推式可求．
a1＝－，a3＝－，a5＝－，a7＝－，…，
a2＝，a4＝，a6＝，a8＝，….
∴a2－a1＝，a4－a3＝，a6－a5＝，…，
∴S1＋S2＋…＋S100＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a100－a99)－
＝－
＝.
2．(2014·課標全國Ⅱ)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(1)證明{an＋}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；
(2)證明＋＋…＋<.
證明 (1)由an＋1＝3an＋1，
得an＋1＋＝3(an＋)．
又a1＋＝，
所以{an＋}是首項為，公比為3的等比數(shù)列．
an＋＝，因此{an
21、}的通項公式為an＝.
(2)由(1)知＝.
因為當n≥1時，3n－1≥2×3n－1，
所以≤.
于是＋＋…＋≤1＋＋…＋
＝(1－)<.
所以＋＋…＋<.
押題精練
1．如圖，一個類似楊輝三角的數(shù)陣，則第n(n≥2)行的第2個數(shù)為________．
答案 n2－2n＋3
解析 由題意可知：圖中每行的第二個數(shù)分別為3,6,11,18，…，即a2＝3，a3＝6，a4＝11，a5＝18，…，
∴a3－a2＝3，a4－a3＝5，a5－a4＝7，…，an－an－1＝2n－3，
∴累加得：an－a2＝3＋5＋7＋…＋(2n－3)，
∴an＝n2－2n＋3.
2．秋末冬初，
22、流感盛行，特別是甲型H1N1流感．某醫(yī)院近30天每天入院治療甲流的人數(shù)依次構成數(shù)列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，則該醫(yī)院30天入院治療甲流共有________人．
答案 255
解析 由于an＋2－an＝1＋(－1)n，
所以a1＝a3＝…＝a29＝1，
a2，a4，…，a30構成公差為2的等差數(shù)列，
所以a1＋a2＋…＋a29＋a30
＝15＋15×2＋×2＝255.
故該醫(yī)院30天入院治療甲流的人數(shù)為255.
3．已知數(shù)列{bn}滿足3(n＋1)bn＝nbn＋1，且b1＝3.
(1)求數(shù)列{bn}的通項公式；
(2)已知
23、＝，求證：≤＋＋…＋<1.
(1)解 因為3(n＋1)bn＝nbn＋1，所以＝.
則＝3×，＝3×，＝3×，…，＝3×，
累乘，可得＝3n－1×n，因為b1＝3，所以bn＝n·3n，
即數(shù)列{bn}的通項公式bn＝n·3n.
(2)證明 因為＝，所以an＝·3n.
因為＝·
＝·＝(－)·
＝·－·，
所以＋＋…＋＝(1·－·)＋(·－·)＋…＋(·－·)
＝1－·.
因為n∈N*，所以0<·≤，所以≤1－·<1，
所以≤＋＋…＋<1.
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一、選擇題
1．數(shù)列{an}共有5項，其中a1＝0，a5＝2，且|ai＋1－ai|＝1，i＝1,2,
24、3,4，則滿足條件的不同數(shù)列的個數(shù)為( )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案 B
解析 設bi＝ai＋1－ai，i＝1,2,3,4，則bi等于1或－1，由a5＝(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＋(a2－a1)＝b4＋b3＋b2＋b1，知bi(i＝1,2,3,4)共有3個1,1個－1.
所以符合條件的{an}共有4個．
2．已知在數(shù)列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，則|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于( )
A．445 B．765
C．1 080 D．3 105
答案 B
解析 ∵an＋1＝an＋3，∴an＋1－
25、an＝3.
∴{an}是以－60為首項，3為公差的等差數(shù)列．
∴an＝－60＋3(n－1)＝3n－63.
令an≤0，得n≤21.
∴前20項都為負值．
∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|
＝－(a1＋a2＋…＋a20)＋a21＋…＋a30
＝－2S20＋S30.
∵Sn＝n＝×n，
∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝765.
3．在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2 013，其前n項和為Sn，若－＝2，則S2 013的值等于( )
A．－2 011 B．－2 012
C．－2 010 D．－2 013
答案 D
解析 根據(jù)等差數(shù)列的性
26、質，得數(shù)列{}也是等差數(shù)列，
根據(jù)已知可得這個數(shù)列的首項＝a1＝－2 013，
公差d＝1，故＝－2 013＋(2 013－1)×1＝－1，
所以S2 013＝－2 013.
4．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝1，a2＝3，記Sn＝a1＋a2＋…＋an，則下列結論正確的是( )
A．a(chǎn)100＝－1，S100＝5 B．a(chǎn)100＝－3，S100＝5
C．a(chǎn)100＝－3，S100＝2 D．a(chǎn)100＝－1，S100＝2
答案 A
解析 由題意知，a1＝1，a2＝3，a3＝2，a4＝－1，a5＝－3，a6＝－2，a7＝1，由此可以得出數(shù)列{an}
27、是以6為一個周期，所以a100＝a4＝－1，S100＝a1＋a2＋a3＋a4＝5，故選A.
5．數(shù)列{an}的通項公式an＝ncos ，其前n項和為Sn，則S2 012等于( )
A．1 006 B．2 012 C．503 D．0
答案 A
解析 用歸納法求解．
∵an＝ncos ，∴a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4，a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，….
