2020年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn) 專(zhuān)題32 尺規(guī)作圖（含解析）

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1、專(zhuān)題32 尺規(guī)作圖問(wèn)題 專(zhuān)題知識(shí)回顧 1.尺規(guī)作圖的定義：只用不帶刻度的直尺和圓規(guī)通過(guò)有限次操作，完成畫(huà)圖的一種作圖方法．尺規(guī)作圖可以要求寫(xiě)作圖步驟，也可以要求不一定要寫(xiě)作圖步驟，但必須保留作圖痕跡。 2.尺規(guī)作圖的五種基本情況： （1）作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段； （2）作一個(gè)角等于已知角； （3）作已知線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)； （4）作已知角的角平分線(xiàn)； （5）過(guò)一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)。 3.對(duì)尺規(guī)作圖題解法： 寫(xiě)出已知，求作，作法（不要求寫(xiě)出證明過(guò)程）并能給出合情推理。 4.中考要求： （1）能完成以下基本作圖：作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段，作一個(gè)角等于已

2、知角，作角的平分線(xiàn)，作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn). （2）能利用基本作圖作三角形：已知三邊作三角形；已知兩邊及其夾角作三角形；已知兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高作等腰三角形. （3）能過(guò)一點(diǎn)、兩點(diǎn)和不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)作圓. （4）了解尺規(guī)作圖的步驟，對(duì)于尺規(guī)作圖題，會(huì)寫(xiě)已知、求作和作法（不要求證明）. 專(zhuān)題典型題考法及解析 【例題1】（2019?湖南長(zhǎng)沙）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)，作直線(xiàn)MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD，則∠CAD的度數(shù)是（　?。? A．20° B．

3、30° C．45° D．60° 【答案】B 【解析】根據(jù)內(nèi)角和定理求得∠BAC＝60°，由中垂線(xiàn)性質(zhì)知DA＝DB，即∠DAB＝∠B＝30°，從而得出答案． 在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°， 由作圖可知MN為AB的中垂線(xiàn)， ∴DA＝DB， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°。 【例題2】（2019山東棗莊）如圖，BD是菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，∠CBD＝75°， （1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，作AB的垂直平分線(xiàn)EF，垂足為E，交AD于F；（不要求寫(xiě)作法，保留作圖痕跡） （2）在（1）條件下，連接B

4、F，求∠DBF的度數(shù)． 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】（1）分別以A.B為圓心，大于AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，過(guò)兩弧的交點(diǎn)作直線(xiàn)即可。 如圖所示，直線(xiàn)EF即為所求； （2）根據(jù)∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF計(jì)算即可。 ∵四邊形ABCD是菱形， ∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C． ∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°， ∴∠C＝∠A＝30°， ∵EF垂直平分線(xiàn)段AB， ∴AF＝FB， ∴∠A＝∠FBA＝30°， ∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°． 【例題3】(2019年貴州安順模擬題)用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，如圖，能得出∠

5、A′O′B′=∠AOB的依據(jù)是（　?。? A．（SAS） B． （SSS） C． （ASA） D． （AAS） 【答案】B 【解析】我們可以通過(guò)其作圖的步驟來(lái)進(jìn)行分析，作圖時(shí)滿(mǎn)足了三條邊對(duì)應(yīng)相等，于是我們可以判定是運(yùn)用SSS，答案可得． 作圖的步驟： ①以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OA、OB于點(diǎn)C、D； ②任意作一點(diǎn)O′，作射線(xiàn)O′A′，以O(shè)′為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交O′A′于點(diǎn)C′； ③以C′為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交前弧于點(diǎn)D′； ④過(guò)點(diǎn)D′作射線(xiàn)O′B′． 所以∠A′O′B′就是與∠AOB相等的角； 作圖完畢． 在△OCD與△O′C′D′， ，

