2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第3部分 考前增分策略 專題1 考前教材重溫 6 直線、圓、圓錐曲線教學(xué)案 理

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1、 6.直線、圓、圓錐曲線 ■要點(diǎn)重溫…………………………………………………………………………· 1．直線的傾斜角與斜率 (1)傾斜角的范圍為[0，π)． (2)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直線的傾斜角為α(α≠90°)，則斜率為k＝tan α＝(x1≠x2)； (3)解決直線的傾斜角與斜率的問(wèn)題，可借助k＝tan α的圖象(如圖22)． 圖22 [應(yīng)用1]　已知直線l過(guò)P(－1,2)，且與以A(－2，－3)，B(3,0)為端點(diǎn)的線段相交，求直線l的斜率的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804189】 [答案]　∪[5，＋∞) 2．直線方程的幾種形式：

2、點(diǎn)斜式：y－y0＝k(x－x0)；斜截式：y＝kx＋b；兩點(diǎn)式：＝；截距式：＋＝1(a≠0，b≠0)；一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)．要注意由于“截距為零”或“斜率不存在”等特殊情況造成丟解． [應(yīng)用2]　若直線在x軸上的截距是在y軸上截距的2倍，且過(guò)點(diǎn)(1,2)，則此直線方程為_(kāi)_______． [答案]　x＋2y－5＝0或y＝2x 3．兩直線的平行與垂直 (1)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2(兩直線斜率存在，且不重合)，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2；l1⊥l2?k1·k2＝－1. (2)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則

3、有l(wèi)1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0. 特別提醒： ＝≠，≠，＝＝僅是兩直線平行、相交、重合的充分不必要條件． [應(yīng)用3]　設(shè)直線l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，當(dāng)m＝________時(shí)，l1∥l2；當(dāng)m＝________時(shí)，l1⊥l2；當(dāng)________時(shí)l1與l2相交；當(dāng)m＝________時(shí)，l1與l2重合． [答案]?。?　　m≠3且m≠－1　3 4．點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離 (1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離為d＝； (2)兩平行線l1：Ax＋By＋C1＝

4、0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離為d＝. [應(yīng)用4]　兩平行直線3x＋2y－5＝0與6x＋4y＋5＝0間的距離為_(kāi)_______． [答案]　　 5．圓的方程： (1)標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2； (2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)； (3)以線段P1P2為直徑的圓方程：(x－x1)(x－x2)＋ (y－y1)(y－y2)＝0. (4)求圓的方程的方法：待定系數(shù)法，即根據(jù)題意列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組，求得a，b，r或D，E，F(xiàn)的對(duì)應(yīng)值，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程便可．解題時(shí)注意圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用． [應(yīng)用5

5、]　(1)　若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圓，則a＝________. (2)求與x軸相切，圓心在直線3x－y＝0上，且被直線x－y＝0截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程． [答案]　(1)－1 (2)x2＋y2－2x－6y＋1＝0或 x2＋y2＋2x＋6y＋1＝0 6．直線與圓的位置關(guān)系 (1)若直線與圓相交，設(shè)弦長(zhǎng)為l，弦心距為d，半徑為r，則l＝2. (2)圓O內(nèi)過(guò)點(diǎn)A的最長(zhǎng)弦即為過(guò)該點(diǎn)的直徑，最短弦為過(guò)該點(diǎn)且垂直于直徑的弦． (3)討論直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，一般不用Δ>0，Δ＝0，Δ<0，而用圓心到直線的距離d與圓的半徑r之間的關(guān)系，即dr，分

6、別確定相交、相切、相離的位置關(guān)系． [應(yīng)用6]　過(guò)點(diǎn)(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為(　　) A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0 C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0 [解析]　點(diǎn)(3,1)與圓心(1,0)的連線的斜率為，所以直線AB的斜率為－2，顯然(1,1)為其中一個(gè)切點(diǎn)，所以直線AB的方程為y－1＝－2(x－1)，化簡(jiǎn)得2x＋y－3＝0.故選A. [答案]　A 7．(1) 圓錐曲線的定義和性質(zhì) 名稱 橢圓 雙曲線 拋物線 定義 |PF1|＋|PF2|＝2a (2a>|F1F2|) ||PF1|－

