2018版高中數學 第二章 圓錐曲線與方程章末復習課學案 新人教B版選修2-1

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1、 第二章 圓錐曲線與方程 學習目標　1.理解曲線方程的概念，掌握求曲線方程的常用方法.2.掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義及其應用，會用定義法求標準方程.3.掌握橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程及其求法.4.掌握橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質，會利用幾何性質解決相關問題.5.掌握簡單的直線與圓錐曲線位置關系問題的解決方法． 知識點一　三種圓錐曲線的定義、標準方程、幾何性質 橢圓 雙曲線 拋物線 定義 平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡 平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于常數(小于|F1F2|)的點的軌跡 平面內與一個

2、定點F和一條定直線l(l?F)距離相等的點的軌跡 標準方程 ＋＝1 (a>b>0) －＝1 (a>0，b>0) y2＝2px (p>0) 關系式 a2－b2＝c2 a2＋b2＝c2 圖形 封閉圖形 無限延展，有漸近線 無限延展，沒有漸近線 對稱性 對稱中心為原點 無對稱中心 兩條對稱軸 一條對稱軸 頂點 四個 兩個 一個 離心率 01 準線方程 x＝－ 決定形狀的因素 e決定扁平程度 e決定開口大小 2p決定開口大小 知識點二　待定系數法求圓錐曲線標準方程 1．橢圓、雙曲線的標準方程 求

3、橢圓、雙曲線的標準方程包括“定位”和“定量”兩方面，一般先確定焦點的位置，再確定參數．當焦點位置不確定時，要分情況討論．也可將橢圓方程設為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，其中當>時，焦點在x軸上，當<時，焦點在y軸上；雙曲線方程可設為Ax2＋By2＝1(AB<0)，當<0時，焦點在y軸上，當<0時，焦點在x軸上． 另外，與已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)共漸近線的雙曲線方程可設為－＝λ(λ≠0)；已知所求雙曲線為等軸雙曲線，其方程可設為x2－y2＝λ(λ≠0)． 2．拋物線的標準方程 求拋物線的標準方程時，先確定拋物線的方程類型，再由條件求出參數p的大小．當焦點位置不確定

4、時，要分情況討論，也可將方程設為y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出參數p的值． 知識點三　直線與圓錐曲線有關的問題 1．直線與圓錐曲線的位置關系，可以通過討論直線方程與曲線方程組成的方程組的實數解的個數來確定，通常消去方程組中變量y(或x)得到關于變量x(或y)的一元二次方程，考慮該一元二次方程的判別式Δ，則有：Δ>0?直線與圓錐曲線相交于兩點；Δ＝0?直線與圓錐曲線相切于一點；Δ<0?直線與圓錐曲線無交點． 2．直線l截圓錐曲線所得的弦長|AB|＝ 或 ，其中k是直線l的斜率，(x1，y1)，(x2，y2)是直線與圓錐曲線的兩個交點A，B的坐標，且(x1－

5、x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，x1＋x2，x1x2可由一元二次方程的根與系數的關系整體給出． 類型一　圓錐曲線定義的應用 例1　已知點M(2，1)，點C是橢圓＋＝1的右焦點，點A是橢圓上的動點，則|AM|＋|AC|的最小值是________． 反思與感悟　應用定義解決問題時，需緊扣其內涵，注意限制條件是否成立，然后得到相應的結論． 跟蹤訓練1　如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，P是側面BB1C1C內一動點，若P到直線BC與到直線C1D1的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是(　　) A．直線 B．圓 C．雙曲線 D．拋物線 類型二　圓錐曲線性

6、質的應用 例2　設P是拋物線y2＝4x上的一個動點，則點P到點A(－1，1)的距離與點P到直線x＝－1的距離之和的最小值為________． 反思與感悟　圓錐曲線的性質綜合性強，需弄清每個性質的真正內涵，然后正確地應用到解題中去． 跟蹤訓練2　雙曲線－＝1的兩條漸近線互相垂直，那么該雙曲線的離心率是(　　) A．2 B. C. D. 類型三　直線與圓錐曲線的位置關系問題 例3　已知定點C(－1，0)及橢圓x2＋3y2＝5，過點C的動直線與橢圓相交于A，B兩點，在x軸上是否存在點M，使·為常數？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由． 反思與感悟　解決圓錐曲線中

