2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 一 數(shù)學(xué)歸納法同步配套教學(xué)案 新人教A版選修4-5

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1、 一 數(shù)學(xué)歸納法 　　　　　　　　　　 　　對應(yīng)學(xué)生用書P39 數(shù)學(xué)歸納法 (1)數(shù)學(xué)歸納法的概念： 先證明當(dāng)n取第一值n0(例如可取n0＝1)時(shí)命題成立，然后假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立．這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法． (2)數(shù)學(xué)歸納法適用范圍： 數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明． (3)數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題步驟： ①證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(如取n0＝1或2等)時(shí)命題正確； ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥n0)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也正

2、確． 由此可以斷定，對于任意不小于n0的正整數(shù)n，命題都正確． 　　　　　　　　　　　　 　對應(yīng)學(xué)生用書P39 利用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式 [例1]　證明：當(dāng)n≥2，n∈N＋時(shí)， …＝. [思路點(diǎn)撥]　注意到這是與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明． [證明]　(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1－＝，右邊＝＝. ∴當(dāng)n＝2時(shí)，等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥2，k∈N＋)時(shí)等式成立，即： …(1－)＝ 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，… ＝ ＝·＝＝. ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立，由(1)(2)知，對任意n≥2，n

3、∈N＋等式成立． 利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式時(shí)要注意兩點(diǎn)：一是要準(zhǔn)確表述n＝n0時(shí)命題的形式，二是要準(zhǔn)確把握由n＝k到n＝k＋1時(shí)，命題結(jié)構(gòu)的變化特點(diǎn)．并且一定要記?。涸谧C明n＝k＋1成立時(shí)，必須使用歸納假設(shè)． 1．在用數(shù)學(xué)歸納法證明，對任意的正偶數(shù)n，均有 1－＋－＋…＋－＝2 成立時(shí)， (1)第一步檢驗(yàn)的初始值n0是什么？ (2)第二步歸納假設(shè)n＝2k時(shí)(k∈N＋)等式成立，需證明n為何值時(shí)，方具有遞推性； (3)若第二步歸納假設(shè)n＝k(k為正偶數(shù))時(shí)等式成立，需證明n為何值時(shí)，等式成立． 解：(1)n0為2.此時(shí)左邊為1－，右邊為2×＝. (2)假設(shè)n

4、＝2k(k∈N＋)時(shí)，等式成立，就需證明n＝2k＋2(即下一個(gè)偶數(shù))時(shí)，命題也成立． (3)若假設(shè)n＝k(k為正偶數(shù))時(shí)，等式成立，就需證明n＝k＋2(即k的下一個(gè)正偶數(shù))時(shí)，命題也成立． 2．求證：1＋＋＋…＋＝(n∈N＋)． 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝＝1， 所以左邊＝右邊，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)等式成立， 即1＋＋＋…＋＝. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋＋＋…＋＋＝＋＝＋＝＝. 這就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 由(1)(2)可知，對任何x∈N＋等式都成立． 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題 [例2]　求證：x2n－y

5、2n(n∈N＋)能被x＋y整除． [思路點(diǎn)撥]　本題是與正整數(shù)有關(guān)的命題，直接分解出因式(x＋y)有困難，故可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明． [證明]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整除． (2)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，x2k－y2k能被x＋y整除， 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，x2k＋2－y2k＋2 ＝x2·x2k－y2·y2k－x2y2k＋x2y2k ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2) ∵x2k－y2k與x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即n＝k＋1時(shí)，x2k＋2－y2k＋2能

6、被x＋y整除． 由(1)(2)可知，對任意正整數(shù)n命題均成立． 利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除時(shí)，關(guān)鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式．這就往往要涉及到“添項(xiàng)”與“減項(xiàng)”“因式分解”等變形技巧，湊出n＝k時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問題得證． 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明：(3n＋1)7n－1(n∈N＋)能被9整除． 證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，4×7－1＝27能被9整除命題成立． ②假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，當(dāng)n＝k＋1時(shí)， [(3k＋3)＋1]·7k＋1－1＝[3k＋1＋3]·7·7k－1＝ 7·(3k＋1)·7k－1＋21·7k ＝[(3k＋1)·7

7、k－1]＋18k·7k＋6·7k＋21·7k ＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27·7k， 由歸納假設(shè)(3k＋1)·7k－1能被9整除，又因?yàn)?18k·7k＋27·7k也能被9整除，所以[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除，即n＝k＋1時(shí)命題成立． 則①②可知對所有正整數(shù)n命題成立． 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1－(3＋x)n(n∈N＋)能被x＋2整除． 證明：(1)n＝1時(shí)，1－(3＋x)＝－(x＋2)，能被x＋2整除，命題成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥1)時(shí)，1－(3＋x)n能被x＋2整除，則可設(shè)1－(3＋x)k＝(x＋2)f(x)(f(x)為k－1次多項(xiàng)式)，

