2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專(zhuān)題 專(zhuān)題5 解析幾何 第13講 圓錐曲線中的綜合問(wèn)題教學(xué)案 理
《2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專(zhuān)題 專(zhuān)題5 解析幾何 第13講 圓錐曲線中的綜合問(wèn)題教學(xué)案 理》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專(zhuān)題 專(zhuān)題5 解析幾何 第13講 圓錐曲線中的綜合問(wèn)題教學(xué)案 理(11頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 第13講 圓錐曲線中的綜合問(wèn)題 題型1 圓錐曲線中的定值問(wèn)題 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第43頁(yè)) ■核心知識(shí)儲(chǔ)備………………………………………………………………………· 解析幾何中的定值問(wèn)題是指某些幾何量(線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等與題目中的參數(shù)無(wú)關(guān),不依參數(shù)的變化而變化,而始終是一個(gè)確定的值. ■典題試解尋法………………………………………………………………………· 【典題】 已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,點(diǎn)(2,)在C上. (1)求C的方程; (2)直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸,l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線段AB
2、的中點(diǎn)為M.證明:直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值. [解] (1)由題意有=,+=1, 解得a2=8,b2=4. 所以C的方程為+=1. (2)證明:設(shè)直線l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM). 將y=kx+b代入+=1,得 (2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0. 故xM==,yM=k·xM+b=. 于是直線OM的斜率kOM==-, 即kOM·k=-. 所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值. [類(lèi)題通法] 定值問(wèn)題的常見(jiàn)方法 (1)從特殊入手,求出定值,再證明這個(gè)值與
3、變量無(wú)關(guān). (2)直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量,從而得到定值. ■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練………………………………………………………………………· 已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1(-,0),e=. 圖13-1 (1)求橢圓C的方程; (2)如圖13-1,設(shè)R(x0,y0)是橢圓C上一動(dòng)點(diǎn),由原點(diǎn)O向圓(x-x0)2+(y-y0)2=4引兩條切線,分別交橢圓于點(diǎn)P,Q,若直線OP,OQ的斜率存在,并記為k1,k2,求證:k1k2為定值; (3)在(2)的條件下,試問(wèn)|OP|2+|OQ|2是否為定值?若是,求出該值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由. [解] (1)由題
4、意得,c=,e=,解得a=2, ∴橢圓C的方程為+=1. (2)由已知,直線OP:y=k1x,OQ:y=k2x,且與圓R相切, ∴=2,化簡(jiǎn)得(x-4)k-2x0y0k1+y-4=0, 同理,可得(x-4)k-2x0y0k2+y-4=0, ∴k1,k2是方程(x-4)k2-2x0y0k+y-4=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根, ∴x-4≠0,Δ>0,k1k2=. ∵點(diǎn)R(x0,y0)在橢圓C上,∴+=1, 即y=6-x, ∴k1k2==-. (3)|OP|2+|OQ|2是定值18. 設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),聯(lián)立得, 解得, ∴x+y=, 同理,可得x+y=.
5、 由k1k2=-,得|OP|2+|OQ|2=x+y+x+y=+=+==18. 綜上:|OP|2+|OQ|2=18. ■題型強(qiáng)化集訓(xùn)………………………………………………………………………· (見(jiàn)專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)T3) 題型2 圓錐曲線中的最值、范圍問(wèn)題 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第44頁(yè)) ■核心知識(shí)儲(chǔ)備………………………………………………………………………· 1.解決圓、圓錐曲線范圍問(wèn)題的方法 (1)圓、圓錐曲線自身范圍的應(yīng)用,運(yùn)用圓錐曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍. (2)參數(shù)轉(zhuǎn)化:利用引入?yún)?shù)法轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來(lái)解決. (3)構(gòu)造函數(shù)法:運(yùn)用求函數(shù)的值域、最值以及二次方程實(shí)根的分布等知識(shí).