7、的參數范圍問題與求最值問題類似，一般有兩種方法 (1)函數法：用其他變量表示該參數，建立函數關系，利用求函數值域的方法求解． (2)不等式法：根據題意建立含參數的不等關系式，通過解不等式求參數范圍． 跟蹤訓練3　已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點P在C上且其橫坐標為1，以F為圓心、|FP|為半徑的圓與C的準線l相切． (1)求p的值； (2)設l與x軸交點為E，過點E作一條直線與拋物線C交于A，B兩點，求線段AB的垂直平分線在x軸上的截距的取值范圍． 1．下列各對方程中，表示相同曲線的一對方程是(　　) A．y＝與y2＝x B.＝1與lg(y

8、＋1)＝lg(x－2) C．x2＋y2＝1與|y|＝ D．y＝lg x2與y＝2lg x 2．中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 3．設橢圓＋＝1(m>0，n>0)的右焦點與拋物線y2＝8x的焦點相同，離心率為，則此橢圓的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 4．點P(8，1)平分雙曲線x2－4y2＝4的一條弦，則這條弦所在直線的方程是________________． 5．直線y＝x＋3與曲線－＝1交點的個數為_______

9、_． 1．離心率的幾種求法 (1)定義法：由橢圓(雙曲線)的標準方程可知，不論橢圓(雙曲線)的焦點在x軸上還是在y軸上都有關系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意兩個參數，可以求其他的參數，這是基本且常用的方法． (2)方程法：建立參數a與c之間的齊次關系式，從而求出離心率，這是求離心率十分重要的方法． (3)幾何法：與過焦點的三角形有關的離心率問題，根據平面幾何性質、橢圓(雙曲線)的幾何性質和定義，建立參數之間的關系． 2．圓錐曲線中的有關最值問題 在解決與圓錐曲線有關的最值問題時，通常的處理策略 (1)若具備定義的最值問題，可用定義將其轉化為幾何

10、問題來處理． (2)一般問題可由條件建立目標函數，然后利用函數求最值的方法進行求解．如利用二次函數在閉區(qū)間上最值的求法，利用函數的單調性，亦可利用均值不等式等求解． 提醒：完成作業(yè)　第二章　章末復習課 答案精析 題型探究 例1　8－ 解析　如圖，設點B為橢圓的左焦點，點M(2，1)在橢圓內，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a， 所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|， 而a＝4， |BM|＝＝， 所以(|AM|＋|AC|)最小值 ＝8－. 跟蹤訓練1　D 例2　 跟蹤訓練2　C　 例3　解　假設在x軸上存在點M(m，0)，使·為常數

11、． 設A(x1，y1)，B(x2，y2)． ①當直線AB與x軸不垂直時，直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y＝k(x＋1)，將y＝k(x＋1)代入橢圓方程x2＋3y2＝5，消去y整理，得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0. 則 所以·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2 ＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1) ＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2. 將上式整理，得 ·＝＋m2 ＝＋m2 ＝m2＋2m－－. 注意到·是與k無關的常數， 從而有6m＋14＝0，解得m＝－， 此時·＝. ②當直線AB與x軸垂直時，

12、 此時點A，B的坐標分別為A(－1，)， B(－1，－)， 當m＝－時，亦有·＝. 綜上，在x軸上存在定點M(－，0)， 使·為常數． 跟蹤訓練3　解　(1)因為以F為圓心、|FP|為半徑的圓與C的準線l相切， 所以圓的半徑為p，即|FP|＝p， 所以FP⊥x軸，又點P的橫坐標為1， 所以焦點F的坐標為(1，0)，從而p＝2. (2)由(1)知拋物線C的方程為y2＝4x， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 線段AB的垂直平分線與x軸的交點D(x0，0)， 則由|DA|＝|DB|，y＝4x1，y＝4x2， 得(x1－x0)2＋y＝(x2－x0)2＋y， 化簡得x0＝＋2， ① 設直線AB的方程為x＝my－1，代入拋物線C的方程， 得y2－4my＋4＝0，由Δ>0得m2>1， 由根與系數的關系得y1＋y2＝4m， 所以x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝4m2－2， 代入①得x0＝2m2＋1>3， 故線段AB的垂直平分線在x軸上的截距的取值范圍是(3，＋∞)． 當堂訓練 1．C　2.A　3.B　 4．2x－y－15＝0　5.3 7