6、 ∴△OCD≌△O′C′D′（SSS）， ∴∠A′O′B′=∠AOB， 顯然運(yùn)用的判定方法是SSS． 【例題4】（2019?山東青島）請(qǐng)用直尺、圓規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡． 已知：∠α，直線(xiàn)l及l(fā)上兩點(diǎn)A，B． 求作：Rt△ABC，使點(diǎn)C在直線(xiàn)l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α． 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作． 先作∠DAB＝α，再過(guò)B點(diǎn)作BE⊥AB

7、，則AD與BE的交點(diǎn)為C點(diǎn)． 如圖，△ABC為所作． 專(zhuān)題典型訓(xùn)練題 一、選擇題 1.（2019?廣西北部灣）如圖, 在△ABC中，AC=BC, ∠A=400 ，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可知∠BCG的度數(shù)為（　?。? A． 400 B． 450 C．500 D．600 【答案】C 【解析】利用等腰三角形的性質(zhì)和基本作圖得到CG⊥AB，則CG平分∠ACB，利用∠A=∠B和三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠ACB，從而得到∠BCG的度數(shù)． 本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)

8、段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)；作已知角的角平分線(xiàn)；過(guò)一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)）．也考查了等腰三角形的性質(zhì)． 由作法得CG⊥AB， ∵AB=AC， ∴CG平分∠ACB，∠A=∠B， ∵∠ACB=180°-40°-40°=100°， ∴∠BCG=∠ACB=50°． 2.（2019·貴州貴陽(yáng)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以點(diǎn)C為圓心，CB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)B和點(diǎn)D，再分別以點(diǎn)B，D為圓心，大于BD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M，作射線(xiàn)CM交AB于點(diǎn)E．若AE＝2，BE＝1，則EC的長(zhǎng)度是（　?。? A．2 B．3 C． D． 【答案】D． 【解析】利用基

9、本作圖得到CE⊥AB，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AC＝3，然后利用勾股定理計(jì)算CE的長(zhǎng)． 由作法得CE⊥AB，則∠AEC＝90°， AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3， 在Rt△ACE中，CE＝＝． 3.（2019?河北?。└鶕?jù)圓規(guī)作圖的痕跡，可用直尺成功找到三角形外心的是（　?。? A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】三角形外心為三邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，由基本作圖得到C選項(xiàng)作了兩邊的垂直平分線(xiàn)，從而可用直尺成功找到三角形外心． 4．（2019?山東濰坊）如圖，已知∠AOB．按照以下步驟作圖： ①以點(diǎn)O為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，分別交∠AOB的兩邊于C，D兩點(diǎn)，連

10、接CD． ②分別以點(diǎn)C，D為圓心，以大于線(xiàn)段OC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)E，連接CE，DE． ③連接OE交CD于點(diǎn)M． 下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　?。? A．∠CEO＝∠DEO B．CM＝MD C．∠OCD＝∠ECD D．S四邊形OCED＝CD?OE 【答案】C． 【解析】利用基本作圖得出角平分線(xiàn)的作圖，進(jìn)而解答即可． 由作圖步驟可得：OE是∠AOB的角平分線(xiàn)， ∴∠CEO＝∠DEO，CM＝MD，S四邊形OCED＝CD?OE， 但不能得出∠OCD＝∠ECD 5．(2019?湖北宜昌)通過(guò)如下尺規(guī)作圖，能確定點(diǎn)D是BC邊中點(diǎn)的是( ) A．

11、 B． C． D． 【答案】A 【解析】作線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)可得線(xiàn)段BC的中點(diǎn)． 作線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)可得線(xiàn)段BC的中點(diǎn)．由此可知，選項(xiàng)A符合條件，故選A． 6.（經(jīng)典題）作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段。 已知：如圖，線(xiàn)段a . 求作：線(xiàn)段AB，使AB = a . 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】作法： ① 作射線(xiàn)AP； ② 在射線(xiàn)AP上截取AB=a . 則線(xiàn)段AB就是所求作的圖形。 7.（經(jīng)典題）已知三邊作三角形。 已知：如圖，線(xiàn)段a，b，c. 求作：△ABC，使AB = c，AC