6、 2.求最值的方法 (1)代數(shù)法:設(shè)變量、建立目標(biāo)函數(shù)、轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.注意靈活運(yùn)用配方法、導(dǎo)數(shù)法、基本不等式法等. (2)幾何法:若題中的條件與結(jié)論有明顯的幾何特征和意義,則考慮利用圖形的幾何性質(zhì)來(lái)解決. ■典題試解尋法………………………………………………………………………· 【典題】 如圖13-2,已知橢圓+y2=1上兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B關(guān)于直線y=mx+對(duì)稱(chēng). 圖13-2 (1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍; (2)求△AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn)). 【導(dǎo)學(xué)號(hào):07804094】 [解] (1)由題意知m≠0,可設(shè)直線AB的方程為 y=-x+b. 由消去y,得x
7、2-x+b2-1=0. 因?yàn)橹本€y=-x+b與橢圓+y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn), 所以Δ=-2b2+2+>0.?、? 設(shè)M為AB的中點(diǎn),則M, 代入直線方程y=mx+,解得b=-.?、? 由①②得m<-或m>. (2)令t=∈∪, 則|AB|=·, 且O到直線AB的距離d=. 設(shè)△AOB的面積為S(t),所以S(t)=|AB|·d=≤, 當(dāng)且僅當(dāng)t2=時(shí),等號(hào)成立. 故△AOB面積的最大值為. [類(lèi)題通法] 在研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系時(shí),常涉及弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、面積等問(wèn)題.一般是先聯(lián)立方程,再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,用設(shè)而不求,整體代入的技巧進(jìn)行求解. 易錯(cuò)警示:在設(shè)直線方程
8、時(shí),若要設(shè)成y=kx+m的形式,注意先討論斜率是否存在;若要設(shè)成x=ty+n的形式,注意先討論斜率是否為0. ■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練………………………………………………………………………· 如圖13-3,點(diǎn)F1為圓(x+1)2+y2=16的圓心,N為圓F1上一動(dòng)點(diǎn),且F2(1,0),M,P分別是線段F1N,F(xiàn)2N上的點(diǎn),且滿足·=0,=2. 圖13-3 (1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程; (2)過(guò)點(diǎn)F2的直線l(與x軸不重合)與軌跡E交于A,C兩點(diǎn),線段AC的中點(diǎn)為G,連接OG并延長(zhǎng)交軌跡E于點(diǎn)B(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求四邊形OABC的面積S的最小值. [解] (1)由題意,知MP垂直平分F2
9、N, 所以|MF1|+|MF2|=4. 所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓, 且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=4,焦距2c=2, 所以a=2,c=1,b2=3. 軌跡E的方程為+=1. (2)設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),G(x0,y0). 設(shè)直線AC的方程為x=my+1,與橢圓方程聯(lián)立, 可得(4+3m2)y2+6my-9=0, 所以y1+y2=-,y1y2=-. 由弦長(zhǎng)公式可得|AC|=|y1-y2|=, 又y0=-,所以G. 直線OG的方程為y=-x,與橢圓方程聯(lián)立得x2=,所以B.點(diǎn)B到直線AC的距離d1=, 點(diǎn)O到直線AC的距離d2=.
10、 所以S四邊形OABC=|AC|(d1+d2)=6≥3,當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取得最小值3. ■題型強(qiáng)化集訓(xùn)………………………………………………………………………· (見(jiàn)專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)T1、T4) 題型3 圓錐曲線中的探索性問(wèn)題(答題模板) (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第45頁(yè)) 圓錐曲線中的存在性(探索性)問(wèn)題主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:(1)探索點(diǎn)是否存在;(2)探索曲線是否存在;(3)探索命題是否存在.涉及這類(lèi)命題的求解主要是研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題.(2015·全國(guó)Ⅰ卷T20、2015·全國(guó)Ⅱ卷T20) ■典題試解尋法………………………………………………………………………· 【典題】 (
11、本小題滿分12分)(2015·全國(guó)Ⅰ卷)在直角坐標(biāo)系xOy中, ① (1)當(dāng)k=0時(shí),分別求C在②; (2)y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí),總有③?說(shuō)明理由. [審題指導(dǎo)] 題眼 挖掘關(guān)鍵信息 ① 看到直線與曲線C相交, 想到設(shè)點(diǎn)、聯(lián)立方程、消元,表示x1+x2,x1x2的值. ② 看到曲線上某點(diǎn)處的切線, 想到利用導(dǎo)數(shù)法求切線斜率; ③ 看到兩角相等, 想到把角的相等轉(zhuǎn)化為直線斜率的關(guān)系. [規(guī)范解答] (1)由題設(shè)可得M(2,a),N(-2,a), 或M(-2,a),N(2,a). 2分 ,④ C在點(diǎn)(2,a)處的切線方程為 y-a=(x-2),
12、 即x-y-a=0. 4分 y=在=-2處的導(dǎo)數(shù)值為-, C在點(diǎn)(-2,a)處的切線方程為y-a=-(x+2),即x+y+a=0. 5分 ⑤ 6分 (2)存在符合題意的點(diǎn).證明如下: 設(shè)P(0,b)為符合題意的點(diǎn),M(x1,y1),N(x2,y2),直線PM,PN的斜率分別為k1,k2將y=kx+a代入C的方程,得x2-4kx-4a=0. 8分 故x1+x2=4k,x1x2=-4a. 從而⑥ ==. 10分 當(dāng)b=-a時(shí),有k1+k2=0.則直線PM的傾斜角與直,線PN的傾斜角互補(bǔ),故∠OPM=∠OPN,⑦ 所以點(diǎn)P(0,-a)符合題意. 12分 [閱卷者說(shuō)
13、] 易錯(cuò)點(diǎn) 防范措施 ④忽視導(dǎo)數(shù)法求切線斜率導(dǎo)致思路不清. 明確求切線斜率的方法,導(dǎo)數(shù)法求曲線上某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就等于該點(diǎn)處切線的斜率. ⑤忽視直線的形式及解答題的得分點(diǎn)失分. 表示直線方程時(shí)無(wú)特殊要求一般采用直線的一般式,結(jié)論性、總結(jié)性的語(yǔ)句是得分點(diǎn),一定不能省. ⑥忽視化簡(jiǎn)、消元致錯(cuò). 當(dāng)式子中未知數(shù)較多時(shí)要注意消元,如此處把y1,y2代換為x1,x2,再利用根與系數(shù)的關(guān)系求解. ⑦忽視轉(zhuǎn)化致思路不清. 把條件轉(zhuǎn)化為熟知的知識(shí),進(jìn)而利用根與系數(shù)的關(guān)系,知∠OPM=∠OPN轉(zhuǎn)化為kPM+kPN=0. [類(lèi)題通法] 1.定點(diǎn)問(wèn)題的解法: (1)直線過(guò)定點(diǎn):化為y-y0=