7、|PF2||＝2a (2a<|F1F2|) |PF|＝|PM|，點(diǎn)F不在直線l上，PM⊥l于M 標(biāo)準(zhǔn) 方程 ＋＝1(a>b>0) －＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0) 圖形 范圍 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0 頂點(diǎn) (±a,0)，(0，±b) (±a,0) (0,0) 對(duì)稱性 關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于x軸對(duì)稱 焦點(diǎn) (±c,0) (，0) 軸 長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b 實(shí)軸長(zhǎng)2a，虛軸長(zhǎng)2b 離心率 e＝＝ (01) e＝1 準(zhǔn)線 x＝－ 通徑 |AB|＝

8、 |AB|＝2p 漸近線 y＝±x (2) 求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，一定要先定位，再定量． [應(yīng)用7]　 (1)已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)M(1，m)(m>0)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線－y2＝1的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實(shí)數(shù)a的值是(　　) A. B． C. D． (2)若＋＝1表示橢圓，則m，n應(yīng)滿足的關(guān)系是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804190】 (3)已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)(2,3)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． [解析]　(1)由拋物線定義可得M點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5，∴p＝8，∴拋物線方程為y2＝16x，∴M(1,

9、4)，點(diǎn)A(－，0)，由AM的斜率等于漸近線的斜率得＝，解得a＝，故選A. [答案]　(1)A　(2)m＞0，n＞0，m≠n (3)＋ ＝1和 ＋ ＝1 8．(1)在用圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時(shí)，消元后得到的方程中要注意二次項(xiàng)的系數(shù)是否為零，利用解的情況可判斷位置關(guān)系：有兩解時(shí)相交；無(wú)解時(shí)相離；有唯一解時(shí)，在橢圓中相切，在雙曲線中需注意直線與漸近線的關(guān)系，在拋物線中需注意直線與對(duì)稱軸的關(guān)系，而后判斷是否相切． (2)直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長(zhǎng)問(wèn)題 斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則所得弦長(zhǎng) |P1P2|＝或|P1P2|＝. (3)過(guò)拋物線y2

10、＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于C(x1，y1)，D(x2，y2)，則①焦半徑|CF|＝x1＋； ②弦長(zhǎng)|CD|＝x1＋x2＋p；③x1x2＝，y1y2＝－p2. [應(yīng)用8]　已知拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，過(guò)拋物線上一點(diǎn)M(p，p)和拋物線的焦點(diǎn)F作直線l交拋物線于另一點(diǎn)N，則|NF|∶|FM|等于(　　) A．1∶ B．1∶ C．1∶2 D．1∶3 [解析]　由題意可知直線l的方程為y＝2， 聯(lián)立方程得N， 所以|NF|＝＋＝p，|FM|＝p＋＝p， 所以|NF|∶|FM|＝1∶2. [答案]　C [應(yīng)用9]　已知雙曲線x2－＝1，過(guò)點(diǎn)A(1,1)

11、能否作直線l，使l與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，并且A為線段PQ的中點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由． [解]　設(shè)被A(1,1)所平分的弦所在直線方程為y＝k(x－1)＋1. 代入雙曲線方程x2－＝1，整理得， (2－k2)x2＋2k(k－1)x－3＋2k－k2＝0， 由Δ＝4k2(k－1)2－4(2－k2)(2k－3－k2)>0， 解得k<. 設(shè)直線與雙曲線交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝， 點(diǎn)A(1,1)是弦中點(diǎn)，則＝1. ∴＝1， 解得k＝2>， 故不存在被點(diǎn)A(1,1)平分的弦． ■查缺補(bǔ)漏………………………

12、…………………………………………………· 1．已知圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圓心為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，直線3x＋4y＋2＝0與圓C相切，則該圓的方程為(　　) A．(x－1)2＋y2＝ B．x2＋(y－1)2＝ C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1 C　[因?yàn)閽佄锞€y2＝4x的焦點(diǎn)為(1,0)，所以a＝1，b＝0，又直線3x＋4y＋2＝0與圓C相切，得r＝＝1，所以該圓的方程為(x－1)2＋y2＝1.] 2．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，且其右焦點(diǎn)為(5,0)，則雙曲線C的方程為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804