12、 = b，BC = a. 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】作法： ① 作線(xiàn)段AB = c； ② 以A為圓心b為半徑作弧，以B為圓心 a為半徑作弧與前弧相交于C； ③ 連接AC，BC。 則△ABC就是所求作的三角形。 8.（經(jīng)典題）已知兩邊及夾角作三角形。 已知：如圖，線(xiàn)段m，n, ∠. 求作：△ABC，使∠A=∠，AB=m，AC=n. 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】作法： ① 作∠A=∠； ② 在AB上截取AB=m ,AC=n； ③ 連接BC。 則△ABC就是所求作的三角形。 9.（經(jīng)典題）做已知線(xiàn)段的中點(diǎn) 已知：如圖，線(xiàn)段MN. 求作：點(diǎn)O

13、，使MO=NO（即O是MN的中點(diǎn)）. 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】作法：① 分別以M、N為圓心，大于1/2MN的相同 線(xiàn)段為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于P，Q； ② 連接PQ交MN于O． 則點(diǎn)O就是所求作的ＭＮ的中點(diǎn)。 10.（經(jīng)典題）作已知角的角平分線(xiàn)。 已知：如圖，∠AOB， 求作：射線(xiàn)OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】作法： ① 以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧， 分別交OA，OB于M，N； ② 分別以M、Ｎ為圓心，大于1/2MN　　 　的相同線(xiàn)段為半徑畫(huà)弧，兩弧交∠AOB內(nèi)于Ｐ； ③ 作射線(xiàn)OP。則射線(xiàn)OP就是∠

14、AOB的角平分線(xiàn)。 11.（經(jīng)典題）已知兩角及夾邊作三角形。 已知：如圖，∠，∠，線(xiàn)段m . 求作：△ABC，使∠A=∠，∠B=∠,AB=m. 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】作法： ① 作線(xiàn)段AB=m； ② 在AB的同旁作∠A=∠，作∠B=∠， ∠A與∠B的另一邊相交于C。 則△ABC就是所求作的圖形（三角形）。 12.（2019?河北模擬題）如圖，已知△ABC（AC＜BC），用尺規(guī)在BC上確定一點(diǎn)P，使PA+PC=BC，則符合要求的作圖痕跡是（　?。? 　A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使PA+P

15、C=BC，必有PA=PB，所以選項(xiàng)中只有作AB的中垂線(xiàn)才能滿(mǎn)足這個(gè)條件，故D正確 D選項(xiàng)中作的是AB的中垂線(xiàn)， ∴PA=PB， ∵PB+PC=BC， ∴PA+PC=BC 13.（2019?麗水模擬題）如圖，小紅在作線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)時(shí)，是這樣操作的：分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于線(xiàn)段AB長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，相交于點(diǎn)C，D，則直線(xiàn)CD即為所求．連結(jié)AC，BC，AD，BD，根據(jù)她的作圖方法可知，四邊形ADBC一定是（　?。? A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 【答案】B 【解析】根據(jù)垂直平分線(xiàn)的畫(huà)法得出四邊形ADBC四邊的關(guān)系進(jìn)而得出四邊形一定

16、是菱形。 ∵分別以A和B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于C、D， ∴AC=AD=BD=BC， ∴四邊形ADBC一定是菱形。 14.(2019?湖南益陽(yáng))已知M、N是線(xiàn)段AB上的兩點(diǎn)，AM＝MN＝2，NB＝1，以點(diǎn)A為圓心，AN長(zhǎng)為半徑畫(huà)??；再以點(diǎn)B為圓心，BM長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)C，連接AC，BC，則△ABC一定是(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】依據(jù)作圖即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，進(jìn)而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形． 如圖所示，AC＝AN＝4

17、，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，故選B． 二、填空題 15．（2019武漢）如圖，BD是矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，在BA和BD上分別截取BE，BF，使BE＝BF；分別以E，F(xiàn)為圓心，以大于EF的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠ABD內(nèi)交于點(diǎn)G，作射線(xiàn)BG交AD于點(diǎn)P，若AP＝3，則點(diǎn)P到BD的距離為　 ?。? 【答案】3 【解析】結(jié)合作圖的過(guò)程知：BP平分∠ABD， ∵∠A＝90°，AP＝3， ∴點(diǎn)P到BD的距離等于AP的長(zhǎng)，為3。 16．（2019濟(jì)南）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點(diǎn)