由此易知a4n－2＝－(4n－2)，a4n＝4n，
且a1＋a2＋a3＋a4＝－2＋4＝2，
a5＋a6＋a7＋a8＝－6＋8＝2，…，
a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n＝－(4n－2)＋
28、4n＝2.
又2 012＝4×503，
∴a1＋a2＋…＋a2 012＝2＋2＋…＋＝2×503＝1 006.
6．數(shù)列{an}滿足a1＝1，且對任意的m，n∈N*都有am＋n＝am＋an＋mn，則＋＋＋…＋等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 令m＝1，得an＋1＝an＋n＋1，即an＋1－an＝n＋1，
于是a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，
上述n－1個式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n，
所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝，
因此＝＝2，
所以＋＋＋…＋
＝2
＝2＝.
二、填空題
7．在數(shù)列{an}中，a1＝1，
29、an＋2＋(－1)nan＝1，記Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則S60＝________.
答案 480
解析 ∵an＋2＋(－1)nan＝1，∴a3－a1＝1，a5－a3＝1，a7－a5＝1，…，且a4＋a2＝1，a6＋a4＝1，a8＋a6＝1，…，∴{a2n－1}為等差數(shù)列，且a2n－1＝1＋(n－1)×1＝n，即a1＝1，a3＝2，a5＝3，a7＝4，
∴S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋1＋2＝4，S8－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＝3＋4＋1＝8，
S12－S8＝a9＋a10＋a11＋a12＝5＋6＋1＝12，…，
∴S60＝4×15＋×4＝480.
8．設Sn為數(shù)列{a
30、n}的前n項和，若(n∈N*)是非零常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和等比數(shù)列”；若數(shù)列{cn}是首項為2，公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，且數(shù)列{cn}是“和等比數(shù)列”，則d＝________.
答案 4
解析 由題意可知，數(shù)列{cn}的前n項和為Sn＝，前2n項和為S2n＝，所以＝＝2＋＝2＋.因為數(shù)列{cn}是“和等比數(shù)列”，即為非零常數(shù)，所以d＝4.
9．設Sn＝＋＋＋…＋(n∈N*)，且Sn＋1·Sn＋2＝，則n的值是________．
答案 5
解析 ∵Sn＋1＝＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－
＝，
∴Sn＋2＝.
∴Sn＋1·Sn＋2＝＝，解得n＝5.
10．已
31、知數(shù)列{an}的通項公式為an＝，前n項和為Sn，若對任意的正整數(shù)n，不等式S2n－Sn>恒成立，則常數(shù)m所能取得的最大整數(shù)為_______________．
答案 5
解析 要使S2n－Sn>恒成立，
只需(S2n－Sn)min>.
因為(S2(n＋1)－Sn＋1)－(S2n－Sn)
＝(S2n＋2－S2n)－(Sn＋1－Sn)
＝a2n＋1＋a2n＋2－an＋1
＝＋－
>＋－＝－>0，
所以S2n－Sn≥S2－S1＝，
所以0，n∈N*，且a3－a2＝8，又a1，a5的等比中項為1
32、6.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設bn＝log4an，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，是否存在正整數(shù)k，使得＋＋＋…＋
33、)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)令bn＝(－1)n－1，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
解 (1)因為S1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2，
S4＝4a1＋×2＝4a1＋12，
由題意，得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，
所以an＝2n－1.
(2)bn＝(－1)n－1＝(－1)n－1
＝(－1)n－1(＋)．
當n為偶數(shù)時，
Tn＝(1＋)－(＋)＋…＋(＋)－(＋)＝1－＝.
當n為奇數(shù)時，
Tn＝(1＋)－(＋)＋…－(＋)＋(＋)＝1＋＝.
所以Tn＝
(或Tn＝)
13．某產(chǎn)品在不做廣告宣傳且每千克獲利a元的前提下，可賣出b
34、千克．若做廣告宣傳，廣告費為n(n∈N*)千元時比廣告費為(n－1)千元時多賣出千克．
(1)當廣告費分別為1千元和2千元時，用b表示銷售量S；
(2)試寫出銷售量S與n的函數(shù)關系式；
(3)當a＝50，b＝200時，要使廠家獲利最大，銷售量S和廣告費n分別應為多少？
解 (1)當廣告費為1千元時，銷售量S＝b＋＝.
當廣告費為2千元時，銷售量S＝b＋＋＝.
(2)設Sn(n∈N)表示廣告費為n千元時的銷售量，
由題意得S1－S0＝，
S2－S1＝，
……
Sn－Sn－1＝.
以上n個等式相加得，Sn－S0＝＋＋＋…＋，
即S＝Sn＝b＋＋＋＋…＋＝
＝b(2－)，n∈N.
(3)當a＝50，b＝200時，設獲利為Tn，則有
Tn＝Sa－1 000n＝10 000×(2－)－1 000n
＝1 000×(20－－n)，
設bn＝20－－n，
則bn＋1－bn＝20－－n－1－20＋＋n＝－1，
當n≤2時，bn＋1－bn>0；當n≥3時，bn＋1－bn<0.
所以當n＝3時，bn取得最大值，
即Tn取得最大值，此時S＝375，
即該廠家獲利最大時，銷售量和廣告費分別為375千克和3千元．
專題四 第2講 數(shù)列求和及綜合應用
