2017-2018學年高中數(shù)學 第四講 用數(shù)學歸納法證明不等式 第2節(jié) 用數(shù)學歸納法證明不等式舉例創(chuàng)新應用教學案 新人教A版選修4-5

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1、 第2節(jié) 用數(shù)學歸納法證明不等式舉例 [核心必知] 貝努利(Bernoulli)不等式 如果x是實數(shù)，且x>－1，x≠0，n為大于1的自然數(shù)，那么有(1＋x)n>1＋nx． [問題思考] 在貝努利不等式中，指數(shù)n可以取任意實數(shù)嗎？ 提示：可以．但是貝努利不等式的體現(xiàn)形式有所變化． 事實上：當把正整數(shù)n改成實數(shù)α后，將有以下幾種情況出現(xiàn)： (1)當α是實數(shù)，并且滿足α>1或者α<0時， 有(1＋x)α≥1＋αx(x>－1)． (2)當α是實數(shù)，并且滿足0<α<1時，用(1＋x)α≤1＋αx(x>－11)． 　　　已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈

2、N＋)， 求證：S2n>1＋(n≥2，n∈N＋)． [精講詳析]　本題考查數(shù)學歸納法的應用，解答本題需要注意n的取值范圍，因為n>1，n∈N＋，因此應驗證n0＝2時不等式成立． (1)當n＝2時，S22＝1＋＋＋＝>1＋， 即n＝2時命題成立． (2)假設n＝k(k≥2，k∈N＋)時命題成立， 即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋. 則當n＝k＋1時， S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋ >1＋＋＋＋…＋ >1＋＋＝1＋＋＝1＋. 故當n＝k＋1時，命題也成立． 由(1)、(2)知，對n∈N＋，n≥2，S2n>1＋都成立． 利用數(shù)學歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k到n＝k＋

3、1的變形，為滿足題目的要求，往往要采用“放縮”等手段，例如在本題中采用了“＋＋…＋>＝”的變形． 1．證明不等式：1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)． 證明：(1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝2，不等式成立． (2)假設當n＝k(k≥1)時，命題成立，即 1＋＋＋…＋<2. ∵當n＝k＋1時，左邊＝1＋＋＋…＋＋<2＋＝， 現(xiàn)在只需證明<2， 即證：2<2k＋1， 兩邊平方，整理：0<1，顯然成立．∴<2 成立．即1＋＋＋…＋＋<2成立． ∴當n＝k＋1時，不等式成立． 由(1)(2)知，對于任何正整數(shù)n原不等式都成立. 　　　設Pn＝(1＋x)n，Qn＝1＋nx＋x

4、2，n∈N＋，x∈(－1，＋∞)，試比較Pn與Qn的大小，并加以證明． [精講詳析]　本題考查數(shù)學歸納法的應用，解答本題需要先對n取特值，猜想Pn與Qn的大小關(guān)系，然后利用數(shù)學歸納法證明． (1)當n＝1，2時，Pn＝Qn. (2)當n≥3時，(以下再對x進行分類)． ①若x∈(0，＋∞)，顯然有Pn>Qn. ②若x＝0，則Pn＝Qn. ③若x∈(－1，0)，則P3－Q3＝x3<0， 所以P3

5、2＋ ＝1＋(k＋1)x＋x2＋x3 ＝Qk＋1＋x3

6、函數(shù)y＝f(x)為R上的增函數(shù)，g(x)＝f－1(x)，b＝1，f(1)<1，證明：對任意n∈N＋，an＋1

7、而得f(bk＋2)對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論． [精講詳析]　本題考查數(shù)學歸納法的應用以及探索型問題的求解方法．解答本題需要根據(jù)n的取值，猜想出a的最大值，然后再利用數(shù)學歸納法進行證明． 當n＝1時，＋＋>，即>， ∴a<26，而a∈N＋， ∴取a＝25. 下面用數(shù)學歸納法證明＋＋…＋>. (1)n＝1時，已證． (2)假設當n＝k(k≥1，k∈N＋)時， ＋＋…＋>， 則當n＝