13、191】 A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 B　[由題意得＝，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所求雙曲線方程為－＝1.] 3．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為12，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M(－2,1)，則直線l的斜率為(　　) A． B． C． D．1 C　[由題意得＝，2ab＝12?a2＝12，b2＝3，利用點(diǎn)差法得直線l的斜率為－＝－＝，選C.] 4．若拋物線x2＝4y上有一條長(zhǎng)為6的動(dòng)弦AB，則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為(　　) A． B． C．1 D．2 D　[設(shè)拋物線的

14、焦點(diǎn)為F(0,1)，AB的中點(diǎn)為M，準(zhǔn)線方程為y＝－1，則點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離d＝(|AF|＋|BF|)≥|AB|＝3，即點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離的最小值為dmin＝3，所以點(diǎn)M到x軸的最短距離d′min＝dmin－1＝2，選D.] 5．已知P為橢圓＋＝1上的點(diǎn)，點(diǎn)M為圓C1：(x＋3)2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為圓C2：(x－3)2＋y2＝1上 的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最大值為(　　) A．8 B．12 C．16 D． 20 B　[由題可知，(|PM|＋|PN|)max＝|PC1|＋|PC2|＋2＝12，故選B.] 6．過(guò)曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F1作曲線C2：x2＋y

15、2＝a2的切線，設(shè)切點(diǎn)為M，延長(zhǎng)F1M交曲線C3：y2＝2px(p>0)于點(diǎn)N，其中C1、C3有一個(gè)共同的焦點(diǎn)，若|MF1|＝|MN|，則曲線C1的離心率為(　　) A. B．－1 C.＋1 D． D　[如圖所示， OM⊥F1N，且M為線段F1N的中點(diǎn)，所以AN＝F2N＝2a，F(xiàn)2N⊥F1N，所以在Rt△F1F2N中，cos∠NF1F2＝＝，在Rt△F1AN中，cos∠F1NA＝＝，又因?yàn)椤螻F1F2＝∠F1NA，所以＝，即c2－a2＝b2＝ac，解之得e＝，故選D.] 7．已知雙曲線C1：－y2＝1，雙曲線C2：－＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M是雙曲線C2的

16、一條漸近線上的點(diǎn)，且OM⊥MF2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若S△OMF2＝16，且雙曲線C1，C2的離心率相同，則雙曲線C2的實(shí)軸長(zhǎng)是(　　) A．32 B．16 C．8 D．4 B　[因?yàn)殡p曲線C2：－＝1與雙曲線C1：－y2＝1的離心率相同，所以e＝＝，解得＝，即雙曲線C2的一條漸近線方程為y＝x，即x－2y＝0，又因?yàn)镺M⊥MF2，△OMF2的面積為16，所以|OM|·|MF2|＝|MF2|2＝16，解得|MF2|＝4，即右焦點(diǎn)F2(c,0)到漸近線x－2y＝0的距離為4，所以＝4，解得c＝4，a＝＝8,2a＝16，即雙曲線C2的實(shí)軸長(zhǎng)為16.故選B.] 8．拋物線y2＝2px(p>0)的

17、焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為拋物線上一點(diǎn)，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面積為4，則拋物線方程為(　　) A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝x B　[依題意，設(shè)M(x，y)，|OF|＝，所以|MF|＝2p，x＋＝2p，x＝，y＝p，又△MFO的面積為4，所以××p＝4，p＝4，所以拋物線方程為y2＝8x，選B.] 9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y＝2x－4，圓C的半徑為1，圓心在直線l上，若圓C上存在點(diǎn)M，且M在圓D：x2＋(y＋1)2＝4上，則圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍是(　　) A. B. C. D.∪ B　[點(diǎn)M既在圓C上，又在圓

18、D上，所以圓C和圓D有公共點(diǎn)，圓C 的圓心為(a,2a－4) ，半徑為1，圓D的圓心為(0，－1) ，半徑為2，則圓心距＝ ，滿足 ，解得：0≤a≤ ，故選B.] 10．已知圓C：x2＋y2＝4，點(diǎn)P為直線x＋2y－9＝0上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向圓C引兩條切線PA、PB, A、B為切點(diǎn)，則直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn) A. B． C．(2,0) D．(9,0) A　[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0), 則PA：x1x＋y1y＝4；PB：x2x＋y2y＝4; 即x1x0＋y1y0＝4；x2x0＋y2y0＝4；因此A、B在直線x0x＋y0y＝4上，直線AB方程為x0x＋y0y＝4，又