14、k(x-x0), 當(dāng)x-x0=0時(shí)與k無(wú)關(guān). (2)曲線過(guò)定點(diǎn):利用方程f(x,y)=0對(duì)任意參數(shù)恒成立得出關(guān)于x,y的方程組,進(jìn)而求出定點(diǎn). 2.存在性問(wèn)題的解題步驟: 一設(shè):設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線等)存在; 二列:用待定系數(shù)法設(shè)出,列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組; 三解:解方程組,若方程組有實(shí)數(shù)解,則元素(點(diǎn)、直線等)存在;否則,元素(點(diǎn)、直線等)不存在. ■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練………………………………………………………………………· 已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,以原點(diǎn)O為圓心,橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線2x-y+6=0相切. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (
15、2)已知點(diǎn)A,B為動(dòng)直線y=k(x-2)(k≠0)與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn),問(wèn):在x軸上是否存在定點(diǎn)E,使得2+·為定值?若存在,試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):07804095】 [解] (1)由e=,得=,即c=a,?、? 又以原點(diǎn)O為圓心,橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓為x2+y2=a2,且該圓與直線2x-y+6=0相切, 所以a==,代入①得c=2, 所以b2=a2-c2=2, 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. (2)由得(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=,x1x2=. 根據(jù)題意,假
16、設(shè)x軸上存在定點(diǎn)E(m,0), 使得2+·=(+)·=·為定值, 則·=(x1-m,y1)·(x2-m,y2)=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+(4k2+m2)=, 要使上式為定值,即與k無(wú)關(guān),只需3m2-12m+10=3(m2-6),解得m=, 此時(shí),2+·=m2-6=-, 所以在x軸上存在定點(diǎn)E使得2+·為定值,且定值為-. ■題型強(qiáng)化集訓(xùn)………………………………………………………………………· (見(jiàn)專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)T2) 三年真題| 驗(yàn)收復(fù)習(xí)效果 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第46頁(yè)) 1.(2017·全國(guó)Ⅰ卷)已知橢圓C:+=1
17、(a>b>0)四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三點(diǎn)在橢圓C上. (1)求C的方程. (2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:l過(guò)定點(diǎn). [解] (1)由于P3,P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),故由題設(shè)知橢圓C經(jīng)過(guò)P3,P4兩點(diǎn). 又由+>+知,橢圓C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1, 所以點(diǎn)P2在橢圓C上. 因此解得故橢圓C的方程為+y2=1. ∴動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程為y2=4x. (2)證明:設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2. 如果l與x軸垂直,設(shè)l:x=t,由題設(shè)知t≠0,且|t|<2,可得A,B的坐標(biāo)分別
18、為,,則k1+k2=-=-1,得t=2,不符合題設(shè). 從而可設(shè)l:y=kx+m(m≠1). 將y=kx+m代入+y2=1得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0. 由題設(shè)可知Δ=16(4k2-m2+1)>0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-, x1x2=. 而k1+k2=+ =+ =. 由題設(shè)k1+k2=-1, 故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0. 即(2k+1)·+(m-1)·=0, 解得k=-. 當(dāng)且僅當(dāng)m>-1時(shí),Δ>0, 于是l:y=-x+m, 即y+1=-(x-2), 所以l過(guò)定點(diǎn)(2,-1). 2.(
19、2016·全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E. (1)證明|EA|+|EB|為定值,并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程; (2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍. [解] (1)因?yàn)閨AD|=|AC|,EB∥AC, 所以∠EBD=∠ACD=∠ADC,所以|EB|=|ED|, 故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|. 又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=16,從而|AD|=4, 所以|E
20、A|+|EB|=4. 由題設(shè)得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2, 由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為+=1(y≠0). (2)當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2). 由得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0, 則x1+x2=,x1x2=. 所以|MN|=|x1-x2|=. 過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與l垂直的直線m:y=-(x-1),點(diǎn)A到直線m的距離為, 所以|PQ|=2=4. 故四邊形MPNQ的面積S=|MN|| PQ|=12. 可得當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,8). 當(dāng)l與x軸垂直時(shí),其方程為x=1,|MN|=3,|PQ|=8,故四邊形MPNQ的面積為12. 綜上,四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12,8). 11
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