8、k＋1時，有 ＋＋…＋＋＋＋＝ ＋ >＋. ∵＋＝>， ∴＋－>0， ∴＋＋…＋>也成立． 由(1)、(2)可知，對一切n∈N＋，都有＋＋…＋>，∴a的最大值為25. 利用數(shù)學歸納法解決探索型不等式的思路是：先通過觀察、判斷，猜想出結(jié)論， 然后用數(shù)學歸納法證明．這種分析問題和解決問題的思路是非常重要的，特別是在求解存在型或探索型問題時． 3．對于一切正整數(shù)n，先猜出使tn>n2成立的最小的正整數(shù)t，然后用數(shù)學歸納法證明，并再證明不等式：n(n＋1)·>lg(1·2·3·…·n)． 解：猜想當t＝3時，對一切正整數(shù)n使3n>n2成立． 下面用數(shù)學歸納法進行證明．

9、當n＝1時，31＝3>1＝12，命題成立． 假設n＝k(k≥1，k∈N＋)時，3k>k2成立，則有3k≥k2＋1. 對n＝k＋1，3k＋1＝3·3k＝3k＋2·3k >k2＋2(k2＋1)>3k2＋1. ∵(3k2＋1)－(k＋1)2＝2k2－2k＝2k(k－1)≥0，∴3k＋1>(k＋1)2，∴對n＝k＋1，命題成立．由上知，當t＝3時， 對一切n∈N＋，命題都成立． 再用數(shù)學歸納法證明： n(n＋1)·>lg(1·2·3·…·n)． 當n＝1時，1·(1＋1)·＝>0＝lg 1，命題成立． 假設n＝k(k≥1，k∈N＋)時， k(k＋1)·>lg(1·2·3·…·k)成

10、立． 當n＝k＋1時，(k＋1)(k＋2)· ＝k(k＋1)·＋2(k＋1)· >lg(1·2·3·…·k)＋lg 3k＋1 >lg(1·2·3·…·k)＋lg(k＋1)2 ＝lg[1·2·3·…·k·(k＋1)]．命題成立． 由上可知，對一切正整數(shù)n，命題成立． 本課時考點常與數(shù)列問題相結(jié)合以解答題的形式考查數(shù)學歸納法的應用．全國卷將數(shù)列、數(shù)學歸納法與直線方程相結(jié)合考查，是高考命題的一個新亮點． [考題印證] (大綱全國卷)函數(shù)f(x)＝x2－2x－3.定義數(shù)列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是過兩點P(4，5)、Qn(xn，f(xn))的直線PQn與x軸交點的橫坐

11、標． (1)證明：2≤xn＜xn＋1＜3； (2)求數(shù)列{xn}的通項公式． [命題立意]　本題考查數(shù)學歸納法證明不等式問題，考查學生推理論證的能力． [解]　(1)用數(shù)學歸納法證明：2≤xn＜xn＋1＜3. ①當n＝1時，x1＝2，直線PQ1的方程為 y－5＝(x－4)， 令y＝0，解得x2＝，所以2≤x1＜x2＜3. ②假設當n＝k時，結(jié)論成立，即2≤xk＜xk＋1＜3. 直線PQk＋1的方程為 y－5＝(x－4)，令y＝0，解得xk＋2＝. 由歸納假設知 xk＋2＝＝4－＜4－＝3； xk＋2－xk＋1＝＞0，即xk＋1＜xk＋2. 所以2≤xk＋1＜xk＋2

12、＜3，即當n＝k＋1時，結(jié)論成立． 由①、②知對任意的正整數(shù)n，2≤xn＜xn＋1＜3. (2)由(1)及題意得xn＋1＝. 設bn＝xn－3，則＝＋1， ＋＝5， 數(shù)列是首項為－，公比為5的等比數(shù)列．因此＋＝－·5n－1， 即bn＝－， 所以數(shù)列{xn}的通項公式為xn＝3－. 一、選擇題 1．用數(shù)學歸納法證明不等式1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)時，第一步應驗證不等式(　　) A．1＋<2－　　　　B．1＋＋<2－ C．1＋<2－ D．1＋＋<2－ 解析：選A　n0＝2時，首項為1，末項為. 2．如果命題P(n)對n＝k成立，則它對n＝