19、x0＋2y0－9＝0，所以(9－2y0)x＋y0y＝4?y0(y－2x)＋9x－4＝0即y－2x＝0,9x－4＝0?y＝，x＝，直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，選A.] 11．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上、下頂點(diǎn)分別是B1，B2，點(diǎn)C是B1F2的中點(diǎn)，若·＝2，且CF1⊥B1F2，則橢圓的方程為_(kāi)_______． ＋＝1　[由題意可得F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，B1(0，b)，B2(0，－b)，C，·＝(－c，－b)·(c，－b)＝－c2＋b2＝2①，⊥，可得·＝0，即有·(c，－b)＝－c2＋＝0②，解得c＝1，b＝，a＝＝2，可得橢圓的方程為＋＝1.] 12．

20、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2＋y2－8x＋15＝0，若直線y＝kx－2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是________． 　[圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－4)2＋y2＝1，圓心為(4,0)．由題意知(4,0)到kx－y－2＝0的距離應(yīng)不大于2，即≤2.整理，得3k2－4k≤0，解得0≤k≤.故k的最大值是.] 13．已知雙曲線C：－＝1(b>a>0)的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若存在直線l過(guò)點(diǎn)F交雙曲線C的右支于A，B兩點(diǎn)，使·＝0，則雙曲線離心率的取值范圍是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804192】 　[設(shè)A(x1，y1)，

21、B(x2，y2)，直線l的方程為x＝my＋c(0≤m<)，聯(lián)立雙曲線方程，消去x，得(b2m2－a2)y2＋2b2mcy＋b4＝0，所以y1＋y2＝－①，y1y2＝②.因?yàn)椤ぃ絰1x2＋y1y2＝0，即m2y1y2＋mc(y1＋y2)＋c2＋y1y2＝0，代入①②整理，得b4m2－2b2m2c2＋c2b2m2－a2c2＋b4＝0,0≤m2＝<.由b4－a2b2≥0，得(c2－a2)2－a2c2≥0，即c4－3a2c2＋a4≥0，e4－3e2＋1≥0，解得e≥；由<，得b4－a4－a2c2<0，即(c2－a2)2－a4－a2c2<0，c4－3a2c2<0，所以<.綜上所述，e∈.] 14．已知

22、直線l：x＝my＋1過(guò)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F，拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，且直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)． (1)求橢圓C的方程； (2)若直線l交y軸于點(diǎn)M，且＝λ1，＝λ2，當(dāng)m變化時(shí)， λ1＋λ2的值是否為定值？若是，求出這個(gè)定值，若不是，說(shuō)明由． [解]　(1)易知橢圓右焦點(diǎn)F(1,0)，∴c＝1，拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)(0，)，∴b＝， ∴a2＝b2＋c2＝4. ∴橢圓C的方程為＋＝1 . (2)易知m≠0，M，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 ?(3m2＋4)y2＋6my－9＝0， ∴Δ＝(6m)2＋36(3m2＋4)＝144(

23、m2＋1)>0. ∴y1＋y2＝－，y1·y2＝－ . 又由＝λ1，＝λ2得：λ1＝－1－， λ2＝－1－. ∴λ1＋λ2＝－2－·＝－ . 15．已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)． (1)若A，B是橢圓C上關(guān)于x軸對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P(－4,0)，連接PA交橢圓C于另一點(diǎn)E，求證：直線BE與x軸相交于定點(diǎn)M； (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在(2)的條件下，過(guò)點(diǎn)M的直線交橢圓C于S，T兩點(diǎn)，求·的取值范圍． [解] (1)證明：設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)，拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為(0，)．由題意，可得∴ ∴

24、橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 由題意可知直線PA存在斜率，設(shè)直線PA的方程為y＝k(x＋4)，代入橢圓方程可得(4k2＋3)x2＋32k2x＋64k2－12＝0. 由Δ＝322k4－4(4k2＋3)(64k2－12)>0，有－