8、 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1－(3＋x)k＋1＝1－(3＋x)(3＋x)k ＝1－(3＋x)[1－(x＋2)f(x)] ＝1－(3＋x)＋(x＋2)(3＋x)f(x) ＝－(x＋2)＋(x＋2)(3＋x)f(x) ＝(x＋2)[－1＋(3＋x)f(x)]， 能被x＋2整除，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題成立． 由(1)(2)可知，對n∈N＋，1－(3＋x)n能被x＋2整除. 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題 [例3]　平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點(diǎn)，求證：這n條直線把平面分割成(n2＋n＋2)個(gè)區(qū)域． [思路點(diǎn)撥]　用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，關(guān)鍵是考慮：k條直線將平面分

9、成的部分?jǐn)?shù)與k＋1條直線將平面分成的部分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，利用該關(guān)系可以實(shí)施從假設(shè)到n＝k＋1時(shí)的證明． [證明]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，一條直線把平面分成兩個(gè)區(qū)域，又×(12＋1＋2)＝2， ∴n＝1時(shí)命題成立． (2)假設(shè)n＝k時(shí)，命題成立，即k條滿足題意的直線把平面分割成了(k2＋k＋2)個(gè)區(qū)域．那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，k＋1條直線中的k條直線把平面分成了(k2＋k＋2)個(gè)區(qū)域，第k＋1條直線被這k條直線分成k＋1段，每段把它們所在的區(qū)域分成了兩塊，因此增加了k＋1個(gè)區(qū)域，所以k＋1條直線把平面分成了(k2＋k＋2)＋k＋1＝[(k＋1)2＋(k＋1)＋2]個(gè)區(qū)域． ∴n＝k＋1時(shí)命題也成立

10、． 由(1)(2)知，對一切的n∈N＋，此命題均成立． 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題時(shí)，一定要清楚從n＝k到n＝k＋1時(shí)，新增加的量是多少．一般地，證明第二步時(shí)，常用的方法是加1法，即在原來k的基礎(chǔ)上，再增加一個(gè)，當(dāng)然我們也可以從k＋1個(gè)中分出1個(gè)來，剩下的k個(gè)利用假設(shè)． 5．求證：凸n邊形對角線條數(shù)f(n)＝(n∈N＋，n≥3)． 證明：(1)當(dāng)n＝3時(shí)，即f(3)＝0時(shí)，三角形沒有對角線，命題成立． (2)假設(shè)n＝k(k∈N＋，k≥3)時(shí)命題成立，即凸k邊形對角線條數(shù)f(k)＝.將凸k邊形A1A2…Ak在其外面增加一個(gè)新頂點(diǎn)Ak＋1，得到凸k＋1邊形A1A2…AkAk

11、＋1，Ak＋1依次與A2，A3，…，Ak－1相連得到對角線k－2條，原凸k邊形的邊A1Ak變成了凸k＋1邊形的一條對角線，則凸k＋1邊形的對角線條數(shù)為： f(k)＋k－2＋1＝＋k－1＝ ＝＝f(k＋1)， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論正確． 根據(jù)(1)(2)可知，命題對任何n∈N＋，n≥3都成立． 6．求證：平面內(nèi)有n(n≥2)條直線，其中任意兩條直線不平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)，求證它們彼此互相分割成n2條線段(或射線)． 證明：(1)當(dāng)n＝2時(shí)，兩條直線不平行，彼此互相分割成4條射線，命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，命題成立，即k條滿足條件的直線彼此互相分割成k2條線段(或射

12、線)．那么n＝k＋1時(shí)，取出其中一條直線為l，其余k條直線彼此互相分割成k2條線段(或射線) 直線l把這k條直線又一分為二，多出k條線段(或射線)；l又被這k條直線分成k＋1部分，所以這k＋1條直線彼此互相分割成k2＋k＋k＋1＝(k＋1)2條線段(或射線)，即n＝k＋1時(shí)，命題成立． 由(1)(2)知，命題成立． 　　　　　　　　　　　　　 對應(yīng)學(xué)生用書P41 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明中，在驗(yàn)證了n＝1時(shí)命題正確，假定n＝k時(shí)命題正確，此時(shí)k的取值范圍是(　　) A．k∈N　　　　　　　　　 　B．k>1，k∈N＋ C．k≥1，k∈N＋ D．k>