18、B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，分別交AB，BC于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線(xiàn)BP交AC于點(diǎn)D．若∠A＝30°，則＝　 ?。? 【答案】． 【解析】由作法得BD平分∠ABC， ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝∠CBD＝30°， ∴DA＝DB， 在Rt△BCD中，BD＝2CD， ∴AD＝2CD， ∴ ＝1/2 17. ( 2019甘肅省蘭州市) 如圖， 矩形ABCD， ∠BAC＝600. 以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧分別交AB.AC于點(diǎn)M、N兩點(diǎn)，再分別以點(diǎn)M、N 為圓心，以大

19、于MN的長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)P ，作射線(xiàn)AP交BC于點(diǎn)E，若BE＝1，則矩形ABCD的面積等于___________. 【答案】3． 【解析】 由題可知AP是∠BAC的角平分線(xiàn) ∵∠BAC＝600 ∴∠BAE＝∠EAC＝300 ∴AE＝2 BE＝2. ∴AB＝ ∴∠AEB＝600 又∵∠AEB＝∠EAC+∠ECA ∴∠EAC＝∠ECA＝300 ∴AE＝EC＝2 ∴BC＝3 ∴S矩形ABCD＝3． 18. (2019四川成都）如圖，□ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AO，AB于點(diǎn)M，N；②以點(diǎn)O為圓心，

20、以AM長(zhǎng)為半徑作弧，交OC于點(diǎn)；③以點(diǎn)為圓心，以MN長(zhǎng)為半徑作弧，在∠COB內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)；④過(guò)點(diǎn)作射線(xiàn)交BC于點(diǎn)E，若AB=8，則線(xiàn)段OE的長(zhǎng)為 . 【答案】4 【解析】此題考察的是通過(guò)尺規(guī)作圖構(gòu)造全等三角形的原理及兩直線(xiàn)平行的判定，連接和，因?yàn)?，，，所以，所以，，所以，又因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以是△的中位線(xiàn)，所以，所以. 三、填空題 19．（2019?六盤(pán)水模擬題）如圖，在△ABC中，利用尺規(guī)作圖，畫(huà)出△ABC的外接圓或內(nèi)切圓（任選一個(gè)．不寫(xiě)作法，必須保留作圖痕跡） 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】分別利用三角形外心的確定方法以及內(nèi)心的確定方法得出圓心位置，進(jìn)

21、而得出即可。 如圖所示： 20.（2019石景山二模）下面是小華設(shè)計(jì)的“作一個(gè)角等于已知角的2倍”的尺規(guī)作圖過(guò)程． 已知：∠AOB． 求作：∠APC，使得∠APC=2∠AOB． 作法：如圖， ①在射線(xiàn)OB上任取一點(diǎn)C； ②作線(xiàn)段OC的垂直平分線(xiàn)， 交OA于點(diǎn)P，交OB于點(diǎn)D； ③連接PC； 所以∠APC即為所求作的角． 根據(jù)小華設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程， （1）使用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）； （2）完成下面的證明（說(shuō)明：括號(hào)里填寫(xiě)推理的依據(jù)）． 證明：∵DP是線(xiàn)段OC的垂直平分線(xiàn)， ∴OP= （

22、 ）． ∴∠O=∠PCO． ∵∠APC=∠O+∠PCO（ ）． ∴∠APC =2∠AOB． 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】（1）補(bǔ)全的圖形如圖所示： （2）PC；線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等； 三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和． 21.（2019?湖北省仙桃市）請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺完成下列畫(huà)圖，不寫(xiě)畫(huà)法，保留畫(huà)圖痕跡． （1）如圖①，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，畫(huà)出四邊形ABCD的對(duì)稱(chēng)軸m； （2）如圖②，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，畫(huà)