13、k＋2也成立．又若P(n)對n＝2成立．則下列結(jié)論正確的是(　　) A．P(n)對所有n∈N＋成立 B．P(n)對所有正偶數(shù)成立 C．P(n)對所有正奇數(shù)成立 D．P(n)對所有大于1的正整數(shù)成立 解析：選B　∵在上面的證明方法中，n的第一個值為2，且遞推的依據(jù)是當n＝k時，命題正確，則當n＝k＋2時，命題也正確． ∴P(n)是對所有的正偶數(shù)成立． 3．用數(shù)學歸納法證明“凸n邊形的內(nèi)角和S＝(n－2)π對于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應取(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　 A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5 解析：選B　n邊形的最少邊數(shù)

14、為3，則n0＝3. 4．用數(shù)學歸納法證明不等式“＋＋…＋>(n>2，n∈N＋)”時的過程中，由n＝k到n＝k＋1時，不等式的左邊(　　) A．增加了一項 B．增加了兩項， C．增加了兩項，，又減少了一項 D．增加了一項，又減少了一項 解析：選C　當n＝k時，左邊＝＋＋…＋. 當n＝k＋1時，左邊＝＋＋…＋ ＝＋＋…＋＋＋. 故由n＝k到n＝k＋1時，不等式的左邊增加了兩項，又減少了一項． 二、填空題 5．證明<1＋＋＋…＋1)，當n＝2時，要證明的式子為________． 解析：當n＝2時，要證明的式子為2<1＋＋＋<3. 答案：2<1＋＋＋<3 6．

15、用數(shù)學歸納法證明：當n∈N＋，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍數(shù)時，當n＝1時原式為________，從k到k＋1時需增添的項是________． 解析：當n＝1時，原式為1＋2＋22＋23＋25－1＝1＋2＋22＋23＋24. 從k到k＋1時需增添的項是25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4. 答案：1＋2＋22＋23＋24　25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4 7．利用數(shù)學歸納法證明“<”時，n的最小取值n0應為________． 解析：n0＝1時不成立，n0＝2時，<，再用數(shù)學歸納法證明，故n0＝2. 答案：2 8．設a0為常數(shù)

16、，且an＝3n－1－2an－1(n∈N＋)，若對一切n∈N＋，有an>an－1，則a0的取值范圍是________． 解析：取n＝1，2，則a1－a0＝1－3a0>0，a2－a1＝6a0>0，∴0

17、數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論． 解：當n＝1、n＝2、n＝3時都有2n＋2>n2成立， 所以歸納猜想2n＋2>n2成立． 下面用數(shù)學歸納法證明： ①當n＝1時，左邊＝21＋2＝4； 右邊＝1，左邊>右邊，所以原不等式成立； 當n＝2時，左邊＝22＋2＝6，右邊＝22＝4， 所以左邊>右邊； 當n＝3時，左邊＝23＋2＝10，右邊＝32＝9，所以左邊>右邊． ②假設n＝k時(k≥3且k∈N＋)時， 不等式成立，即2k＋2>k2.那么n＝k＋1時 2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2. 又因為2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥

18、0， 即2k＋1＋2>(k＋1)2成立． 根據(jù)①和②可知，2n＋2>n2對于任何n∈N＋都成立． 11．已知等比數(shù)列{an}的首項a1＝2，公比q＝3，Sn是它的前n項和．求證：≤. 證明：由已知，得Sn＝3n－1， ≤等價于≤，即3n≥2n＋1.(*) 法一：用數(shù)學歸納法證明上面不等式成立． ①當n＝1時，左邊＝3，右邊＝3，所以(*)成立． ②假設當n＝k時，(*)成立，即3k≥2k＋1，那么當n＝k＋1時， 3k＋1＝3×3k≥3(2k＋1)＝6k＋3≥2k＋3＝2(k＋1)＋1，所以當n＝k＋1時，(*)成立． 綜合①②，得3n≥2n＋1成立． 所以≤. 法二：當n＝1時，左邊＝3，右邊＝3，所以(*)成立． 當n≥2時，3n＝(1＋2)n＝C＋C×2＋C×22＋…＋C×2n＝1＋2n＋…>1＋2n， 所以(*)成立．所以≤. 11