13、2，k∈N＋ 解析：數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法，所以k是正整數(shù)，又第一步是遞推的基礎(chǔ)，所以k大于等于1. 答案：C 2．某個(gè)命題：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，命題成立， (2)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)成立，可以推出n＝k＋2時(shí)也成立，則命題對________成立(　　) A．正整數(shù) B．正奇數(shù) C．正偶數(shù) D．都不是 解析：由題意知，k＝1時(shí)，k＋2＝3；k＝3時(shí)，k＋2＝5，依此類推知，命題對所有正奇數(shù)成立． 答案：B 3．設(shè)f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　) A.　 B. C.＋ D.－ 解析：因

14、為f(n)＝＋＋…＋， 所以f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋， 所以f(n＋1)－f(n)＝＋－＝ －. 答案：D 4．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋a)(n＋b)對一切正整數(shù)n都成立，a，b的值可以等于(　　) A．a(chǎn)＝1，b＝3 B．a(chǎn)＝－1，b＝1 C．a(chǎn)＝1，b＝2 D．a(chǎn)＝2，b＝3 解析：令n＝1,2得到關(guān)于a，b的方程組，解得即可． 答案：D 5．觀察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…猜想第n個(gè)式子應(yīng)為________． 答案：1－4＋9－16＋…＋(－1)n－1n2＝(－1

15、)n＋1· 6．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2.n∈N＋”時(shí)，若n＝1，則左端應(yīng)為________． 解析：n＝1時(shí)，左端應(yīng)為1×4＝4. 答案：4 7．記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和f(k＋1)＝f(k)＋________. 解析：由凸k邊形變?yōu)橥筴＋1邊形時(shí)，增加了一個(gè)三角形圖形．故f(k＋1)＝f(k)＋π. 答案：π 8．設(shè)a∈N＋，n∈N＋，求證：an＋2＋(a＋1)2n＋1能被a2＋a＋1整除． 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)， a3＋(a＋1)3＝[a＋(a＋1)][a2－a(a＋1)＋(a＋1)2

16、]＝(2a＋1)(a2＋a＋1)． 結(jié)論成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，結(jié)論成立，即ak＋2＋(a＋1)2k＋1能被a2＋a＋1整除，那么n＝k＋1時(shí)，有a(k＋1)＋2＋(a＋1)2(k＋1)＋1 ＝a·ak＋2＋(a＋1)2(a＋1)2k＋1 ＝a[ak＋2＋(a＋1)2k＋1]＋(a＋1)2(a＋1)2k＋1－a(a＋1)2k＋1 ＝a[ak＋2＋(a＋1)2k＋1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k＋1. 因?yàn)閍k＋2＋(a＋1)2k＋1，a2＋a＋1均能被a2＋a＋1整除，又a∈N＋，故a(k＋1)＋2＋(a＋1)2(k＋1)＋1能被a2＋a＋1整除，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也

17、成立． 由(1)(2)可知，原結(jié)論成立． 9．有n個(gè)圓，任意兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，任意三個(gè)圓不相交于同一點(diǎn)，求證這n個(gè)圓將平面分成f(n)＝n2－n＋2個(gè)部分．(n∈N＋) 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，一個(gè)圓將平面分成兩個(gè)部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1時(shí)命題成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥1)時(shí)命題成立． 即k個(gè)圓把平面分成f(k)＝k2－k＋2個(gè)部分． 則n＝k＋1時(shí)，在k＋1個(gè)圓中任取一個(gè)圓O，剩下的k個(gè)圓將平面分成f(k)個(gè)部分，而圓O與k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這2k個(gè)點(diǎn)將圓O分成2k段弧，每段弧將原平面一分為二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k ＝(

18、k＋1)2－(k＋1)＋2. ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立． 綜合(1)(2)可知，對一切n∈N＋，命題成立． 10．用數(shù)學(xué)歸納法證明n∈N＋時(shí)，(2cos x－1)(2cos 2x－1)…(2cos 2n－1x－1)＝. 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝2cos x－1， 右邊＝＝ ＝2cos x－1， 即左邊＝右邊，∴命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，命題成立， 即(2cos x－1)(2cos 2x－1)…(2cos 2k－1x－1)＝. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 左邊＝(2cos x－1)(2cos 2x－1)…(2cos 2k－1x－1)·(2cos 2kx－1)＝·(2cos 2kx－1)＝＝ ＝. ∴n＝k＋1時(shí)命題成立． 由(1)(2)可知，對n∈N＋時(shí)命題成立． 9