23、出BC邊的垂直平分線(xiàn)n． 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)作圖，根據(jù)全等關(guān)系可以確定點(diǎn)與點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)關(guān)系，從而確定對(duì)稱(chēng)軸所在，即可畫(huà)出直線(xiàn)． （1）連接AC，AC所在直線(xiàn)即為對(duì)稱(chēng)軸m． 如圖①，直線(xiàn)m即為所求 （2）（2）延長(zhǎng)BA，CD交于一點(diǎn)，連接AC，BC交于一點(diǎn)，連接兩點(diǎn)獲得垂直平分線(xiàn)n． 如圖②，直線(xiàn)n即為所求 22.（2019?四川省達(dá)州市）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3． （1）尺規(guī)作圖：不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡． ①作∠ACB的平分線(xiàn)，交斜邊AB于點(diǎn)D； ②過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)E． （2）在（1）作出的圖形中

24、，求DE的長(zhǎng)． 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】（1）利用基本作圖，先畫(huà)出CD平分∠ACB，然后作DE⊥BC于E。 如圖，DE為所作； （2）利用CD平分∠ACB得到∠BCD＝45°，再判斷△CDE為等腰直角三角形，所以DE＝CE，然后證明△BDE∽△BAC，從而利用相似比計(jì)算出DE． ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ACB＝45°， ∵DE⊥BC， ∴△CDE為等腰直角三角形，∴DE＝CE， ∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC， ∴＝，即＝， ∴DE＝． 23.（2019?廣東）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn)． （1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在△ABC內(nèi)，求

25、作∠ADE．使∠ADE=∠B，DE交AC于E；（不要 求寫(xiě)作法，保留作圖痕跡） （2）在（1）的條件下，若=2，求的值． 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】（1）如圖所示，∠ADE為所求. （2）∵∠ADE=∠B ∴DE∥BC ∴= ∵=2 ∴=2 24.（2019?廣西貴港）尺規(guī)作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)出作法）： 如圖，已知△ABC，請(qǐng)根據(jù)“SAS”基本事實(shí)作出△DEF，使△DEF≌△ABC． 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基

26、本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了全等三角形的判定． 先作一個(gè)∠D＝∠A，然后在∠D的兩邊分別截取ED＝BA，DF＝AC，連接EF即可得到△DEF。如圖， △DEF即為所求． 25.（2019?湖北孝感）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，一同學(xué)利用直尺和圓規(guī)完成如下操作： ①以點(diǎn)C為圓心，以CB為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)G；分別以點(diǎn)G、B為圓心，以大于GB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交點(diǎn)K，作射線(xiàn)CK； ②以點(diǎn)B為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)M，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N；分別以點(diǎn)M、N為圓心，以大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P

27、，作直線(xiàn)BP交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，交射線(xiàn)CK于點(diǎn)E． 請(qǐng)你觀察圖形，根據(jù)操作結(jié)果解答下列問(wèn)題； （1）線(xiàn)段CD與CE的大小關(guān)系是　 ?。? （2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，若AC＝12，BC＝5，求tan∠DBF的值． 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】（1）由作圖知CE⊥AB，BD平分∠CBF，據(jù)此得∠1＝∠2＝∠3，結(jié)合∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°知∠CEB＝∠CDE，從而得出答案； CD＝CE， 由作圖知CE⊥AB，BD平分∠CBF， ∴∠1＝∠2＝∠3， ∵∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°， ∴∠CEB＝∠CDE， ∴CD＝CE，

28、 故答案為：CD＝CE； （2）證△BCD≌△BFD得CD＝DF，從而設(shè)CD＝DF＝x，求出AB＝＝13，知sin∠DAF＝＝，即＝，解之求得x＝，結(jié)合BC＝BF＝5可得答案． ∵BD平分∠CBF，BC⊥CD，BF⊥DF， ∴BC＝BF，∠CBD＝∠FBD， 在△BCD和△BFD中， ∵， ∴△BCD≌△BFD（AAS）， ∴CD＝DF， 設(shè)CD＝DF＝x， 在Rt△ACB中，AB＝＝13， ∴sin∠DAF＝＝，即＝， 解得x＝， ∵BC＝BF＝5， ∴tan∠DBF＝＝×＝． 26.（ 2019?廣東模擬題）如圖，點(diǎn)D在△ABC的AB邊上，且∠ACD=∠A．

29、 （1）作∠BDC的平分線(xiàn)DE，交BC于點(diǎn)E（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）； （2）在（1）的條件下，判斷直線(xiàn)DE與直線(xiàn)AC的位置關(guān)系（不要求證明）． 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)基本作圖的作法作圖即可； （2）根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得∠BDE=∠BDC，根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得∠A=∠BDE，再根據(jù)同位角相等兩直線(xiàn)平行可得結(jié)論． DE∥AC ∵DE平分∠BDC， ∴∠BDE=∠BDC， ∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC， ∴∠A=∠BDC， ∴∠A=∠BDE， ∴DE∥AC． 27.（2019平谷二模）下面是小元設(shè)

30、計(jì)的“經(jīng)過(guò)已知直線(xiàn)外一點(diǎn)作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)”的尺規(guī)作圖過(guò)程． 已知：如圖1，直線(xiàn)l和l外一點(diǎn)P． 求作：直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)P． 作法：如圖2， （1）在直線(xiàn)l上任取一點(diǎn)A； （2）連接AP，以點(diǎn)P為圓心，AP長(zhǎng)為半徑作弧，交直線(xiàn)l于點(diǎn)B（點(diǎn)A，B不重合）； （3）連接BP，作∠APB的角平分線(xiàn)，交AB于點(diǎn)H； （4）作直線(xiàn)PH，交直線(xiàn)l于點(diǎn)H． 所以直線(xiàn)PH就是所求作的垂線(xiàn)． 根據(jù)小元設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程， （1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形 （保留作圖痕跡）； （2）完成下面的證明. 證明：∵PH平分∠APB， ∴∠APH= ．

31、∵PA= ， ∴PH⊥直線(xiàn)l于H．( )(填推理的依據(jù)) 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】（1）如圖所示。 （2）證明：∵PH平分∠APB， ∴∠APH= ∠BPH ． ∵PA= PB ， ∴PH⊥直線(xiàn)l于H．( 等腰三角形三線(xiàn)合一 ) 28.（2019?甘肅慶陽(yáng)）已知：在△ABC中，AB＝AC． （1）求作：△ABC的外接圓．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法） （2）若△ABC的外接圓的圓心O到BC邊的距離為4，BC＝6，則S⊙

32、O＝　 ?。? 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外接圓與外心等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型． （1）作線(xiàn)段AB，BC的垂直平分線(xiàn)，兩線(xiàn)交于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OB為半徑作⊙O，⊙O即為所求．如圖⊙O即為所求． （2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解決問(wèn)題． 設(shè)線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)E． 由題意OE＝4，BE＝EC＝3， 在Rt△OBE中，OB＝＝5， ∴S圓O＝π?52＝25π． 29.（2019?廣東廣州）如圖，⊙O的直徑AB＝10，弦AC＝8，連接BC． （1）尺規(guī)作圖：作弦C

33、D，使CD＝BC（點(diǎn)D不與B重合），連接AD；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法） （2）在（1）所作的圖中，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)． 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】（1）以C為圓心，CB為半徑畫(huà)弧，交⊙O于D，線(xiàn)段CD即為所求． 如圖，線(xiàn)段CD即為所求． （2）連接BD，OC交于點(diǎn)E，設(shè)OE＝x，構(gòu)建方程求出x即可解決問(wèn)題． 連接BD，OC交于點(diǎn)E，設(shè)OE＝x． ∵AB是直徑， ∴∠ACB＝90°， ∴BC＝＝＝6， ∵BC＝CD， ∴＝， ∴OC⊥BD于E． ∴BE＝DE， ∵BE2＝BC2﹣EC2＝OB2﹣OE2， ∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2， 解得x＝， ∵BE＝DE，BO＝OA， ∴AD＝2OE＝， ∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝6+6+10+＝． 24